2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教B版选修2-2

1、课程目际1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题.2 理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构.垦础如识数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值no时命题成立；(2)在假设当n=k(kN+,且kno)时命题成立的前提下，推出当n=_时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.名师点拨iI数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”；第二步解决的是延续性问题，又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下 几

2、点:(1) 两个步骤缺一不可；(2) 在第一步中，n的初始值不一定从 1 取起，也不一定只取一个数(有时需取n=no,no+1 等)，证明应视具体情况而定；(3) 第二步中，证明n=k+ 1 时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳 法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；证明n=k+ 1 时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的 形式，以便使用归纳假设， 然后再去凑出当n=k+1 时的结论，这样就能有效减少论证的盲 目性_i W【做一做】对于不等式.n2+nvn+ 1(n N+)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1) 当n= 1 时，1 + 1v1 + 1，不

3、等式成立.(2) 假设当n=k(k N+)时，不等式成立，即，k2+kvk+ 1,则当n=k+ 1 时，,；(k+1)2+(k+1)=. k2+3k+2v(k2+3k+2)+(k+2)=(k+1)+1,当n=k+ 1 时，不等式成立.上述证法().A.过程全部正确B.n= 1 时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+ 1 的推理不正确1.利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项?剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n=k+ 1 时命题为什么成立？n=k+1 时命题成立是利用假设n=k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等 数学结论推证出来的，而不是直接代入，

4、否则n=k+ 1 时命题成立也成假设了， 命题并没有得到证明.(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归 纳法证明，学习时要具体问题具体分析.2.运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？剖析：(1)对项数估算的错误， 特别是寻找n=k与n=k+ 1 的关系时，项数发生什么变 化被弄错.(2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通2.3数学归纳法2不过去了.(3)关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1 时结论也成 立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明

5、过程的严谨性、规范性.啟型例题-XING I I II lhi(VV 题型一用数学归纳法证明恒等式等式右边，当n取一个值时，对应一项.无论 右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.题型二用数学归纳法证明不等式由(1)和，可知等式对一切nN+都成立.【例题 1】用数学归纳法证明1 1 112+ 34+12n11 1 1 1亦=n+ 1+n+2 十十 2n分析：左边式子的特点为：各项分母依次为 母由n+ 1 开始，依次增大 1, 一直到 2n,共1,2 , 3,，2n,右边式子的特点为：分n项.11n取一个值反思：理解等式的特点：在等式左边，当【例题 2】已知a0，b0，n 1，n N+

6、，用数学归纳法证明：2一2反思：应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设,缩法或其他证明不等式的方法证得n=k+ 1 时命题成立.题型三归纳一一猜想一一证明【例题 3】某数列的第一项为 1,并且对所有的自然数(1) 写出这个数列的前五项；(2) 写出这个数列的通项公式并加以证明. 分析：根据数列前五项写出这个数列的通项公式，的关系，归纳出构成数列的规律. 同时还要特别注意第一项与其他各项的差异， 段表示证明这个数列的通项公式可用数学归纳法.反思：先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项公式，法给予证明，这是解数列问题的常见思路.题型四易错辨析易错点：在应用数学归

7、纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由 题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的.【例题 4】用数学归纳法证明：1 1 +- +a+bn.2.再应用放n2,数列的前n项之积为n2.要注意观察数列中各项与其序号变化必要时可分再用数学归纳n=k至 Un=k+1 命+ +2x44x66X82n(2n+2) 4(n+1)1 1 1当n=1时，左边= 2X4，右边= 4(1 + 1)=4X2，等式成立.n=k时等式成立，那么当n=k+ 1 时，直接使用裂项相减法求得1 1 11 +4X66X81 17 +错证：(1)假设当1 1+2X42k(2k+ 2)+(2k+ 2)(2k+ 4) 丄1=单1

8、 2岖4+妙6/1 1=2 22k+4=4(k+ 1) + 1，即当n=k+1时等式成立.3腿皇练三)-、SU1 TANGXJ GONG1 用数学归纳法证明(n+1)(n+ 2) (n+n) = 2n 1 3(2n 1)(n N+)，从“n=k到n=k+1”左端需增乘的代数式为().A. 2k+ 1 B . 2(2k+ 1)41114 用数学归纳法证明“若f(n) = 1 + 尹 3 +一，则n+f(1) +f(2) +f(n 1)=2 3nnf(n)(n N+,且n2) ”时，第一步要证的式子是 _ .5 在数列an中，a1= 1，且S,S+1,2S 成等差数列，则Sa,S, S分别为_，由

9、此猜想$=_ .答案：基础知识梳理k+ 1【做一做】D 因为从n=k到n=k+1 的证明过程中没有用到归纳假设，故从n=k到n=k+ 1 的推理不正确.典型例题领悟1 1 1【例题 1】证明：(1)当n= 1 时，左边=1 2= q = 1 + 1=右边, 等式成立.假设n=k时等式成立，即1 1 1 1 11 一_+一一_+ 23 42k 1 2k1 1 1= + +k+ 1+k+ 2+2k则当n=k+ 1 时，亠丄1111111左边=12+34+冇 一 2k+2k+l一 汞花11丄、 111 1 1 1 =k+2+2k+冇+k+1=右边当n=k+ 1 时等式也成立.由(1)和(2)，知等式

10、对任意nN+都成立.c.2k+ 1k+ 12k+ 3k+ 1A. f(k) +kBC.f(k) +k+ 1 D.f(k) + 1 .kf(k)3 利用数学归纳法证明1 1 1 1n+n+ 1+n+ 2+2n 0,62 2a+ba+b2【例题 2】证明：(1)当n= 2 时，左边=,右边=(一)，左边右边=不等式成立.k k(2)假设当n=k(kN+,k 1)时，不等式成立，即a+k + 1 . k + 1kkk . kk+1 . k+ 1 kkk 1,k N+,所以(a+b) (a b+ab) = (ab)(ab) 0,于是a+ba b+ab.+ 1k +1ka+b a+b a+b+a b+a

11、bw=224，因为a0,b 0,，不等式也成立.由(1)和(2)，知对于a0,b0,n 1,nN+,不等式2【例题 3】解：(1)已知a= 1,由题意，得a1a2= 22,a2= 22.32-aia2a3= 3，a3=宁.2 245同理，可得a4=3,as=42.因此该数列的前五项为 1,4 , 4, 196, 166.(2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为an=T n=1,；n2nI2,nA2.!n1F 面用数学归纳法证明当n2时，an=2nn12.222,1当n= 2 时，比=2 = 2 ,等式成立.2假设当n=k(kA2)时，结论成立，即/aia2.ak 1= (k 1),2

12、a1a2ak1akak+1= (k+ 1),k+l2a1a2.a1k2 ak=k12.ak + iakk2-R2k+2k+l2k+l 1当n=k+ 12.时，结论也成立.根据和，可知当n2时，这个数列的通项公式是2.1n= 1,2,nA2. 0,78【例题 4】 错因分析： 由 用数学归纳法的一种伪证.n=k到n=k+1 时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套111正确证法：(1)当n= 1 时，左边=石，右边=：，等式成立2X488假设当n=k时，1111k亠2X?+4X6+ 6X8+ 2k?k +?= 成立.那么当n=k+ 1 时，1 1 1 1 1-亠- 亠- 亠亠 亠2X44X66X8

13、2k?k+k+k+_k _1_ _k k+2+1_k+ 12:_k+1 +_k+k+ 2 : _k+k+ 2 _k+k+2k+ 1_k+ 1=_k+2= _k+，当n=k+ 1 时，等式成立.由(1)和(2)，可得对一切nN+等式都成立.随堂练习巩固1.Bn=k时，左边=(k+ 1)(k+ 2) (k+k)，而n=k+ 1 时，左边=(k+1) + 1(k+ 1) + 2(k+1) + (k- 1)(k+1) +k(k+ 1) +(k+ 1) =(k+ 2)(k+ 3) (k+k)(2k+ 1)(2k+ 2)=2(k+ 1)(k+ 2)(k+k)(2k+1).2.A 第k+1 条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点.3.C 不等式左端共有n+ 1 项，且分母是首项为n,公差为 1,末项为 2n的等差数列，111 1 111当n=k时，