【精品解析】湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学理

1、湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷. 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，

2、共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1复数所对应的点位于复平面内 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的化简 L1【答案】B【解析】解析：复数，对应的点坐标为，所以在第二象限，故选择B.【思路点拨】化简复数即可得到.【题文】2已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）=A B2C D3【知识点】离散型随机变量的分布列 K6 【答案】A【解析】解析：由数学期望公式可得：.故选择A.【思路点拨】根据数学期望公式可得.【题文】3已知是定义在R上的奇函数，当时，则函数g（x）=f（x）x+3的零点的集合为 A1，3B-3，-1，1，3 C

3、2，1，3 D2，1，3【知识点】函数的奇偶性 函数零点 B4 B9【答案】D【解析】解析：是定义在R上的奇函数，当时，可得的解析式为： 则，令当时，解得，或，当时，解得（舍去）函数的零点的集合为故选择D.【思路点拨】首先根据是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决【题文】4在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）= A45 B60 C120 D210【知识点】二项式定理 J3【答案】C【解析】解析：的展开式中，含的系数是：含的系数是：含的系数是含

4、的系数是故选择C.【思路点拨】由题意依次求出，项的系数，求和即可【题文】5已知命题p：xAB，则非p是 Ax不属于AB Bx不属于A或x不属于B Cx不属于A且x不属于B DxAB【知识点】命题的否定 A3【答案】C【解析】解析：由知或，所以非p是：不属于A且不属于B故选择C【思路点拨】因即或是由“或”连接的复合命题，它的否定是由“且”连接的复合命题【题文】6若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填人的条件是 A6 ？ B7 ？ C8 ？ D9 ？【知识点】算法和程序框图 L1【答案】C【解析】解析：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 3第二次循环 4第三次循环

5、5第四次循环 6第五次循环 7第六次循环 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是故选择C【思路点拨】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件【题文】7已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A B C D1【知识点】三视图 G2【答案】C【解析】解析：边长为1的正三角形的高为，即侧视图的底面边长为，而侧视图的高，即为正视图的高，所以侧面积为.故选择C.【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案【题文】

6、8已知函数的图象分别与直线y =m交于A，B两点，则|AB|的最小值为A2 B2+1n 2Ce2+D2eln【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用 B12 【答案】B【解析】解析：由题意，其中，所以，令，则，即函数单调递减，在，函数单调递增，所以在处取得极小值，即为最小值，所以故选择B.【思路点拨】由题意设，则，令求得其最小值即可.【题文】9设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则Ay=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数By=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数Cy=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数Dy=f（x）的最小正

7、周期为，且在（0，）上为减函数【知识点】三角函数的图像与性质 C3【答案】C【解析】解析：由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，所以，即函数为，所以的最小正周期为，且在上为减函数，故选择C.【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.【题文】10对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a0），给出定义：设（x）是函数y=f（x）的导数，（x）是（x）的导数，若方程（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心

8、，设函数g（x）=x3x2+3x，则g+g+g A2 013 B2 014 C2 015 D2 016【知识点】导数的应用 函数的对称中心 B12 B8 【答案】B【解析】解析：依题意，得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为，故选择B.【思路点拨】根据所给的信息可求得函数的拐点为，即，即可得到.【题文】二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题（请考生在第11,12 ,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）【题文】11如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CDAB，垂足为D，且AD=5DB，设C

9、OD=，则tan的值为 【知识点】直角三角形的射影定理 N1 【答案】【解析】解析：令圆O的半径为R，即，由相交弦定理可得：.故答案为.【思路点拨】求的值，可转化为解三角形，根据相交弦定理，不难求出与半径的关系，根据已知也很容易出出OD与半径的关系【题文】12已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为 。【知识点】极坐标 参数方程 N3【答案】【解析】解析：由圆的参数方程可得普通方程为：圆心为半径为，直线l的方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.故答案为.【思路点拨】首先把参数方程和极坐标方程化为普通方

10、程，再利用弦长（d为圆心到直线的距离）即可求出【题文】13不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为 【知识点】含绝对值不等式 基本不等式E2 E6【答案】【解析】解析：，其最小值为2，又的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1416题）【题文】14已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则的取值范围是 。【知识点】线性规划问题 E5【答案】【解析】解析：作出不

11、等式组对应的平面区域如图：设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大，由，即B（1，2），此时由，即D（2，1）此时，故，故答案为：.【思路点拨】设由得表示，斜率为1纵截距为的一组平行直线，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论.【题文】15如图，已知过椭圆的左顶点A（-a，0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率为 。【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】解析：AOP是等腰三角形，设，解得代入方程化简可得：，所以，故答案为.【

12、思路点拨】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程可得，进而求得离心率【题文】16等边ABC的边长为2，取各边的三等分点并连线，可以将ABC分成如图所示的9个全等的小正三角形，记这9个小正三角形的重心分别为G1,G2,G3，G9，则|（）+（）+（）|= 。【知识点】向量的加法及其几何意义 A1【答案】【解析】解析：因为ABC为等边三角形，边长为2，且，=故答案为.【思路点拨】将所有的向量用，表示出来，再利用等边三角形的三线合一性质即可求解【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】17（本小题满分12分） 某车间甲组有

13、10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 （1）求从甲、乙两组各抽取的人数； （2）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望【知识点】分层抽样方法 等可能事件的概率 离散型随机变量及其分布列 I1 K1 K6 【答案】（1）甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人；（2）.【解析】解析：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人（2）的可能取值为0，1，2，3Ai表示事件：从甲组

14、抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人Ai与B独立，所以分布列为：故期望.【思路点拨】（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核且甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理可直接得到答案（2）求的分布及数学期望首先记事件Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人故可得到的可能取值为0，1，2，3然后对每一个取值求概率最后根据期望公式即可得到答案【题文】18（本小题满分12分） 在ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，若aco

15、s C=csin A （1）求角C的大小； （2）若a=3，ABC的面积为，求的值【知识点】正余弦定理 向量的数量积 C8 F3【答案】（1）；（2）-1.【解析】解析：1）因为，由正弦定理可得：又；（2）的面积为由余弦定理得：，即则【思路点拨】由正弦定理可得：可求得；根据面积公式可得，再由余弦定理得以及的值，代入公式可求得.【题文】19（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD,AB= PA=1,AD=，F是PB中点，E为BC上一点（1）求证：AF平面PBC； （2）当BE为何值时，二面角CPED为45o【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11【答

16、案】（1）略；（2）.【解析】解析：（1）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，F是PB中点，（2）设设平面的法向量则取，得平面PCE的法向量为二面角为45，解得当时，二面角为45，【思路点拨】（1）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF平面PBC（2）设求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出当时，二面角为45【题文】20（本小题满分13分） 已知数列an的前n项和为Sn，Sn=2an（n1）（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列 2nan的前n项和为Tn，An= +试比较An与的大小【知识点】等

17、比数列 数列求和 D3 D4【答案】（1）略；（2）.【解析】解析： 解析：（1）由，由于是整理得，所以数列是首项及公比均为的等比数列.（2）由（1）得于是又，问题转化为比较与的大小，即与的大小设当时，当时f（n）单调递增，当时，而，当时，经检验n=1，2，3时，仍有因此，对任意正整数n，都有即【思路点拨】(1)由整理可得即证得是首项及公比均为的等比数列；（2）由（1）可得，进而得到，转化为比较与的大小，令比较两个数列的最值得大小.【题文】21（本小题满分13分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p0）的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2：x2+ y2=1相切于点Q（1

18、）当直线PQ的方程为x-y=0时，求抛物线Cl的方程；（2）当正数p变化时，记S1，S2分别为FPQ，FOQ的面积，求的最小值【知识点】抛物线方程 直线与抛物线 H7 H8【答案】（1）；（2）.【解析】解析：（）设点P（x，），由x2=2py（p0）得，y=，求导y=，因为直线PQ的斜率为1，所以=1且x-=0，解得p=2，所以抛物线C1的方程为（）因为点P处的切线方程为：y-=（x-x），即2xx-2py-=0，根据切线与圆切，得d=r，即=1，化简得，由方程组，解得Q（，），所以|PQ|=|xP-xQ|=，点F（0，）到切线PQ的距离是d=，所以=，=，而由知，4p2=，得|x|2，所以=+32+3，当且仅当时取“=”号，即，此时，p=所以的最小值为2+3【思路点拨】（）设点P（x，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；（）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S1可表示，又=，所以可表示为关于x的函数，据函数结构特点利用基