勾股定理的逆定理教学设计及点评(获奖版)

1、义务教育教科书数学 八年级上（北京师范大学出版社）1.2一定是直角三角形吗教学设计一、教学内容解析本节课的教学内容是探索勾股定理的逆定理，并能运用它们解决一些简单问题.一定是直角三角形吗是北师大版数学八年级上册第一章第2 节的内容.勾股定理的逆定理属于事实性知识，本节课继探索勾股定理之后，勾股定理应用之前，在本章起着承上启下的作用.同时，勾股定理的逆定理又是初中阶段学生判定直角三角形非常重要的依据.本节课将勾股定理的条件和结论互相交换得到一个新的命题，探索并证明这个命题是真命题，这也是我们数学中研究问题的常用视角.同时，勾股定理的逆定理是从边的角度判定一个三角形是直角三角形，和前面学过的一些判

2、定方法不同，它是通过数的计算来作形的判断，体现了数形结合的数学思想. 探索定理的过程又体现了科学探索的一般方法“特殊验证大胆猜想小心求证” ，从特殊到一般再回到特殊问题. 故学习本节内容有利于培养学生主动提出问题、发现问题、 和探索解决问题方法的能力，同时拓展学生思维，体会数形结合的数学思想，同时树立正确、科学的价值观所以，本节课的教学重点是：探索并证明勾股定理的逆定理.二、教学目标设置根据课标要求和教学内容解析，确定本节课教学目标如下：（ 1）理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；（2）能根据三角形三边的条件判断三角形是否为直角三角形；（3）经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能

3、力；经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力；（4）体验生活中数学的应用价值，感受数学来源于生活并应用于生活，激发学生学数学和用数学的兴趣；在探索过程中体验成功的喜悦，在合作交流的过程中提高团队意识.三、学生学情分析从知识上看，学生已经探索并学习勾股定理，知道勾股定理是直角三角形重要的性质，勾股定理是根据“形”的特征得到“数”的关系.同时，七年级学习了全等三角形，知道通过全等三角形可以将数量和位置关系进行转化.从八年级学生的理解能力和思维特征上看，七年级学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线平行？这既揭示了知识前后的

4、内在联系，也是一种研究问题的常见视角.因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经 具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证法、构造全等三角形等思路， 对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导.因此，本节课的难点为：探索勾股定理逆定理的过程及定理的证明.四、教学策略分析：数学是一门培养学生思维，发展学生思维的重要学科，因此，在教学中，不 仅要使学生知其然”而且要使学生知其所以然”，让学生了解探究问题一般过程 和方法.根据本课内容特点，本节课采用“实验 一猜想一归纳一论证一应用”的模 式进行，从创设问题情景入手，通过知识再现，逆向思考得到关于直角三角形判 别条件的

5、猜想，通过动手操作验证猜想的合理性，由合情推理得到一般结论，再 通过演绎推理证明结论的正确性.本节课通过“问题申”启发引导学生寻找边的关系判断直角三角.通过“弱”和“强”的提示语试图调动不同层次学生思维的深入，学生分组遵循“组问无差 距”、“组内有梯度”的原则，营造 可探索”的环境，使学生积极参与，互相讨 论，一步步地掌握勾股定理逆定理的内容，更好地理解并证明勾股定理的逆定理， 从而体会转化与划归的数学思想.同时采用多媒体辅助教学，将不同组学生的做 法进行展示，鼓励学生积极主动从不同角度阐述自己的想法， 并及时肯定或优化 解题思路，使学生学习数学更有成就感，培养学生学习数学的信心.五、教学过程

6、：教学过程设计说明第T节：问题引入1、温故知新：上节课我们一起研究了勾股定理， 对直 角三角形的认识更加深入，那么你知道直角三角形有什么 特征？（学生思考时教师在黑板上画出直角三角形ABC,并标注直角和各边，学生回答后，引导学生从角和边两个角 度进行梳理.）2、提出问题：（口述）反过来，一个三角形满足什么条件就是直 角三角形？你如何得到一个直角三角形？温故知新主要 让学生回忆直角三 角形的性质，梳理直 角三角形六要素N 间的关系；问题1回 忆直角三角形的判 定方法，学生一般会 选择从角的方向利 用测量仪器来判定， 此时条件、结论是可 以互换的；问题2引 发学生的认知冲突 从而引出古埃及人（展示

7、）：你能用一根绳子得到直角三角形吗？3、古埃及人的智慧：金字塔的地基必须严格地成为正 方形，四个角就必须是严格的直角；不管是哪一个角有微 小的偏差，都会使整个建筑物走形。那时候还没有发明测 量仪器，要做出周长一公里那么大的正方形，怎样准确画出直角，很可能是古埃及人要解决的最大难题。第二环节：探究勾股定理的逆定理1、探索发现：聪明的埃及人制作了这样一条神奇的纯 子，就像大家现在手中拿到的一样.古埃及人在一条绳子上打了一些等距的结，你能用这 条绳子围成一个直角三角形吗？说说你的理由.（四人小组合作，得到直角三角形，并验证它是直角 三角形）师：利用等距的节点使得你得到的三角形满足什么条 件？（三角形

8、的三边长分别为3、4、5）师：你是如何判断它是直角三角形的？（学生可以测量最大角，也可以测量另外两个较小的 角，还可以通过反证法说明它不可能是锐角三角形或钝角 三角形，也可以引导学生关注直角边长为 3、4的直角三角 形与边长为3、4、5的三角形之间的全等关系，从而说明 它是直角三角形.）师：通过验证我们发现边长为 3、4、5 （单位：cm） 的三角形是直角三角形，且32 42 52,那么其它满足这 个条件的三角形也是直角三角形吗？2、特殊验证：下面有四组数分别是一个三角形的三边 长 a, b, c （单位：cm）:5, 12, 13; 1.5, 2, 2.5;的智慧.介绍古埃及人 智慧，激发学

9、生对数 学文化的兴趣，体会 数学来源于生活并 应用于生活.同时了 解探索勾股定理逆 定理的必要性.为下 一个环节做铺垫.探索发现：让学 生动手操作得到直 角三角形，并体会古 人在没有精确测量 仪器时如何利用边 长3、4、5得到直角 三角形.从而发现通 过边的关系也可以 判定直角三角形.特殊验证：进行 更多的实验验证，对 “探索发现”的结论 和说理方法进行推4,7.5,8.5;6,8,10,这四组数都满足a2b2c2.分别以每组数为三边长作出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么判断的？（作图前，可以先提问学生“已知三角形的三边长如何画出这个三角形？ 乂&学生方法上的指导.）经过学生充分讨论后，

10、汇总各小组实验结果发现：5, 12, 13满足a2 b2 c2,可以构成直角三角形；3.5, 12, 12.5满足a2 b2 c2 ,可以构成直角三角 形；4, 7.5, 8.5满足a2 b2 c2 ,可以构成直角三角形；6, 8, 10满足a2 b2 c2,可以构成直角三角形.3、大胆猜想：从上面的分组实验，我们能不能得出一个更一般的结 论？如果一个三角形的三边长 a,b,c,满足a2 b2 c2,那 么这个三角形是直角三角形.4、小心求证：如何来论证这个猜想？有同学认为测量 的方法此时不可行，觉得这个猜想可能不对.你认为这个猜 想正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？你能结合图形写出这个

11、猜想的条件和结论吗？独立思 考后和你的同伴交流.（此问题给学生一定的活动时间和适当的引导，根据 前面特殊验证的经验，没有数据，不能直接测量，提出“哪 种方法可以继续推广呢？”学生先独立思考后小组合作讨 论，叙述的理由只要合理都给与肯定.）理由1:上节课“议一议”活动的结论：锐角三角形 和钝角三角形中，任意两边的平方和都不等于第三边的平 方，则这几个三角形一定不是锐角三角形或者钝角三角形， 只能是直角三角形.大胆猜想：从特 殊到一般，发展合情 推理能力.通过特 殊的验证，学生能较 容易得出猜想.教师 需要更加清晰地引 导学生分析猜想的 条件和结论.小心求证：体验 数学结论的发现总 是要经历观察、

12、归 纳、猜想和验证的过 程，同时遵循由特 殊一 一股一特殊”的 发展规律，发展学生 的演绎推理能力.一般来说，学生 不会仅仅满足于测 量活动的结果，部分 学生会进行理性的理由2:以a和b为邻边长，构造三角形，观察随着夹角的增大第三边的变化趋势：越来越大；根据勾股定理， 夹角是直角时，第三边长度等于 c,夹角不是直角时，第 三边长度肯定不等于C,因此边长为a，b，c,满足a2 b2 c2, 那么这个三角形是直角三角形.理由3:构造全等三角形进行证明：已知：如图，在 ABC 中，AB=c , BC=a, CA=b,且 a2 b2 c2.你能否判断 ABC是直角三角形？并说明理 由.解：是，理由如下

13、：画一个 ABC,使 C 90,BC a,C A b在 Rt ABC 中，AB2 BC2 CA2 a2 b22. 22a b c AB2 c2 AB cBC a BC 在 ABC和 ABC 中 AC b AC AB c ABABC ABC C C 90 ABC是直角三角形 （根据学生给出的理由教师完善并引导学生条理化， 如 果没有同学介绍第3种，教师可以直接介绍方法让学生说 出证明过程）思考.也可能有部分 同学因为测量工具 或者方法的影响得 到不一样的结论.及 时提出问题，让学生 明确，仅仅基于测量 结果得到的结论未 必可靠，需要进一步 通过说理等方式使 学生确信结论的可 靠性，同时明晰结 论

14、.通过第二环节 的测量验证和说理 论证，得出猜想的是 正确的.此环节叙述第三环节：勾股定理的逆定理及勾股数通过以上探究得到如下定理：勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a,b,c ,满足a2 b2 c2 ,那么这个三角形是直角三角形.（教师引导学生认识此定理的条件和结论， 为后面反思 总结做铺垫，同时追问“那条边所对的角是直角”）符号语言：v 在4ABC中，BC=a, CA=b,AB=c, K且 a2 b2 c2,JAABC为直角三角形，且/C=90.C a B满足a2 b2 c2的三个正整数，称为勾股数.（教师此时直接提问，之前验证的数据中有没有勾股 数，哪些都是勾股数，巩固勾股数的定义

15、，同时也让学生 体会：边长是勾股数的三角形是直角三角形.）思考：1 .这个结论与勾股定理的区别和联系.2 .如果a2 b2 c2,那么这个三角形可能是直角三角 形吗？（学生独立思考后作答，教师板书勾股定理逆定理的 内容并列举勾股数）结论：1.将勾股定理的条件和结论互换就得到这个结 论.勾股定理逆定理的 符号语言，让学生明 确条件和结论，以及 说明一个三角形是 直角三角形时需要 找出直角.同时也要 让学生体会数的关 系可以推出形的特 征.认识常见的勾 股数能较为快速的 判断直角三角形.人 们对勾股数的研究 也很深入，此时抛砖 引玉为课后研究勾 股数提供基础.思考1进一步 让学生认识该定理 与勾股

16、定理之间的 关系，为日后学习互 逆定理打好基础，同 时体会数学上变换 条件和结论是研究 问题的常见视角.思考2用反证 法和勾股定理来说 明这个三角形不是 直角三角形，进一步 引导学生理解体会 勾股定理和逆定理 的区别。3 .如果a2 b2 c2,那么这个三角形不是直角三角形第四环节： 例题讲解 应用定理1、初步应用：下列哪组数能作为直角三角形的三边长? 说说你的理由.(1) 7, 24, 25; (2) 15, 17, 8; (3) 3, 5, 6.(使用定理判定时需要先找到最长边，再进行关系验证，如果有同学使用了 a2 c2 b2来验证，及时肯定并板 书公式的变形；有了思考2可以直接通过关系

17、不满足来否 定是直角三角形.学生独立思考后回答，教师补充.)此环节分为初步 应用和巩固提高两 部分，初步应用注重 于定理本身的使用. 巩固提高需要使用 勾股定理进行计算， 再使用逆定理进行 验证，让学生对判定 和性质进行区分，增 强定理使用的灵活 性.2、问题解决：一个零件的形状如图1所示，其中/ A=90 ,按规定这个零件中/ DBC也应为直角，工人师 傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件合格吗？9通过问题让学 生回忆本节课的主 要内容，从知识性和 方法性两方面入手， 既有提示语弱的问 题，又有提示语强的 问题，试图照顾到不 同层次学生对本节 课的认识，学生自 述，教师补充并引 导.(

18、本题需要学生先使用勾股定理求出 BD再利用勾股定理 的逆定理判定直角三角形从而指出直角.学生先独立思考, 再进行板演，教师规范书写过程.)第五环节：小结与思考问题：回顾本节课，我们探索了什么问题？如何探索 的？获得了什么结论？说说你的感受.(师生相互交流总结出：1 .今天所学内容会利用三 角形三边数量关系a2 b2 c2判断一个三角形是直角三角 形；满足a2 b2 c2的三个正整数，称为勾股数；2.从 今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：数学 是源于生活又服务于生活的；数学结论的发现总是要经 历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊一 一般一特殊”的发展规律；利用三角形三边数量

19、关系a2 b2 c2判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较 大时，要懂得将a2 b2 c2作适当变形，c2 b2 a2便于计 算.）第六环节：布置作业，课堂延伸1、基础巩固：习题1.3第1, 2, 3题；2、动手实践：做一条古埃及人“神畸的绳子”，有哪些 方法？与你的同伴进行交流.3、思考交流：你还启具它的方法来证明这个结论吗？ 独立思考后与你的同伴交流.（基础巩固在作业本上完成，动手实践学生课后完成， 方法多样，重在勾股数的应用，思考交流拓宽学生视野 .）基础巩固是勾 股定理及其逆定理 的直接使用，巩固课 堂内容，提高学生灵 活运用知识的能力； 动手头践具有 aE 的挑战性和开放性， 发