高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题

1、8.7 圆锥曲线的综合问题知识梳理解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的

2、隐含条件作为解题突破口.（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.点击双基1.（2005年春季北京，5）设abc0，“ac>0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既

3、不充分又不必要条件解析：ac>0曲线ax2+by2=c为椭圆.反之成立.答案：B2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是A.椭圆 B.AB所在直线C.线段ABD.无轨迹解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0x3.答案：C3.若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为A.1B.1C.D.以上都不对解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0.令=0，k=±.kmin=.答案：C4.（2005年春季上海，7）双曲线9x216

4、y2=1的焦距是_.解析：将双曲线方程化为标准方程得=1.a2=，b2=，c2=a2+b2=+=.c=，2c=.答案：5.（2004年春季北京）若直线mx+ny3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有_个.解析：将直线mx+ny3=0变形代入圆方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y26ny+93m2=0.令<0得m2+n2<3.又m、n不同时为零，0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由椭圆方程a=，b=可知公共点有2个.答

5、案：0<m2+n2<3 2典例剖析【例1】 （2005年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b0），且交抛物线y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点.（1）写出直线l的截距式方程；（2）证明：+=；（3）当a=2p时，求MON的大小.剖析：易知直线l的方程为+=1，欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得y1+y2、y1y2的值，进而证得+=.由·=0易得MON=90°.亦可由kOM·kON=1求得MON=90°

6、;.（1）解：直线l的截距式方程为+=1.（2）证明：由及y2=2px消去x可得by2+2pay2pab=0.点M、N的纵坐标y1、y2为的两个根，故y1+y2=，y1y2=2pa.所以+=.（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，则k1=，k2=.当a=2p时，由（2）知，y1y2=2pa=4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2=4p2，因此k1k2=1.所以OMON，即MON=90°.评述：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.【例2】 （2005年黄冈高三调研考题）已知

7、椭圆C的方程为+=1（a>b>0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.（如下图）（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值.剖析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60°易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b.（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程.将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程

8、可求得的最大值.解：（1）双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又<1，POx=30°，即=tan30°=.a=b.又a2+b2=4，a2=3，b2=1.故椭圆C的方程为+y2=1.（2）由已知l：y=（xc），与y=x解得P（，），由=得A（，）.将A点坐标代入椭圆方程得（c2+a2）2+2a4=（1+）2a2c2.（e2+）2+2=e2（1+）2.2=（2e2）+332.的最大值为1.评述：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学

9、生分析问题和解决问题能力的一道好题.【例3】 设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.剖析：设椭圆方程为+=1，由e=知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2，然后将距离转化为y的二次函数，二次函数中含有一个参数b，在判定距离有最大值的过程中，要讨论y=是否在y的取值范围内，最后求出椭圆方程和P点坐标.解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是+=1，其中ab0待定.由e2=1（）2可知=，即a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y）2=a2（1）+y23y+=4b23y

10、23y+=3（y+）2+4b2+3，其中byb.如果b，则当y=b时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+）2，由此得b=，与b矛盾.因此必有b成立，于是当y=时d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3，由此可得b=1，a=2.故所求椭圆的直角坐标方程是+y2=1.由y=及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（，），点（，）到点P的距离都是.解法二：根据题设条件，设椭圆的参数方程是其中ab0待定，02，x=acos，y=bsin，e=，a=2b.设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为d，则d2=x2+（y）2=a2cos2+（bsin）2=3b2·（sin+）2+4b2+3

11、.如果1，即b，则当sin=1时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=（b+） 2，由此得b=，与b矛盾.因此必有1成立，于是当sin=时，d2（从而d）有最大值，由题设得（）2=4b2+3.由此得b=1，a=2.所以椭圆参数方程为x=2cos，y=sin.消去参数得+y2=1，由sin=，cos=±知椭圆上的点（，），（，）到P点的距离都是.评述：本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意讨论.深化拓展根据图形的几何性质，以P为圆心，以为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P的距离为，此时的椭圆和切点即为所求.读者不妨一试.提示：由x2+（y）2=7，x2+4y2=

12、4b2，得3y2+3y=4b27，由=0得b2=1，即椭圆方程为x2+4y2=4.所求点为（，）、（，）.闯关训练夯实基础1.（2005年北京东城区目标检测）以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A.B.C.D.解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=.答案：D2.已知F1（3，0）、F2（3，0）是椭圆+1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有A.m=12，n=3B.m=24，n=6C.m=6，n=D.m=12，n=6解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=3.答案：A3.（2005年启东

13、市第二次调研）设P1（，）、P2（，），M是双曲线y=上位于第一象限的点，对于命题|MP2|MP1|=2；以线段MP1为直径的圆与圆x2+y2=2相切；存在常数b，使得M到直线y=x+b的距离等于|MP1|.其中所有正确命题的序号是_.解析：由双曲线定义可知正确，画图由题意可知正确，由距离公式及|MP1|可知正确.答案：4.（2004年全国，15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_.解析：双曲线中，a=b，F（±1，0），e=.椭圆的焦点为（±1，0），离心率为.长半轴长为，短半轴长为1.方程为+y2=1.答案

14、：+y2=15.（1）试讨论方程（1k）x2+（3k2）y2=4（kR）所表示的曲线；（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.解：（1）3k2>1k>0k（1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；1k>3k2>0k（，1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1k=3k2>0k=1，表示的是一个圆；（1k）（3k2）<0k（，）（1，），表示的是双曲线；k=1，k=，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.（2）由（k2+k6）（6k2k1）<0（k+3）（k2）（3k+1）（2k1）<0k（3，）（，2）.6.（2003年湖

15、北八市模拟题）已知抛物线y2=2px上有一内接正AOB，O为坐标原点.（1）求证：点A、B关于x轴对称；（2）求AOB外接圆的方程.（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），|OA|=|OB|，x12+y12=x22+y22.又y12=2px1，y22=2px2，x22x12+2p（x2x1）=0，即（x2x1）（x1+x2+2p）=0.又x1、x2与p同号，x1+x2+2p0.x2x1=0，即x1=x2.由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.（2）解：由（1）知AOx=30°，则y2=2px，x=6p，y=xy=2p.A（6p，2p）.方法一：待定系数法，AOB外接圆过原

16、点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x2+y2+dx=0.将点A（6p，2p）代入，得d=8p.故AOB外接圆方程为x2+y28px=0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心（r，0）.培养能力7.（理）（2004年北京，17）如下图，过抛物线y2=2px（p0）上一定点P（x0，y0）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.解：（1）当y=时，x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=，由抛物线定义得所求距离为（）=.（2）

17、设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1，y02=2px0，相减得（y1y0）（y1+y0）=2p（x1x0），故kPA=（x1x0）.同理可得kPB=（x2x0）.由PA、PB倾斜角互补知kPA=kPB，即=，所以y1+y2=2y0，故=2.设直线AB的斜率为kAB.由y22=2px2，y12=2px1，相减得（y2y1）（y2+y1）=2p（x2x1），所以kAB=（x1x2）.将y1+y2=2y0（y00）代入得kAB=，所以kAB是非零常数.（文）如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x1，y1）、B（x2，y2）均在抛物线上.

18、（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px.点P（1，2）在抛物线上，22=2p·1，得p=2.故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=1.（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA=（x11），kPB=（x21）.PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPA=kPB.由A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1，y22=4x2，=.y1+2=（y2+2）.y1+y2=4.由得直线AB的斜率kAB=1（x1x2）.8

19、.（2003年北京东城区模拟题）从椭圆+=1（ab0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线ABOM.（1）求椭圆的离心率；（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求F1QF2的取值范围；（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.解：（1）由已知可设M（c，y），则有+=1.M在第二象限，M（c，）.又由ABOM，可知kAB=kOM.=.b=c.a=b.e=.（2）设|F1Q|=m，|F2Q|=n，则m+n=2a，mn0.|F1F2|=2c，a2=2c2，cosF1QF2=1=11=1=0.当且仅当m=n=a时

20、，等号成立.故F1QF20，.（3）CDAB，kCD=.设直线CD的方程为y=（x+c），即y=（x+b）.消去y，整理得则+=1，y=（x+b）. （a2+2b2）x2+2a2bxa2b2=0.设C（x1，y1）、D（x2，y2），a2=2b2，x1+x2=b，x1·x2=.|CD|=|x1x2|=·=·=3.b2=2，则a2=4.椭圆的方程为+=1.探究创新9.（2005年春季上海，22）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（2，）的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆C的方程是+=1（a>b>0）.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点

21、为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（1）解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1.点（2，）在椭圆上，+=1.解得b2=4或b2=2（舍）.由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1.（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m，则有+=1. 解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0.>0，m2<b2+a2k2，即

22、<m<.则x1+x2=，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，AB中点M的坐标为（，）.线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（3）解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连结直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求

23、解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.2.四点重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的简化功能；重视根与系数关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.3.注意用好以下数学思想、方法：方程思想；函数思想；对称思想；参数思想；转化思想；分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.教师下载中心教学点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运

24、用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.（2）建立目标函数，转化为求函数的最值问题.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：通过参数简明地表示曲线上点的坐标；利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题.（5）构造一个二次方程，利用判别式0.拓展题例【例1】 （2005年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0>3p；（2