专题12~函数单调性、极值、最值与导数问题

1、本文格式为word版，下载可任意编辑专题12函数单调性、极值、最值与导数问题 方法技巧专题 12 函数单调性、极值、最值与导数问题 解析篇 一、函数单调性、极值、最值学问框架 二、函数单调性、极值、最值问题题型 【一】推断函数单调性 1. 例题 【例 1 】已知函数 ( )xf x ax e = - 推断函数 ( ) f x 的单调性。 【解析】由题意可求， ( ) xf x a e = - 1.当0 a 时， ( ) ( ) 0, f x f x 时，令 ( ) 0 f x ，解得 x lna , 令 ( ) 0 f x 于是 ( ) f x 在 ( ,ln a - 为增函数，在 ln ,

2、) a + 为减函数； 【例 2 】已知函数2( ) ln1af x xx+= +，其中 ar，争论并求出 f(x)在其定义域内的单调区间 【解析】 ( )22 21 2 1( ) 1( 1) ( 1)af x x axx x x x+ = - = - + +，设 g(x)x 2 ax1， x0，当 a0 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立， 此时函数 f(x)在区间(0，)上单调递增； 当 a0 时，222( ) 1 12 4a ag x x ax x = - + = - + - . 当 124a0，即 0a2 时，g(x)0，f(x)0 在 x(0，)上恒成立，此时函数 f

3、(x)在区间(0，)上单调递增； 当 a2 时，方程 g(x)0 的两根分别为2 21 24 4,2 2a a a ax x- - + -= =，且 0x 1 x 2 ， 当 x(0，x 1 )时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(0，x 1 )上单调递增； 当 x(x 1 ，x 2 )时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x 1 ，x 2 )上单调递减； 当 x(x 2 ，)时，g(x)0，f(x)0，故函数 f(x)在(x 2 ，)上单调递增 综上所述， 当 a2 时，函数 f(x)的单调增区间为 (0 ) ， ，没有减区间； 当 a2 时，函数 f(x)的减区间为1

4、2( ) x x ， ；增区间为(0，x 1 )，(x 2 ，) 2. 巩固提升综合练习 【练习 1】 】已知函数 ( )xf x e = ， ( ) ( )21 0 g x ax x a = + + .设 ( )( )( )g xf xf x=，争论函数 ( ) f x 的单调性； 【解析】由于2( ) 1( )( )xg x ax xf xf x e+ += = ， 所以22 1(2 1)( )x xaax xax a x af xe e- - - - + - = =， 若12a = ，2( ) 0xaxf xe-= .( ) f x 在 r 上单调递减. 若12a ，则2 10aa- ，

5、 当 0 x 时， ( ) 0 f x ，当2 10axa- ， ( ) f x 在 ( ,0) - ，2 1 , aa- + 上单调递减，在2 10,aa- 上单调递增. 若102a ，则2 10aa- ， 当2 1 axa- 时， ( ) 0 f x ，当2 10axa- . ( ) f x 在2 1,aa- - ， (0, ) + 上单调递减，在2 1 ,0 aa- 上单调递增. 【练习 2 】已知 x ax x x ax x f + - - =2 221ln ) ( ) ( ，求 ) (x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为 ） ， （ + 0 （第一步：对数真数大于 0 求定义域

6、） 令 x ax x f ln 1 2 ) (） （ - = ，解得1 21, 12x xa= = （其次步，令导数等于 0，解出两根2 1 ,xx ） （1）当 0 a 时，(0,1), ( ) 0, ( ) x f x f x 单调增，(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x + 单调增， （第五步，x 1 在区间时，进行比较大小，当2 1x x = 得到21= a 第四步图像推断正负） 当 1210 a 1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xa + 单调增，1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xa 单调减 （当2 1x x a

7、 ；第四步图像推断正负） 当 121a时，即210 单调增，11, , ( ) 0, ( )2x f x f xa 得到210 单调增，(1, ), ( ) 0, ( ) x f x f x + 单调增 21 a1(0, ), (1, ) ( ) 0, ( )2x x f x f xa + 单调增，1 ,1, ( ) 0, ( )2x f x f xa 单调减 210 单调增，11, , ( ) 0, ( )2x f x f xa 单调减 【二】依据单调性求参数 1. 例题 例 【例 1】 】（1）若函数2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 在区间 ( ,4 - 上是减

8、函数，则实数 a 的取值范围是 . （2）函数 ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - -在区间 ( ) 1, 1 k k - + 上不单调，实数 k 的范围是（ ） （3）若函数( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在区间 ( ) 3 2, 2 m m - + 内单调递增，则实数 m 的取值范围为 . （4）若函数 ( )2ln f x ax x x = + - 存在增区间，则实数 a 的取值范围为 . 【解析】（1）由于函数2( ) 2( 1) 2 f x x a x = + - + 的单调减区间为 ( ,1 a - -， 又函数( ) f x

9、在区间 ( ,4 - 上是减函数，则 ( ,4 - ( ,1 a - -，则 1 4 a - ，解得： 3 a - ， （2） ( ) ( )22 4 4xf x e x x = - - q ， ( ) ( )22 8xf x e x = -，令 ( ) 0 f x = ，得 2 x = . 当 2 x 时， ( ) 0 f x ；当 2 2 x - 时， ( ) 0 f x . 所以，函数 ( ) y f x = 的极大值点为 2 - ，微小值点为 2 . 由题意可得 1 2 1 k k - - + 或 1 2 1 k k - + ，解得 3 1 k - - 或 1 3 k ，即24 5 0

10、 x x - - ，解得 1 5 x - . 二次函数24 5 y x x = - + + 的对称轴为 2 x = . 由复合函数单调性可得函数( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +的单调递增区间为 ( ) 2,5 要使函数( ) ( )212log 4 5 f x x x = - + +在区间 ( ) 3 2, 2 m m - + 内单调递增， 则 ( ) ( ) 3 2, 2 2,5 m m - + ，即3 2 22 53 2 2mmm m- + - +，解得423m ，解得 3 a - 且0 a 故选 b 2. 巩固提升综合练习 习 【练习 1】 】函数3 21( )3f x ax x a = - + 在 1,2 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） a 1 a b 1 a c 2 a d 2