2019高考数学考点突破——函数概念：函数及其表示学案

1、【考点梳理】1 函数与映射的概念函数映射两集合A,B设A B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:2 B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x, 在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个兀素x,在集合B中都有唯一确定的元素】y- 与之对应名称称f:B为从集合A到集合B的一个函数称f:L B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y=f(x),xA映射：f:B2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中，自变量x的取值范围(数集A叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域

2、.I(2) 函数的三要素：定义域、对应关系和值域 _(3) 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为 相等函数.zyX、函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.3 分段函数(1) 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.(2) 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并 集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【考点突破】考点一、求函数的定义域【例 1】函数f(x)= 1 -2x+-一的定义域为()*包+ 3函数及其表示2A. (3,0C. (a,

3、3)U(3,0答案AB. (3,1D. (a, 3)U(3,132x0,fX0解得 以函数f(x)的定义域为(一 3, 0 .【类题通法】求给定解析式的函数的定义域， 其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义【对点训练】函数g(x) =x+ 3+ log2(6 x)的定义域是()-A. x|x6B. x|3x 3D. x|3wx6rv答案DCj解析由3 3 0，解得3x6，故函数的定义域为x| 3x0,【例 2】若函数y=f(x)的定义域是0 , 2，则函数g(x) =f(2：)的定义域为 _x 1答案0, 1)解析

4、0W2Xw2,因为y=f(x)的定义域为0 , 2，所以要使g(x)有意义应满足 工0解得 0wx 3,已知 f & + 1 ；= lgX,则f(x) =.4已知f(x) + 2f；戶x(x工0)，贝 yf(x) =_.12322x答案2X2X+ 2lgxl(x1) (3) 无3(XM0)解析设f(x) =ax2+bx+c(a*0)，由f(0) = 2,得c= 2,22f(x+ 1) f(x) =a(x+ 1) +b(x+ 1) axbx=x 1，即 2ax+a+b=x 1,2x解得f(x)= 3x3(x丰o).【类题通法】求函数解析式的常用方法(1) 待定系数法：若已知函数的类型，可

5、用待定系数法；(2) 换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围;(3) 构造法：已知关于f(x)与f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x);(4) 配凑法：由已知条件f(g(x) =F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，即得f(x)的表达式.【对点训练】1.已知f(x)是一次函数，且ff(x) =x+ 2,贝 yf(x)=()B. 2x 12a= 1,a+b= 1,即a= ,-f(x) = 2x2 |x+ 2.由于x 0,2 t 1且x= 口,f(t)=lgf2，即f(x) = x

6、(x 1).联立方程组(3) f(x)x2f x=-已知 f & + 1 ；= lgX,则f(x) =.5A. x + 16C.X+ 1D.x+ 1 或一x 1答案A解析 设f(x) =kx+b,则由ff(x) =x+ 2，可得k(kx+b) +b=x+ 2,即卩k2x+kb2+b=x+ 2,.k= 1,kb+b= 2,解得k= 1,b= 1,则f(x) =x+ 1.故选 A.2.已知 轧小+ 1) =x+ 2 边，贝 Uf(x) =_.答案x2 1(x 1)解析(换元法)设 x+ 1 =t(t 1)，则x=t 1 ,2 2所以f(t) = (t 1) + 2(t 1) =t 1(t

7、1),所以f(x) =x2 1(x 1).(配凑法)fe,x+ 1) =x+ 2x= (.x+ 1)2 1,又x+ 1 1,.f(x) =x2 1(x 1).3.定义在(1,1)内的函数f(x)满足 2f(x) f( x) = lg(x+ 1)，则f(x)=2 1答案ig(x+1) + 3lg(1 x)( 1x1)解析 当x ( 1, 1)时，有 2f(x) f( x) = lg(x+ 1).将x换成x，则一x换成x,得 2f( x) f(x) = lg( x+ 1).由消去2 1f( x)得,f(x) = gg(X+ 1) +3lg(1 x),x ( 1,考点三、分段函数1).【例 4】(1

8、),Vx, 0 x 1,若f(a) =f(a+ 1)，则A. 2(2)若f(x)=BB .匚】x W0.-.哂厂则ff_=(JogsX, x0,A. 2答案(1) C解析(1) 得a=1, f1=由已知得 0a1,a=f(4) = 2(4 1) = 6.f(a) =f(a+ 1) ,.、；a= 2(a+ 1 1)，解127f( 2)=i 1 1|:f6=log39=2,A fF2= 9.8根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解【对点训练】答案A解析当a1 时,f(a) =- log2(a+ 1) =- 3,即即 log2(a+ 1) = 3，解得

9、a= 7,此时f(6 -a)74.A. 155解析(1)f6 = 3X6-b= 2-b,53若 2b2 时，解之得b=7，不合题意舍去.8553b1若 2-b 1,即bw,则22= 4，解得b= .(2)当x1,7A. - -45B.-43c.41D.-4一 2=f( - 1) = 2 - 22.已知函数f(x)=證寫则 f(z =答案解析f( - 4) = 24= 16,.f(f( - 4) =f(16) =；16= 4.【例5】(1)3x-b,x 1.=4，贝 U b=(2)设函数f(x)=x+1,xw0,x0,则满足f(x) +f x-2 1的x的取值范围是答案(1) D1 -km4 十则f |ffl5-b匸3j-bb= 4,129原不等式化为 2x+ 21，解得4 ,或:a2 2,解得aw2.1f 1 . f 1当 01，该式恒成立，1当x冷时,f(x) +f x1= 2X+2X_2,1x11又x2 时，2x+2222+ 2= 1 +21 恒成立，综上可知，不等式的解集为 1,+ .【类题通法】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围【对点训,2x+a,x1,5A41B.3D.答