计算机数值方法试题

1、数值计算方法试题填空（共20分，每题2 分）1、设=2319541 .，取5位有效数字，则所得的近似值x=2、设一阶差商勺一可21E，巧）则二阶差商畑=3、数值微分中，已知等距节点的函数值4、求方程则由三点的求导公式，有x2 -1 25= 0的近似根，用迭代公式托=笳，取初始值 %那么 J1y5、解初始值问题1畑）=7o近似解的梯形公式是九L和甘-F p&1丿，则A的谱半径b扣二，A的=7、设 他）=肿+"严尿上=0,12，贝丸,兀小盖祸= 和8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和 高斯-塞德尔迭代都9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler

2、 ）方法的局部截断误差为 盘三01&10、 设 b a U，当宀时，必有分解式,A = UJ，其中L为下三角阵，当其对角线元素 50 = 12$足条件时，这种分解是唯一的。、计算题（共60分，每题15分）i 19驰）二/，心=-（1）试求在上的三次Hermite插值多项式H （x）使满足H（r）=©）= CU2 虫（呵）*依）H（x）以升幕形式给出。（2）写出余项匚一 -三:-的表达式2、已知卞二胃（无）的创刀满足河（兀）-3| c 1，试问如何利用 ©（刀 构造一个收敛的简单迭代函数：，使'： 0，1收敛？3、试确定常数A，B，C和厂，使得数值积分公式畑心

3、闵 4/（p）+4/（0） +0/有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss型的？y -伽刃4、推导常微分方程的初值问题可）二几 的数值解公式:儿+1 P +亏(几+1十4儿+丁科_)三、证明题1、设 / -.-I.' .-I'(1) 写出解.的Newton迭代格式(2) 证明此迭代格式是线性收敛的2、设R=I - CA如果| |.，证明：(1) A、C都是非奇异的矩阵(2)()Pirn市参考答案：一、填空题1、2.31502、舟-列十凡)2h4、1.5几 44 /(ik+1)&q(A_)二屈少加(&i工6;7、'-

4、8、收敛9、O (h)10、'-“、计算题W = -1、1、(1)+竺2254502331+A4冗 251 9 丄 11 Q叭蔦淨七-邸心-詁M（级（冷2、由，' .，可得 -1 i -1/ 二一厂 ''I - ：! = iV 丁 因； '二J ；-故故. |-卜 I；- ,k=O,1,收敛。求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的分，得丁八，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得J 了0丿（对）必两盲/（兀G十4_/00十）（兀+1小石3；_十4必十几J略-1J所以得数值解公式：:. -.+ ;： -:;.-.':.三、证明题1、证

5、明：（1）因_：'-：，故厂,，由Newton迭代公式:得n=0,1,（2）因迭代函数-:，而f ：二 、_ ,& &工63又广 .-：,贝卩：厂：'/ | -I - -' - 1 -63632故此迭代格式是线性收敛的。2、证明：（1）因冈1，所以I - R非奇异，因I - R=CA所以C, A都是非奇异矩阵（2） - L ' 故则有(2.1 )因 CA=I- R,所以 C= (I - R) A1，即 £= (I - R -C 又 rA =A - c,故（这里用到了教材98页引理的结论）(2.2)结合（2.1 ）、（2.2）两式，得网艸

6、呵严冈wnnr_Mi模拟试题填空题（每空2分，共20分）1、解非线性方程f（x）=O的牛顿迭代法具有收敛2、迭代过程仏严碍（心）（k=1,2,）收敛的充要条件是3、已知数e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是山J n的迭代格式中求5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,则p(x)是不超过二次的多项式6、对于n+1个节点的插值求积公式出:刈乞4子(心)至少具有次代数精度aJt-C7、插值型求积公式J二I止:-二的求积系数之和*t-C,为使A可分解为A=LC,其中L为对角线元素为正的下三角形， a的取值范围9、-3则矩阵A的谱半径4 (A)=10、

7、解常微分方程初值问题：的梯形格式片土儿+ £ /必)+产(叫+1血:是阶方法二、计算题(每小题15分，共60 分)1、 用列主元消去法解线性方程组2術_眄弓码=1彳4阳十2陀十事42x2 = 7x023f ( x )132求二次插值多项式P左(H) 及f (2.5)3、用牛顿法导岀计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过-4、欧拉预报-校正公式求解初值问题取步长k=0.1,计算y(0.1),y(0.2) 的近似值，小数点后保留5位.三、证明题 (20分每题10分)f y(x)必 *+(1、明定积分近似计算的抛物线公式*具有三次代数精度/(所得结果比准确值大，并说明这个结论2、若 厂0,

8、 证明用梯形公式计算积分的几何意义。参考答案:5、三阶均差为07、b-a9、 110二阶方法二、计算题1、2、/(2.5) -|k(2,92 +|x2.5-bl = 2.66673、-# 1.25992（精确到,即保留小数点后5位）4、y(0.2) #0.01903三、证明题1、证明：当/W=1时,公式左边:-1+4 十 1 -ba公式右边:左边=右边=X 时左边:右边:r 丄直4 b丄壮1b2 - a& + 中+4=左边=右边左边:1、局部平方收敛2、 13右边:一左边=右边当饷"时左边:W宀右边:b aT ?” 丿m + 玉丄门、 i?* -a*-fl7 十护二一-b?4

9、左边=右边护-/当/W = F 时左边：5右边：+ 4-(a+6)* -bh4=b a (知°+4?色我/色2F * 期+ 胪-a5b265故-"具有三次代数精度2、证明：略数值计算方法试题一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程x3 x 4 0在区间【1,2内的根精确到三位小数，需对分（）次。22、 迭代格式xki xk（Xk 2）局部收敛的充分条件是 取值在 （ ）。S(x)3、已知则a=(4、lo(x),h(x), 数，则nlk(x)k 0n(X： x2k 0),lx1 32(x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c 12b=（ ），（x）是以整数点

10、X0,x1,3)L(x)c=（,Xn为节点的3是三次样条函数,）。Lagra nge插值基函nXkl j(Xk)k 0(6x7 2x4 3x2）。1和节点Xkk/2,k0,1,2,5、设 f（x）7上和6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 点的求积公式最高代数精度为7、,则 fX°,X1, ,Xn,5个节k（x） k 0是区间0,1上权函数（X）X的最高项系数为1的正交多项10X 4（x）dx式族，其中0（x）1，则x1ax2ax1 x2bib2给定方程组2时，SOR迭代法收敛a为实数，当a满足，且解初值问题yn hf （Xn, yn）1 2f（Xn,yn） f（x 阶方法

11、。10 aA 01 a10、设a a 1，当 a （其中L为下三角阵，当其对角线元素 条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题（每题2分）1、解方程组Ax b的简单迭代格式 （ ）。（1）（A） 1,（2）® 1,0yn 1h1yny f （x, y）y（x。）y。的改进欧拉法0 n 1? yn 1)是lii (i）时，必有分解式ALLt1,2,3）满足（）Bx（k） g收敛的充要条件是(A) 1,(4)(B) 12、在牛顿-柯特斯求积公式:af（X）dX （b a）ioC'）f（Xi）中，当系数 C(n)是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 时的牛顿-柯特斯

12、求积公式不使用。（1）n 8，（ 2）n 7，（ 3）n 10，（ 4）n 6，3、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）（1）二次；（2）三次； （3）四次；（4）五次hh4、若用二阶中点公式yn1 yn hf（Xn 2，yn ；f（Xn,yn）求解初值问题y2y，y（0）1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（ ）。（1）0 h 2,（2）0 h 2,（3）0 h 2,0 h 22三、1、（8分）用最小二乘法求形如y a bx的经验公式拟合以下数 据：Xi19253038yi19.032.349.073.31

13、2、（ 15分）用n 8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0e dx 时，（1）（1）试用余项估计其误差。（2）用n 8的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分 的近似值。四、1、（ 15分）方程x3 x 1 0在x 1.5附近有根，把方程写成三种（J x I 1不同的等价形式（1） x暂X 1对应迭代格式Xn 1令Xn 1 ； （2）Xxn 1J1 丄33.对应迭代格式禺；（3）X X31对应迭代格式Xn1xn1。判断迭代格式在X。1.5的收敛性，选一种收敛格式计算X 1.5附近的根， 精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffe nse n迭代法，并

14、进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、(8 分)4A 3已知方程组AX f，其中24f 3024(1)(2)(1)(2)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出 SOR迭代法。3 y 1dx五、1、(15分)取步长h 0.1，求解初值问题 y(0) 1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格 一库塔法求y(0.1)的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式P(x)使它满足P(x0)f(x0),p(X1)f(X1),P(x0)f(x0),p(X1)f(X1),p(X2)f(X2)六、(下列2题任选一题，4分)

15、1、1、数值积分公式形如1°xf(x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)(1)(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)1设f(x) C40,1，推导余项公式R(x)0xf(x)dx S(x)，并估计 误差。2、2、用二步法yn 1°yn1yn 1 h f(Xn,yn) (1) f (Xn 1 , yn 1 )y f (x,y)求解常微分方程的初值问题y(x。)y0时，如何选择参数°, 1,使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题n阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵 L和上三角

16、阵 LU唯一成立。()Newton cotes型求积公式会产生数值不稳定性。)一、判断题：(共16分，每小题2分)n使A8时，1、若A是U ,2、当n(bf(x)dx anAi f (Xi)3、形如数精确度的次数为2n 1。i 1 的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代 ( )210A1114、矩阵012 的2 范数 A2 =9O ()2aa0A0a05、设00a,则对任意实数a 0 ,方程组Ax b都是病态的(用 )( )6、设a Rn n , Q Rn n，且有QtQ I (单位阵)，则有a2 qa2 ( )7、区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯 ( )&

17、对矩阵A作如下的Doolittle分解：2231 00223A4772 100b12451 a1006，则a,b的值分别为a 2, b 2()二、填空题：(共20分，每小题2 分)1、设 f(x) 9x8 3x421x210，则均差f20,21, ,28f30,31, ,39。? f(xk)f'(xk)的收敛阶至少2、 设函数f(x)于区间a,b上有足够阶连续导数，P a,b为f(x)的xk 1一个m重零点，Newton迭代公式是 。3、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 的连续导数。72T A4、向量x(1, 2)，矩阵 3 1 ，则| AX , con d(A

18、)c15、为使两点的数值求积公式:1f(x)dx f(x0)f(x1)具有最高的代数精确度，则其求积基点应为 x1 , x2 。6、设 A Rn n , AT A，贝y (A)(谱半径)A 2。(此处填小于、大于、等于)2 ,则kim八（9分）A7、设三、简答题:1、1、方程x 4 2x在区间1,2内有唯一根X*，若用迭代公式：xki ln（4 xQ/ln2（k 0,1,2,），则其产生的序列xk是否收敛于x ?说明理由。2、 2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主 元的技术？f（x）仃3、 3、设x 0.001，试选择较好的算法计算函数值x2 <四、（10分）已知数值积

19、分公式为：hh2''0 f（x）dx尹（°）伽hf（0）f（h），试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8分）已知求a（a 0）的迭代公式为：xk 1(xk)2XkX。0k0,1,2证明：对一切k 1,2, xka，且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛。六、（9分）数值求积公式30f(x)dx訴f （2）是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组AX b中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b 0，若向量X是AX b的一个近似解，残向量r b AX，证明估计式：XX|r|仪11讽制（假定所用矩阵范

20、数与向量范数相容）八、（10分）设函数f（x）在区间0,3上具有四阶连续导数，试求满足 下列插值条件的一个次数不超过 3的插值多项式H（x），并导出其余项i012Xi012f (xi)-113f'(Xi )3九、（9分）设n（x）是区间a,b上关于权函数w（x）的直交多项式序 列，Xj（i 1,2, , n,n 1）为 ni（x）的零点，li(x)(i函数,1,2, ,n,n 1)是以xi为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基bn 1a f (x)w(x)dxAkf (xQak 1为高斯型求积公式，证明:(1)(1) 当 0 k,jn,k j 时，A k(xj j(x0lk(x)l

21、j (x)w(x)dxn 1 b 2lk (x)w()bx)dxw(x)dx(3) k1 aa十、（选做题8分）若 f(x)n 1(x) (xX0)(X X1) (x Xn)xi (i0,1,n)互异，求 fX0,X1, ,Xp的值，(2)0 (k j)ba1、( 10(1 )其中P n 1。数值计算方法答案 、填空题（每空1分，共17分）、2 C、2,0）（0,1"）3、a=（ 32、（），b=（ 3），4、（ 1 ）、9Xj）、（x4x23)5、6、7! 6279454236.256、7、0lii 08、19、10、-2 2(2）、）、选择题（每题2分）（）2、（ 1）三、1、（

22、8分）解：1 1252 312At ACK、1、3、( 1)spa n1,x24、（ 3）AT 1；解方程组1382ATy339119.032.349.073.3其中ATA 3爲 3529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.05010252、(15 分)T(8)-f(a)21解：72 f(Xk)k 1所以 a 0.9255577，”)f(b)0.05010251 2 16(0.88249690.77880080.53526140.472366550.6329434四、1、（15 分）解：（1）(2)（3） 选择(X)(x)X0(1.5)3 1.52(1):X51

23、.5， x11.32476Steffe nsen 迭代:XkXk计算结果：Xo1.5X12、（8分）解:1 112 820.606530660.41686207)1(x)#x 1)0.171.3572x61.32472Xke010.0013027680.36787947（j5）°18 1，故收敛;J故收敛;1，故发散。x21.3309，x3 1.3259， x41.32492(Xk)Xk)(Xk)2 (Xk)Xk(3 Xk 1 Xk)2k 11.324899x2Jacobi迭代法:(k 1)X；X3(k 1)123 Xk 1 11.324718有加速效果。(kX1(k 1)X2丄 4

24、30Gauss-Seidel 迭代法:11(24 3x2k)4-(30 3x1(k)-(k)41)丄(244k 0,123,X3 )x2k)k(2X30,1,2,3,034 0BJD1(L U) 34034100340(bj)、；(或计)°.79O569x；k 1) (1)x1k) (24 3x2k)4x2k1) (1)x2k) (30 3x1k1) x3k)4X3(1)X3( 24 x2 )4SOR迭代法：k叩，2,3，五、1、(15分)解：改进的欧拉法：y n 1 yn hf(Xn,yn)09yn 0.1h0yn 1 yn 柑区皿)彳区小补叫)0905丫. 0.0952所以y(0

25、1) Y1 1 ；经典的四阶龙格一库塔法：hYn 1Yn - k1 2k2 2k3 k46k1 f(Xnn)k2f (Xnhh,ynk1 )22kaf(Xnhh2，yn 尹2)k4f(Xnh, ynhks)k1k? kgk4 0，所以 y(01)Y11H3(Xi)f (Xi)2、（ 8 分）解：设H3（X）为满足条件出以）f (xj i 0,1 的 Hermite插值多项式，2 2则 p（x） H3（x） k（x X。）（x X1）代入条件 P（X2） f（X2）得:f(X2) H3(X2)2 2(X2 X0) (X2 X1)六、（下列2题任选一题，4分）231、解：将f（x）1,x,x ,x

26、分布代入公式得:3,B207,B2030120Ha(Xi)f(xj构造Hermite插值多项式H3（x）满足 出以）f。）i 0,1其中X00, X111则有：0xH3(x)dx S(x)f(x) H3(x)严(X 1)21 1R(X) 0Xf(x) S(x)dx 0f(4)( ) 1 T ()132x (x 1) dx4!宀）4!04! 602(X 1) dXf()14402、解:h2Rn,hy(Xn 1) yn 1 丫以)hy (Xn)可h20y(Xn)1(y(Xn) hy (Xn) 万 y()h3 y (Xn)耳 丫 X)h33f y(Xn)(Xn)hy(xn)(1)(y (Xn) hy

27、 (Xn )h2y(Xn)(1 0h2(21)y(Xn)h(111所以2)y (Xn)1)y (Xn)%:j (Xn) °(h4)1丄25 .31032(Xn)该方法是二阶的。数值计算方法试题、（24分）填空题(1)（1）（2分）改变函数f（x）Jx 1 Vx（x 1）的形式，使计算结果较精确（2）（2分）若用二分法求方程f X0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数,则需要对分次。f X(2分)设2 2X-!X2X1 X2，则 f' X(4)c2x3,0 x 1S x32(3 分)设x ax bx G1 x 2是3次样条函数,则(5)a=,b=, c=。(6)(5)(3分

28、)若用复化梯形公式计算10，要求误差不超过10 6，利用余项公式估计，至少用个求积节点。x11.6x21(6)(6分)写出求解方程组代公式0.4x1 x2 2 的 Gauss-Seidel迭(8)，迭代矩阵为，(9)此迭代法是否收敛A 5 4(10) (7)(4 分)设 4 3 ,贝卩 A ,Cond Ao(11) (8)(2分)若用Euler法求解初值问题y'10y，y。1，为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为二. (64 分)(1) (1)(6 分)写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(12 分)以100,121,144为插值

29、节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。(3) (10分)求f x ex在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项X14x22x3243洛X25x3342X16x2X327(5)(10分)用复化Simpson公式计算积分"1 sin xrdx的近似值,要求误差限为0.5 10 5。(6)(5)(10分)用 Gauss列主元消去法解方程组:(8)(6)(9)X1X2(8分)求方程组(8分)已知常微分方程的初值问题:521的最小二乘解。dy dx x y, 1 x 1.2 y(1) 2(10)(11)用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h 0.2。.(12分，在下

30、列5个题中至多选做3个题)(1) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：(2) p 115， p' 120，p'' 130， p 257， p' 272(3) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：11xf x dx A0 fA f 10210 1A(5) (3)(6分)用幕法求矩阵1 1的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距 离小于0.05，取特征向量的初始近似值为10 T。y' x f x, y x , ax b, y ayo(8)的形式为yi 1 yi h 0i1

31、,i=1,2，,N(9)的公式，使其精度尽量高,其中 fi f Xi, yixia ih(10)i=0,1,N,(11)(5)（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y(12) yP x y a0,q x y r x 0, a x byb 0所得到的三对角线性方程组。、1、（、数值计算方法试题答案一、判断题：（共10分，每小题2分）（X ）2、（ V ）3、（ X ）4、（X ） 6、（ V ） 7、（ X ） 8、（ X二、填空题：（共10分，每小题2分）5、1、9 8!、02、二3、二4、 16、90 5、7、三、1、0三、简答题：（15分）迭代函数为14 x l n 21、解:(x

32、)(x) ln(4 x)/l n2丄丄142 ln 22、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主 akk）全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使det（A） 0，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0,但若主元素akk）的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元 的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方 程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免 主元素卅=0或兀素ak很小的情况发生，从而不会使计算中断或 因误差扩大太大而使计算不稳定。四、3、3、解:1 cosxf(x)2!cosxx2x42n2!4!2!2 x4!4!1)n1x2n1

33、)n(2n!)2n 21 x(2n!)四、解：f(x) 1显然精确成立;f(x) x 时0xdxi0 hf(x)f(x)f(x)x2时,2dx04dx03dx0h22.h、畀h h 02h2-0h31h20 3h221-0h4123h20 4h3212h211345h3h4h52 h112 ;所以，其代数精确度为3Xk 1a) 2 2；Xk Ja k 0,1,2五、五、证明：2Xk2Xk故对一切k1,2,，Xka。xk 11a1 “1) 1(12) (1Xk，即序列Xk是单调递减有又Xk2Xk2所以Xk1下界，从而迭代过程收敛六、六、解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为x:鮒)x

34、1f(2)1 22 1330 P(x)dx-f(1)2()。其代数精度为1p(x)七、七、证明：由题意知：AX b,AX b r1A(X X) r X X A 'rX XA1卜AX b |b| |ax| |A|x|1Ik, II又I|x|八、解：设所以 XH(x) N2(x)2)A Arbax(x 1)( xN2(x)f(0)f0,1(x 0)f0,1,2(x0)(x|A|11)1 2x (x 0)(x 1)212x x(x21'a 由 H (0)3 得： 4H (x) x35 x2 3x 1所以44f(x) H(x)，作辅助函数 g(t) f(t) H(t) k(x)t2(t

35、 1)(t 2)tx,0,1,2所以H(x) 11)ax(x 1)( x 2)令 R(x)则g(t)在0,3上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:宀(反复利用罗尔定理可得：k( x)2所以 R(x) f(x) H(x) k(x)x(x1)(x 2)!，( g(4)( ) 0)八4)( )2x2(x 1)(x2)4!九、证明：形如 积公式具有最高代数精度 次的多项式均精确成立九、bf (x)w(x)dxan 1Ak f(xk)k 1的高斯(GausS型求十、2n+1次,它对f (x)取所有次数不超过2n+11)2)n 1Ai k (Xi ) j (Xi )i 1k(x)j (x)w(x)dx 0

36、li(Xj) 且有i j因为li(x)是n次多项式，blk(x)l j(x)w(x)dxAlk(Xi)lj (Xi)所以ai 1取f(x) (x)，代入求积公式：因为bli (x)w(x)dx 所以a n 1 b2l k (x)w(x)dxak 1故结论成立。十、解：3)n 1Ajh(Xj)2Aij 1n 1bAkw(x)dxk 1a0(k2li (x)是2n次多项式,j)f (Xi)fX°,X1,Xmf)()1(n 1)!fXo,Xi,Xpp(XiXj )j 0数值计算方法试题一、(24分)填空题(12) (1)(2分)改变函数f(X)X 1 X (x 1)的形式，使计算结果较精确

37、(13)(2)(2分)若用二分法求方程fx 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。(14) (3)f X(2分)设2 2X1X2X1X2，贝y f' x(15) (4)Sx(3分)设2x3,0 x 132X ax bx c, 1 x 2是3次样条函数，则(16) a=,b=, c=。1 eX dX(17) (5)(3分)若用复化梯形公式计算0，要求误差不超过10 6，利用余项公式估计，至少用 个求积节点。x11 .6x21(18) (6)(6分)写出求解方程组0.4X1 X2 2的Gauss-Seidel迭代公式(19) ， 迭 代 矩 阵(20) 此迭代法是否收敛

38、。5 4A(21) (7)(4 分)设 43,贝卩 A ,Cond Ao(22) (8)(2分)若用Euler法求解初值问题y'10y, y。1，为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为二. (64 分)(12) (1)(6分)写出求方程4x cosx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(13) (2)(12 分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。X(14) (3)(10分)求f x e在区间0,1上的1次最佳平方逼近多项式。I 1沁 dx(15) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分 0 x 的近似值

39、，要求误差限为0.5 10 5。(16) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：X14x2 2x3243捲x2 5x334(17)2洛6x2 x327135x11 2 2X2(18)(8分)求方程组1 11的最小二乘解(19)(8分)已知常微分方程的初值问题：dy dx x y, 1 x 1.2（20） y（1） 2（21）用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h 0.2三. （12分，在下列5个题中至多选做3个题）(13) (1)（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：(14) P115 p' 120p'' 130 p 257 p&#

40、39; 272> > > >(15) (2)（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：1xf x dx A0f 丄 A, f 1(16) 0210 1 A(17) (3)（6分）用幕法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距 离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,0 T。（4）（6分）推导求解常微分方程初值问题(5) y' x f x, y x ,a x b, y a y°(6) 的形式为 y yi h 0fi1fi1 ,i=1,2,N(7) 的公式，使其精度尽量高，其中fi f

41、xi,yi , xi a ih,(18) i=0,1，,N,(19) h b a . N(20) (5)(6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y'' p x y' q x y r x 0, a x b(21) y'a Q yb 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题答案 (24 分)2x12x2(3) (2 分)X2X1（3分）3-3kX11 11.6x2k0k 1c, k 1 ,k 0,1,(6) (6 分)X220.4x10(1) (2 分 x 1 x(2) (2 分)101(5) (3 分)4771.60.64 收敛（4分）991(8) (2

42、 分)h<0.2二. (64 分)(1) (6 分)XnXnCOS Xn,n=0,1,2,1 . sin x 4对任意的初值X。0,1,迭代公式都收敛。（12分）用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136115 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)= 10.7227555R 115 100 115 121 115 1443!(3)(10 分)设 x GiX C2 2 x g C2X1, 11 , 2 C1f, 11dx 101 A1xdx 0 22, 12 , 2 C2f, 21 ? 11? 2J >1 2 1112 ,2x dx03, j0exp(x)dx e 1f, 20 xexp(x)dx 111 2Ce 1C|0.87311213C21C21.690x50.8731 1.690xx4e1018 6ex=0.873127+1.69031x（10分）Si6 f00.94614588S22f10.9460869312S215S2S10.39310-5S20.9