计算材料学之蒙特卡洛方法论述

1、计算材料学之蒙特卡洛方法一、计算材料学要紧内容计算材料学涉及材料的各个方面，如不同层次的结构、 各种性能等等，因此，有专门多相应的计算方法。在进行材 料计算时，首先要依照所要计算的对象、条件、要求等因素 选择适当的方法。要想做好选择，必须了解材料计算方法的 分类。目前，要紧有两种分类方法：一是按理论模型和方法 分类，二是按材料计算的特征空间尺寸（Characteristicspace scale）分类。材料的性能在专门大程度上取决于材料 的微结构，材料的用途不同，决定其性能的微结构尺度会有 专门大的差不。例如，对结构材料来讲，阻碍其力学性能的 结构尺度在微米以上，而关于电、光、磁等功能材料来讲

2、可 能要小到纳米，甚至是电子结构。因此，计算材料学的研究 对象的特征空间尺度从埃到米。时刻是计算材料学的另一个 重要的参量。关于不同的研究对象或计算方法，材料计算的 时刻尺度可从10-15秒（如分子动力学方法等）到年（如关 于腐蚀、蠕变、疲劳等的模拟）。关于具有不同特征空间、 时刻尺度的研究对象，均有相应的材料计算方法。目前常用的计算方法包括第一原理从头计算法，分子动力 学方法，蒙特卡洛方法，有限元分析等。下面要紧介绍蒙特卡罗方法:蒙特卡罗方法：一、方法的简介蒙特卡罗方法（Monte Carlo method ）,也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的进展和电子计算机 的发明，

3、而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类特不重要 的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解 决专门多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法这种方法作 为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得 到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有专门大区不。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程， 解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学 （如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应 用广泛。二、方法的思想当所求解问题

4、是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件 出现的频率可能这一随机事件的概率，或者得到那个随机变 量的某些数字特征，并将其作为问题的解。三、方法的工作过程蒙特卡罗方法的解题过程能够归结为三个要紧步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种可能量。蒙特卡罗方法解题过程的三个要紧步骤：（1）构造或描述概率过程关于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，要紧是正确描述和模拟那个概率过程，关于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不 具有随机性质的问题转化为

5、随机性质的问题。（2）实现从已知概率分布抽样构造了概率模型以后，由于各种概率模型都能够看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机 变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的 差不多手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的缘故。最简单、最差不多、最重要的一个概率分布是（0， 1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数确实是具有这种均匀分 布的随机变量。随机数序列确实是具有这种分布的总体的一 个简单子样，也确实是一个具有这种分布的相互独立的随机 变数序列。产生随机数的问题，确实是从那个分布的抽样问 题。在计算机上，能够用物理方法产生随机数，但价格昂贵， 不能重复，使用不便

6、。另一种方法是用数学递推公式产生。如此产生的序列，与真正的随机数序列不同，因此称为伪随 机数，或伪随机数序列。只是，通过多种统计检验表明，它 与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把 它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方 法，与从（0,1）上均匀分布抽样不同，这些方法差不多上借助 于随机序列来实现的，也确实是讲，差不多上以产生随机数 为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的差 不多工具。（3 ）建立各种可能量一般讲来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的 解，我们称它为无偏可能。建立各种可能量，相当于

7、对模拟 实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。四、减小方差的各种技巧显然，当给定置信度a后，误差e由彷和 N决定。要减小E, 或者是增大N,或者是减小方差彷2。在彷固定的情况下，要把精 度提高一个数量级，试验次数 N需增加两个数量级。因此，单纯 增大N不是一个有效的方法。另一方面，如能减小可能的均方差比如降低一半，那误 差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。因此降低方差的各 种技巧， 引起了人们的普遍注意。 后面课程将会介绍一些降低方 差的技巧。五、方法的优势1、能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 从那个意义上讲，蒙特卡罗方法能够部分代替物理实验，甚 至能够得到物

8、理实验难以得到的结果。 用蒙特卡罗方法解决实际 问题，能够直接从实际问题本身动身， 而不从方程或数学表达式 动身。它有直观、形象的特点。1、受几何条件限制小在计算s维空间中的任一区域 Ds上的积分Ds,xjdxidxzdXs时，不管区域(XDs的形状多么专门，只要能给出描述Ds的几何特 征的条件，就能够从 Ds中均匀产生 N个点 得到积分的近似值。Ds "/ (i)(i)、gNg(Xl ,X2 , ,Xs )N i i其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统形状专门复 杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，可不能有 原则上

9、的困难。3、收敛速度与问题的维数无关1/2由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡罗方法的) 收敛速度为，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时刻及可能量计算时刻的变化，不阻碍误差。也确实是讲，使用蒙特卡罗方法时，抽取的子样总数N与维数s无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不阻碍问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而一般数值6 / 17方法，比如计算定积分时，计算时刻随维数的幂次方而增加，而 且，由于分点数与维数的幂次方成正比， 需占用相当数量的计算 机内存，这些差不多上一般数值方法计算高维积分时难以克服的 问题。4 、具有同时计算多个方案与多个未知量

10、的能力 关于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡罗方法有时 不需要像常规方法那样逐个计算，而能够同时计算所有的方案， 其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。 例如， 关于屏 蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时， 只需计算最厚的一种情况， 其他厚度的穿透概率在计算最厚一种 情况时稍加处理便可同时得到。另外，使用蒙特卡罗方法还能够同时得到若干个所求量。例 如，在模拟粒子过程中，能够同时得到不同区域的通量、能谱、 角分布等，而不像常规方法那样，需要逐一计算所求量。5、 误差容易确定关于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一 件容易的情况， 而蒙特卡方法则不然。

11、依照蒙特卡罗方法的误差 公式， 能够在计算所求量的同时计算出误差。 对干专门复杂的蒙 特卡罗方法计算问题， 也是容易确定的。 一般计算方法常存在着7 / 17有效位数损失问题， 而要解决这一问题有时相当困难， 蒙特卡罗 方法则不存在这一问题。6、程序结构简单，易于实现 在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块 性强，易于实现。7、缺点O（N 1/ 2） 收敛速度慢。如前所述，蒙特卡罗方法的收敛速度 为 ，一般不容 得到精确度较高的近似结果。关于维数少（三维以下）的问题， 不如其他方法好。 误差具有概率性。由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信 水平下可能的， 因此它的误差具有概率性， 而不是一般