2019高考数学考点突破——函数概念：函数的单调性与最值学案

1、函数的单调性与最值【考点梳理】1 增函数、减函数般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D? I，如果对于任意Xi,X2D,且XiVX2,则都有:(1)f(X)在区间D上是增函数？f(Xi)Vf(X2)；f(X)在区间D上是减函数？f(xi) f(X2) 2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(X)在区间D上是增函数或减函数, 格的)单调性,区间D叫做y=f(X)的单调区间.3 函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为1，如果存在实数.M满足条件1对于任意的xI，都有f(x) M2存在X0I，使得f(X0) =M结论M是y=f(x)的最大值%M是y=f(x)的最小值【考点突破】考点一、函数单调

2、性的判断【例1】函数y= log1( X2+X+ 6)的单调增区间为()解析由x2+x+ 60,得2x3.令t= x2+x+ 6，则y= log1t是减函数，.只；需求t= x+x+ 6 在(一 2, 3)上的减区间又t= x+x+ 6 在定乂域(一 2, 3)上的减区间 是 2，3，故y= log1( X2+x+ 6)的增区间为ax【例2】试讨论函数f(x) =(az0)在(1, 1)上的单调性.X 1解析 法一 设1X1X21 ,IX 1+ 1)f 12,答案A.12, 2C. ( 2, 3) D3.22f(x)=aT=a1+肓，f(x1)f(x2)=a1+a1+ 4 =(a1)(X1)1

3、)，X1 1.X2 1(X1 1 ) (X2 1 )23由于一 1X1X20,xi 10,X2 10 时，f(xi) f(xM0,即即f(xJf(X2)，函数f(x)在(1, 1)上递减;当a0 时，f(X1)f(X2)0 ,即f(X1)0 得x1 或XV1,即函数f(X)的定义域为(8,1)U(1, +8).令t=x21，因为y=log2t在t(0,+)上为增函数，t=x21 在x(8,1)上是减函数，所以函数f(x)=log2(X21)的单调递减区间为(8,1).yiI-Xik、2.试讨论函数f(x) =x+(k 0)的单调性.X解析法一：由解析式可知，函数的定义域是(8,0)U(0,+8

4、).在(0,+8)(X)上(x1)ax(x1)a(x 1)ax(X (x 1)当a0 时，f (x)0，函数f(x)在(一 1, 1)上递减； 当a0，函数f(x)在(一 1， 1)上递增.【类题通法】1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间内任取X1,X2,令 0VX1X2,那么f(X2)f(X1)=X2+XXX1+ = (X2X1) +丄X1(X2X1)X1X2kX1X2法(x 1)24因为 0X1 0,X1X2 0. 故当X1,X2 (,)时，f(X1)Vf(X2),即函数在(，k,+8)上单调递增.当X1,X2 (0, fk)时，f(xd f(X2),即函数在(0 ,.

5、k)上单调递减.5k考虑到函数f(x) =x+-(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,X故在(a, k)上单调递增，在(k,0)上单调递减.综上，函数f(x)在(a, k)和(.k,+a)上单调递增，在(k,0)和(0,k)上单调递减.法二：f (x) = 1 令f(X)0 得x2k，即x(a, . k)或x(k,+a)，故函数的单调增区间 为(一a, k)和(，k,+a).令f(x)v0 得x2vk,即x ( k, 0)或x (0 , k),故函数的单调减区间为(一k, 0)和(0 ,k).故函数f(x)在(a, k)和(.k+a)上单调递增，在(k,0)和(0,k)上单

6、 调递减.考点二、禾 U 用函数的单调性求最值x【例 2】函数f(x)= -(x2)的最大值为 _ .x 1答案21 1故f(X)在2,+a)上的最大值为 2.【类题通法】解析法一：f(x)=一 1xz2,.x2时,f(x)v0 恒成立,6 f(x)在2,+a)上单调递减，f(x)在2,+a)上的最大值为f(2) = 2.1f(x)的图象是将y=-的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的.Vy=x1-在 2,+a)上单调递减，f(x)在2,+a)上单调递减，故f(x)在2,+a)上的最大x值为f(2) = 2.1法三：由题意可得f(x) = 1 +.11Vx2,.x11,.0v

7、 w1,1法二:Vf(x)=Xx1x 1+ 1=11x17利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性；计算端点处的函数值；(3)确定最大值和最小值.【对点训练】22xm设函数f(x)=在区间3 , 4上的最大值和最小值分别为M m则卞盯()X 2M小顺序为()D.f(b)f(c)f(a)答案答案C解析 因为函数y= 0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba1.因为函数y=x0.6在(0，+8)上是增函数，110.6= 1,即卩c1.综上，bac.答案解析易知f(x)2x4=2+，所以f(x)在区间3 ,4上单调递减，所以M=f(3)x-2x-224m 16

8、 8=6 m=f(4) = 2 +- = 4 所以一=一=-3- 26, =(4)4-24，所以M63.【例 3】已知f(x) = 2X- 2-x,a=则f(a),f(b) ,f(c)的大A .f(b)f(a)f(c)B .f(c)f(b)f(a)f(c)f(a).7c= log29f(b)f(c).【类题通法】比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.【对点训设a= 0.6,b= 0.6,c= 1.5，贝U a,b,c的大小关系是()A.abcB.acbC. bacD. bca考点三、函数单调性的应用15,C= log8【例 4】已知函数f(x) = lnx+ 2x，若f(x2-4)2，则实数x的取值范围是 _.答案(.5， 2)U(2，.5)9解析因为函数f(x) = InX+ 2x在定义域上单调递增，且f(1) = In 1 + 2= 2,所以 由f(x2 4)2得，f(x2-4)f(1)，所以 0 x2 41,解得一 石x 2 或 2x 0,由题意知1|2x -1v3,1X2,即2.XV3,1 2所以寸xv3.A.B.- ,+gD.a2已知函数f(X)=I一1,x,x2,x2满足对任意的实数xi工X2,都有f X1f X2X1X24,解得-av0.a4综上所述