2019高考数学二轮复习专题六函数与导数、不等式第2讲基本初等函数、函数与方程练习

1、C.1，+s)D.1，+)第 2 讲基本初等函数、函数与方程高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幕函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单 的实际问题真题感悟考点整合答案厂X, ce，xw0，3.(2018 全国I卷)已知函数f(x) =cg(x) =f(x)+x+a.若g(x)存在 2 个零真题感悟1.(2017 全国川卷)已知函数2x1f(x) =x 2x+a(e+ eX+1)有唯一零点，则a=(1A. 21B.31C.21X,解析f(x) = (x 1)2+a(ex_1+ e ) 1，2t一t则g(t

2、) =f(t+ 1) =t+a(e + e ) 1.2一t t- g( t) = ( t)2+a(e + e) 1 =g(t)，函数g(t)为偶函数. f(x)有唯 零点，g(t)也有唯 零点.又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0) = 0,答案 C12.(2018 天津卷)已知a= log2e，b= In 2，c= log ，贝Ua，b，c的大小关系是(23A.abcB.bacD.cabC.cba1c= log =log23，a= log2e，由y= log2X在(0，+m)上是增函数，知ca1.又b=23解析In 2ab.D.12Inx，x0，点，则a的取值范围是()B.0 ,+)A

3、. 1 , 0)3解析 函数g(x) =f(x) +x+a存在 2 个零点，即关于x的方程f(x) =xa有 2 个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y=-xa有 2 个交点，作出直线y= xa与函数f(x)的图象， 如图所示，由图可知，一a 1.答案 C4.(2017 江苏卷)某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y=ax(a0,a* 1)与对数函数y= logax(a0,a* 1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当0a2 X4x=240,当且仅当迴=4x，即x= 30 x时，y有最小值 240.答案

4、301.指数式与对数式的七个运算公式m nn(1)aa=a；m n mn(2)(a) =a；(3)ioglog(5)logalog(7)log注：a,b0 且a,1,M0, N0).考点整合aM=nlogaNaN=M&N=logaM logaN;a(MN= logaM logaN；4用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用 检验作答.烈点聚焦fi类突破热点一基本初等函数的图象与性质【例 1】（1）（2018 郑州一模）若函数y=a|X|（a0,且az1）的值域为y|y 1，则函数y=loga|x|的图象大致是（）（2018 济南质

5、检）已知a（a+1）丰0,若函数f（x）=log2(ax 1)在(一 3, 2)上为减函4X,xW2,数，且函数g（x）1 log|ax,xj在 R 上有最大值，则a的取值范围为（A.-IL2，ci 犬 HC. _2，- 2解析(1)由于y=ax|的值域为y|y 1,2 D半,0!Uo,B. 1,-a1,则y= logax在(0 ,+)上是增函数,又函数y= loga|x|的图象关于y轴对称.因此y= loga|x|的图象应大致为选项B.(2) /f(x) = log2(ax 1)在(3, 2)上为减函数,a2有最大值，则当1又aW 2，-1一 1x2 时，log wixW2, 且 |a| $

6、, 1 J,-log2 -2 1WaW 一.2 2W2,- |a|20 时，y= Inxx2,则y=2x,x当x 0，乂2时，y=2x0,y= lnxx2单调递增，排除I 2 丿xF1，j若f(t) 1,显然成立，则有 彳 35 或/E+L若f(t)0 的限制条C.A 项满足.解得t- 3.答案(1)A(2)t1t=- 3 或t- 3执占一八、函数的零点与方程考法 1确定函数零点个数或其存在范围B. 2,1C.(1 ,2)D.(2 , 3)0 ,n的零点个数为37解析(1)函数f(x)的定义域为(0 ,+)，且函数f(x)在(0,+)上为增函数81f(1)=log21-1=01v0,11 1f

7、(2) = log22 2 = 1 2= 2 0，11 2刚f(3) = log23 3 1 3= 3 0，即f(1) f(2)v0,1函数f(x) = log2X-的零点在区间(1 , 2)内.X由题意知，cos3X+6= 0，所以 3x+-6=-2+kn,k Z,所以x=-9-i,k Zn4n7n当k= 0 时，X=9；当k= 1 时，X=；当k= 2 时，X= 一丁，均满足题意，所以函数f(X)在0 ,n的零点个数为 3.答案(1)C(2)3探究提高1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或

8、有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f(x) = 0,直接求零点；(2)利用零点存在定理； (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练 2】 函数f(X)= 2sinxsin 卜+专X2的零点个数为 _ .解析f(X)= 2sinxcosXX= sin2Xx,函数f(X)的零点个数可转化为函数y1= sin2X与y2=x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1= sin 2X与y2=X2的图象如图所示：-TT0 ir:iir A总i由图可知两函数图象有 2 个交点，贝 Uf(X)的零点个数为 2.答案

9、 2考法 2 根据函数的零点求参数的取值或范围r 2X+ 2ax+a,X0,函数f(x) =2若关于X的方程X+ 2ax 2a,X0.f(x) =ax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是 _.2 2 2解析 当xW0时，由x+ 2ax+a=ax,得a=x-ax；当x0 时，由一x+ 2ax 2a=ax,1 123v0,92xax,xw0,得 2a= x+ax.令g(x) = p2作出y=a(xw0),y= 2a(x0)，函数g(x)x+ax,x0.2 2 2a a a的图象如图所示，g(x)的最大值为一-+ -=-，由图象可知，若f(x) =ax恰有 2 个互异的2a实数解，则a42a，

10、解得 4a0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y= 2a,y=a是两条直线，忽视x的限制条件.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解Xy*【训练 3】(2018 湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数y=f(2x2+ 1) +f(入一x)只有一个零点，则实数入的值是_ .2 2解析 令y=f(2x+ 1) +f(入一x) = 0,贝 Uf(2x+ 1) = f(入一x) =f(x入)，因为f(x)是 R 上的单调函数，所以 2x2+ 1 =x入，只有一个实根，即 2x2x+ 1 +入

11、=0 只有一个实77根，贝UA= 1 8(1 +入)=0,解得 入=8.A87 /勺答案 88热点三函数的实际应用【例 3】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万k元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) = 3x+ 5(0wxw10,k为常数)，若不建隔热 层，每年能源消耗费用为 8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.10解当x= 0 时，C=

12、8, k= 40,11gx)=尹(o0,且a* 1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约2. (1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.20X40800800探规律防失误100-x),0wxw100,=0,得12(2)零点存在性定理注意两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解4.构建函数模型解决实际问题的常

13、见类型与求解方法:(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法构建f(x) =x+X(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解X专題训竦对接高考、选择题1.(2 017 北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为 1080.则下列各数中与N最接近的是(参考数据：lg 30.48)33A.1053B. 10、73C.1093D.10M3361解析M31,N10,N10 眄则 igMig36131080361 36180=Ig3-Ig10=361lg 3M8093. 严

14、N9310 .答案 DA22耳3耳322.(2018 潍坊三模)已知a=,b=,c= log-7，贝Ua,b,3443c的大小关系是()A.abcB.bacC.cvavbD.acb22 3解析Ty=x3在(0,+s)上是增函数，ab1.由于 031.因此cba.43答案 A3.函数f(x) = Inx+ ex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是()A.C.(1 , e)D.(e,+s)13解析 函数f(x) = Inx+ ex在(0,+)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点当xF+时，f(x)函数f(x) = Inx+ ex(e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是0,1.答案

15、A4.(2018 全国川卷)设a= log0.20.3 ,b= log20.3，贝U()A.a+bab0B.aba+b0C.a+b0abD.ab0a+b1解析 由a= log0.20.3 得 =log0.30.2 ,a1 1 1由b= log20.3 得b= log0.32,所以占+b= log0.30.2 +1 1log0.32= log0.30.4 ,所以 0- 1,得a ba+b00,b0,所以ab0,所以aba+b0，若函数y=f(x) -k有三x 3x,x0,个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.( 2, 2)B.( 2 , 1)C.(0 , 2)D.(1 , 3)解析 当x0上

16、单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值=f( 1) = 1 + 3 = 2，且f(0) = 0.故当k (0 , 2)时，y=f(x) k有三个不同零点.答案 C二、填空题x 4,x入，6.(2018 浙江卷改编)已知入 R,函数f(x) =2若函数f(x)恰有 2 个零x 4x+ 3, x.点，贝 U 入的取值范围是 _ .2解析 令f(x) = 0,当X入时，x= 4.当x0,e16则x= 1 或x= 3.若函数f(x)恰有 2 个零点，结合如图函数的图象知，1入W3或入4.答案(1,3U(4,+s)7.将甲桶中的aL 水缓慢注入空桶乙中，tmin 后甲桶中剩余的水量符合指数

17、衰减曲线y=三、解答题(2)讨论函数g(x) =f(x) a(a R 的零点的个数aent假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过ammin甲桶中解析T5 min 后甲桶和乙桶的水量相等,函1y=f(t) =ae满足f(5) =ae5= a,1 1 可得n= 5ln2,因此，当kmin后甲桶中的水只有4 L 时,f(k) =ak1 151=4a，即 2 = 4,-k= 10,由题可知 m=k 5= 5.答案 58.(2018 广州模拟)已知函数 仆根，贝 U a 的取值范围是f(x) =ax有三个不同的实数解析 在同一坐标系内，作函数y=f(x)与y=ax的图象，当 是y= Inx的

18、切线时，设切点P(X0,y) ,vy= inx,a= (Iny=axx011,yo=axo= 1 = lnxo,xo= e，故a= 一.故y=ax与y=f(x)X。e的图象:个交点时,10a1, log2(5x),x1 时，由f(x) = 3f(2) = 3 得x+ 1= 27,即x= 26.当x1 时，f(x) = log3(x+ 1)递增，且f(x) (log32,+).当XW1时,f(x) = log2(5 x)递减，且f(x) 2 , +).由g(x) =f(x) a= 0 得f(x) =a,故当a(a,log32时，g(x)的零点个数为 0；当a (log32, 2)时，g(x)的零

19、点个数为 1;当a 2,+a)时，g(x)的零点个数为 2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类 的飞行速度v(单位：m与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog 3(其中a,b是实数).据 统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出 a,b的值；若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故亠30有a+blog3和=0,即a+b= 0;当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s ,90故有a+blog30= 1,整理得a+2b