2016-2017学年第一学期苏科版初三数学期中压轴题训练题(2)

1、2016-2017 学年第一学期初三数学期中压轴题训练（ 2） 1. 如图，在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点，直线 I与抛物线 y=mx +nx 相交于 A （1, 3 _），B（4, 0）两点. （1 ）求出抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点 D，使得 ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在， 求出点D 的坐标；若不存在，说明理由； （3 ）点 P 是线段 AB 上一动点，（点 P 不与点 A、B 重合），过点 P 作 PM / OA,交第 象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MC 丄 x轴于点 C,交 AB 于点 N，若 BCN、 PMN 的面积 SBCN、

2、SPMN 满足 SBCN=2SAPMN , 求出需的值，并求出此时点 M 的坐标. 2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 i 2 y= - .1x+bx+c的图象与坐标轴交于A、 点，其中点 A 的坐标为（0, 8）,点 B 的坐标为（-4, 0）. （1）求该二次函数的表达式及点 C 的坐标; （2）点 D 的坐标为（0, 4），点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 CF，以 CD、CF 为邻边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF 的面积为 S. 求 S 的最大值; 在点F的运动过程中，当点 E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S的值.CD、 B、C 三

3、的长; (1 )求抛物线解析式及顶点坐标; (2) 设点 E ( x, y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角 线的平行四边形，求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x之间的函数关系式； (3)当(2)中的平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形.3. 如图 1,在平面直径坐标系中，抛物线 0),与 y 轴交于点 C (1) 直接写出抛物线的函数解析式； y=ax2+bx - 2 与 x 轴交于点 A (- 3, 0). B (1, (2) 以 0C 为半径的O O 与 y 轴的正半轴交于点 E,若弦 CD 过 AB

4、 的中点 M，试求出 DC (3)将抛物线向上平移 3 个单位长度(如图 2)若动点 P (x, y)在平移后的抛物线上，且 点 P 在第三象限，请求出 PDE 的面积关于 x的函数关系式, 并写出 PDE 面积的最大值. 4如图，对称轴为直线 x=.的抛物线经过点 A (6, 0)和 B (0,- 4). C 置 2 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A (- 1.0), B (3, 0)两点，与 y 轴交于 点 C (0,- 3),顶点为 D . (1 )求此抛物线的解析式. (2) 求此抛物线顶点 D 的坐标和对称轴. (3) 探究对称轴上是否存在一点 P,使得以点 P、D、A

5、 为顶点的三角形是等腰三角形？若 点 A 对称 (1 )填空：点 B 的坐标是； (2)过点 B 的直线 y=kx+b (其中 kv 0)与 x 轴相交于点 C,过点 C 作直线 I平行于 y 轴, P 是直线 I上一点，且 PB=PC,求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示)，并判断点 P 是否在 抛物线上，说明理由； (3) 在(2)的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上，求 此时点 P 的坐标.5.如图，抛物线 存在，P 点的坐标，若不存在，请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系 2 xOy 中，抛物线 y=x 2 7.在平面直角坐标系中，抛物线

6、y= - x2 - 2x+3 与 x 轴交于 A , B 两点(A 在 B 的左侧)， 与 y 轴交于点 c,顶点为 D. (1) 请直接写出点 A , c, D 的坐标; (2) 如图(1),在 x轴上找一点 E，使得 CDE 的周长最小, 一宽度为 1,长度足够的矩形(阴影部分)沿 x轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物 线于点 P 和 Q,交直线 AC 于点 M 和 N 交 x轴于点 E 和 F. (1) 求抛物线的解析式； (2) 当点 M 和 N 都在线段 AC 上时，连接 MF，如果 sin/AMF= -，求点 Q 的坐标； (3) 在矩形的平移过程中，当以点 P, Q, M

7、 , N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标.求点 E 的坐标; (3)如图(2)， F 为直线 AC 上的动点，在抛物线上是否存在点 P,使得 AFP 为等腰直 角三角形？若存在, 求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. 8 如图，抛物线与 x 轴交于点 A (- 5, 0)和点 B (3, 0) 与 9如图，顶点为 M 的抛物线 y=a (x+1) 1 2 3 - 4 分别与 x轴相交于点 A , B (点 A 在点 B 的 右侧)，与 y 轴相交于点 C (0, - 3) (1) 求抛物线的函数表达式; (2) 判断 BCM 是否为直角三角形，并说明理由. (3)抛物线上

8、是否存在点 N (点 N 与点 M 不重合)，使得以点 A , B , C, N 为顶点的四 边形的面积与四边形 ABMC 的面积相等？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 1 求此抛物线的解析式和直线 AB 的解析式； 2 如图，动点 E 从 O 点出发，沿着OA方向以 1 个单位/秒的速度向终点 A 匀速运动， 同时，动点 F 从 A 点出发，沿着 AB 方向以 ；个单位/秒的速度向终点 B 匀速运动，当 E, F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接 EF，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值 时， AEF 为直角三角形？ 3 如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A

9、，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB上方的抛物线上移动，动点 P 与 A，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形 10如图，已知抛物线 y - x2+bx+c 经过 A (3, 0), B ( 0, 3)两点. 中是否存在一个面积最大的二角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点 如果不存在，请简要说明理由. 11. 如图，抛物线 y=ax4+bx - 5 (0)经过点 A (4, - 5)，与 x 轴的负半轴交于点 B, 与 y 轴交于点C,且 OC=5OB，抛物线的顶点为点 D . (1) 求这条抛物线的表达式； (2) 联结 AB、BC、CD、DA，求四边形 ABCD

10、的面积； (3) 如果点 E 在 y 轴的正半轴上，且/ BEO= / ABC，求点 E 的坐标. 4 12. 如图，已知抛物线 m： y=ax - 6ax+c (a 0)的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B (0, 1), D，与抛物线 m 的对称轴 I交于点 F,过 B 点的直线 BE 与直线 n相交于点 E (- 7, 7). (1 )求抛物线 m 的解析式； (2) P 是 I上的一个动点，若以 B , E, P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； (3) 抛物线 m 上是否存在一动点 Q,使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D?若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明

11、理由. P 的坐标; 图 图 2 13. 如图，抛物线 y=x - mx - 3 ( m0)交 y 轴于点 C, CA 丄 y 轴，交抛物线于点 A，点 B 在抛物线上，且在第一象限内，BE 丄 y 轴，交 y 轴于点 E,交 AO 的延长线于点 D , BE=2AC . (1) 用含 m 的代数式表示 BE 的长. (2) 当 m=二时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由. (3) 若 AG / y轴，交 0B 于点 F,交 BD 于点 G. 若厶 DOE 与厶 BGF 的面积相等，求 m 的值. 轴交于点 C. (1 )求该抛物线的解析式； (2) 若点 E 为 x轴下方抛物线上的一

12、动点，当 SAABE=SABC时，求点 E 的坐标； (3) 在(2)的条件下，抛物线上是否存在点 P,使/ BAP= / CAE ?若存在，求出点 P 的 横坐标；若不存在，请说明理由. (1) 如图 1,若 P (1, 3), B (4, 0) 求该抛物线的解析式; (2) 如图2,已知直线 PA , PB 与 y 轴分别交于 E、F 两点.当点 P 运动时， 是否 且与 y 轴相交于 c 点 (1 )求 m 的值及 C 点坐标； (2) 在直线 BC 上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它与 B, C 两点构成的三角形面积 最大，若存在，求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由 (

13、3) P 为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q 当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标； 2 、 15.抛物线 y=ax +c 与 x 轴交于 若 D 是抛物线上一点，满足/ DPO= / POB，求点 D 的坐标; 16.如图，二次函数 y= x2+3x+m 的图象与 (4, 0),另一个交点为 A , 为定值? x 轴的一个交点为 B 点 P 的横坐标为 t (Ovt v4),当 t 为何值时，四边形 PBQC 的面积最大，请说明理由. 两点，点 A 的坐标为（0, 1）,点 B 在第一象限内，点 C 是二次函数图象的顶点，点 M 是 一次函数 y=kx+b（ k丰0）

14、的图象与 x 轴的交点，过点 B 作轴的垂线，垂足为 N，且 SAMO : S 四边形 AONB=1 : 48. （1）求直线 AB 和直线 BC 的解析式； （2 ）点 P 是线段 AB 上一点，点 D 是线段 BC 上一点，PD / x轴，射线 PD 与抛物线交于 点 G，过点 P 作 PE 丄 x轴于点 E，PF 丄 BC 于点 F.当 PF 与 PE 的乘积最大时，在线段 AB 上找一点 H （不与点 A，点 B 重合），使 GH+ BH 的值最小，求点 H 的坐标和 GH+ BH 2 2 的最小值； I 2 （3）如图 2,直线 AB 上有一点 K （3, 4），将二次函数 y= ,

15、 x5 - 2x+1 沿直线 BC 平移， 平移的距离是（t 0）,平移后抛物线上点 A，点 C 的对应点分别为点 A ，点 C；当厶 ACK 5 18. 如图，抛物线 y=ax2+bx - 3 （az 0）的顶点为 E，该抛物线与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C,且 BO=OC=3AO，直线 y= - . x+1 与 y 轴交于点 D. （1）求抛物线的解析式； (2) 证明： DBOEBC ; 17.如图 1, 二次函数 i 2 y=：x -2x+1 的图象与 次函数 y=kx+b ( kz 0)的图象交于 A , B (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点 卩， 使厶 PBC

16、 是等腰三角形？若存在，请直接写出符 合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由. 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y= - 2x+10 与 x 轴，y 轴相交于 A , B 两点，点 C 的 坐标是(8, 4),连接 AC , BC. (1) 求过 O, A , C 三点的抛物线的解析式，并判断厶 ABC 的形状； (2) 动点 P 从点 O 出发，沿 OB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动；同时，动点 Q 从点 B 出发，沿 BC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动规定其中一个动点到达端点 时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，PA

17、=QA ? (3)在抛物线的对称轴上， 是否存在点 M，使以 A , B, M 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 20. 已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上的三个点， 且 OA=1 , OB=3 , OC=4 , (1) 求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； (2) 在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P,使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为 菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 若点 M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当| PM - AM |的最大

18、值时点 M 的坐标，并直接写出| PM - AM |的最大值. 面积; (3)若 Rt AOC 沿 x轴向右平移 t 个单位长度(0v t 0)的图象与该二次函数的图象交于 0、C 两点，点 T 为 该二次函数图象上位于直线 OC 下方的动点，过点 T 作直线 TM 丄 OC,垂足为点 M，且 M 在线段 OC 上(不与 0、C 重合)，过点 T 作直线 TN / y 轴交 OC 于点 N 若在点 T 运动 2 的过程中， ：为常数，试确定 k 的值. 0M 参考答案与解析 2 1 (2016?泸州)如图，在平面直角坐标系中， 点 O 为坐标原点，直线 I与抛物线 y=mx +nx 相交于 A

19、 (1 , 3 _), B (4, 0)两点. (1 )求出抛物线的解析式； (2) 在坐标轴上是否存在点 D，使得 ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在， 求出点 D的坐标；若不存在，说明理由； (3) 点 P 是线段 AB 上一动点，(点 P 不与点 A、B 重合)，过点 P 作 PM / OA，交第一 象限内的抛物线于点 M，过点 M 作 MC 丄 x轴于点 C,交 AB 于点 N，若 BCN、 PMN M 的坐标. ,求出T 的值，并求出此时点 【分析】(1 )由 A、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式; D 点坐标为(0, )； (2) 分 D 在 x轴上

20、和 y 轴上，当 D 在 x 轴上时，过 A 作 AD 丄 x 轴，垂足 D 即为所求；当 D 点在 y 轴上时，设出 D 点坐标为(0, d),可分别表示出 AD、BD，再利用勾股定理可 得到关于 d 的方程，可求得 d 的值，从而可求得满足条件的 D 点坐标； (3) 过 P 作 PF 丄 CM 于点 F，利用 RtA ADO s Rt MFP 以及三角函数，可用 PF 分别表示 出 MF和 NF，从而可表示出 MN，设 BC=a，则可用 a 表示出 CN，再利用 SBCN=2S PMN , 可用 PF 表示出 a 的值，从而可用 PF 表示出 CN，可求得二的值；借助 a 可表示出 M

21、点的 坐标，代入抛物线解析式可求得 a 的值，从而可求出 M 点的坐标. 【解答】解： (1 ) A (1, 3 T), B (4, 0)在抛物线 y=mx2+nx 的图象上， 宀解得：, ll6nri-4n=0 r=J3 抛物线解析式为 y=-二X2+4二 x； (2)存在三个点满足题意，理由如下： 当点 D 在 x轴上时，如图 1，过点 A 作 AD 丄 x轴于点 D, 01 图 1 、 - A (1, 3 二)， D 坐标为(1 , 0)； 当点 D 在 y 轴上时，设 D (0, d),则 AD 2=1+ (3 d) 2, BD2=42+d2，且 AB 2= (4- 1) 2+ (3

22、) 2=36 , ABD 是以 AB 为斜边的直角三角形， AD 2+BD2=AB2，即 1+ ( 3 二-d) 2+42+d2=36，解得 d= ,综上可知存在满足条件的 D 点，其坐标为(1,0)或(0, )或(0厂丄); (3)如图 2,过 P 作 PF 丄 CM 于点 F, / PM / OA , Rt ADO s Rt MFP , PF 0D 八 MF=3 二 PF, 在 Rt ABD 中，BD=3 , AD=3 冷：_, . tan / ABD=:, / ABD=60 设 BC=a，贝 CN=届, 在 Rt PFN 中，/ PNF= / BNC=30 tan / PNF=空 FN

23、3 FN= _PF, MN=MF +FN=4 一 PF, T BCN=2SPMN, 逬a2=2 x x 4 一 PF2, a=2 一 PF, NC= _a=2 7 PF , .MN =PF 二厂 . MN= “F NC= -F ”,. x j .： a= i a , MC=MN +NC= (+ T) a , M 点坐标为(4 - a , (+ ) a),面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得 S 的最大值; 又 M 点在抛物线上，代入可得- 二（4- a） 2+4 二（4-a） = （ +刁 a, 解得 a=3 -三或 a=0 （舍去）， 0C=4 - a= 了+1, MC=2 7+ 二，

24、 点 M 的坐标为（三+1 , 2 + _）. 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、 勾股定理、相似三角形的 判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等在（ 2）中注意分点 D 在 x轴和 y 轴上两 种情况，在（3）中分别利用 PF 表示出 MF 和 NC 是解题的关键，注意构造三角形相似本 题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（ 3 ）问，难度很大. 2. （2016?淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= - ,x2+bx+c 的图象与坐标轴交 y 于 A、B、C 三点，其中点 A 的坐标为（0, 8），点 B 的坐标为（-4, 0）. （1）

25、 求该二次函数的表达式及点 C 的坐标； （2） 点 D 的坐标为（0, 4），点 F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 CD、 CF，以 CD、CF 为邻边作平行四边形 CDEF，设平行四边形 CDEF 的面积为 S. 求 S 的最大值； 在点 F 的运动过程中，当点 E 落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 S 的值. * r A j i 2 【分析】（1 ）把 A 点和 B 点坐标代入 y= - ! x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后解方 程组求出 b、c 即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为 0 时对应的自变量的值即可得 到 C 点坐标 j 2 （2）连结

26、 OF，如图，设 F （t,- ,f+t+8），利用 S 四边形 OCFD=SCDF+SOCD =SODF+S OCF，利用三角形面积公式得到 SCDF= - t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到 CDF 的 由于四边形 CDEF 为平行四边形，则 CD / EF, CD=EF，利用 C 点和 D 的坐标特征可判 断点 C向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D，则点 F 向左平移 8 个单位，再 向上平移 4 个单位得到点 E,即 E (t - 8,-t7+t+12)，然后把 E (t-8，- t2+t+12)代 4 4 入抛物线解析式得到关于 t 的方程，再解方程求出

27、t 后计算 CDF 的面积，从而得到 S 的值. 1 2 ( 【解答】解：(1 )把 A (0, 8), B (- 4, 0)代入 y=-丄 x2+bx+c 得 , 7 =-(t - 3) +25, 当 t=3 时， CDF 的面积有最大值，最大值为 25, 四边形 CDEF 为平行四边形， S 的最大值为 50； 四边形 CDEF 为平行四边形， CD / EF, CD=EF , .点 C 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 D , 1 2 点 F 向左平移 8 个单位，再向上平移 4 个单位得到点 E,即 E (t - 8,-計 t2+t+12), E (t - 8,- t

28、2+t+12)在抛物线上, - | (t - 8) 2+t - 8+8= - f+t+12，解得 t=7 , 当 t=7 时，SCDF= -( 7 - 3) 2+25=9 , 此时 S=2SCDF=18 . -4-4b+c=0 所以抛物线的解析式为 y= - x2+x+8 ； 所以 C 点坐标为(8, 0)； 2 (2)连结OF，如图，设F(t,- t+t+8), - S 四边形 OCFD=SACDF+SOCD=SAODF+SAOCF, 二 SCDF=S ODF+SOCF- SOCD= ?4?t+ ?8? ( - t2+t+8)- ?4?8 二 二 二 二 2 =-t2+6t+16当 y=0

29、时, 的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质, 掌握点平移的坐标规律. 2 3. ( 2016?钦州)如图 1,在平面直径坐标系中，抛物线 y=ax +bx - 2与 x 轴交于点 A ( 3, 0). B (1, 0),与 y 轴交于点 C (1) 直接写出抛物线的函数解析式； (2) 以 OC 为半径的 O O 与 y 轴的正半轴交于点 E,若弦 CD 过 AB 的中点 M ,试求出 DC 的长； (3) 将抛物线向上平移 I：个单位长度(如图 2)若动点 P (x, y)在平移后的抛物线上，且 点 P 在第三象限，请求出 PDE 的面积关于 x的函

30、数关系式，并写出 PDE 面积的最大值. 【分析】(1)由点 A、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、 二次函数 (2)令抛物线解析式中 x=0 求出点 C的坐标， 根据点 A、 B的坐标即可求出其中点 M的坐 标，由此即可得出 CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为 90即可得出厶 COM CDE,根 据相似三角形的性质即可得出 代入数据即可求出 DC 的长度； (3) 根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其 y=0,求出平移后的抛物线与 x 轴的交点坐标，由此即可得出点 P 横坐标的范围，再过点 P 作 PP 丄 y 轴于点 P,过点

31、D 作 DD丄 y 轴于点 D,通过分割图形求面积法找出 SAPDE关于 x的函数关系式，利用配方结合 而成函数的性质即可得出 PDE 面积的最大值. 2 【解答】解：(1)将点 A (- 3, 0)、B (1, 0)代入 y=ax8+bx - 2 中， 8 2 令 y=x +x -吊中 y=0，即丁x +x -=0 , DC CE 得：. 0=9a - 3b - 2 0=a+b - 2 ，解得: 抛物线的函数解析式为 y=x2+：x - 2. 3 3 (2 )令 y=x2+x-2 中 x=0,则 y= 2, 3 3 C (0, - 2), .OC=2 CE=4 A (- 3, 0), B (

32、1 , 0),点 M 为线段 AB 的中点, M (- 1, 0), CM= I, _ _ 口 + . - - 2 =/二. / CE 为 O O 的直径， / CDE=90 , COM CDE , / -, (3)将抛物线向上平移 丄个单位长度后的解析式为 y=-yx2+#x - 2+_ =-yX2+x -., 匕 o O 也 o O 乙 点 P 在第三象限,解得：X1 j , XV 0. 2 过点 P 作 pp 丄 y 轴于点 P,过点 D 作 DD 丄 y 轴于点 D,如图所示. 在 Rt CDE 中，CD=二二，CE=4 , 5 DE= 1广=一，sin / DCE=W=, 在 Rt

33、CDD 中，CD=二亠，/ CD D=90 5 DD=CD?sin / DCE=, CD| ：=丄, 5 * 5 OD =CD OC=, & ；,；),D，(0,；), x2=4 b- 3 I 直线 C D 的解析式为 y= - 7x - 3, 当 y= 7x - 3 中 y=0 时，x=- 7 当厶 CDE 的周长最小，点 E 的坐标为(- 一 0). (3) 设直线 AC 的解析式为 y=ax+c, c=3 ( a=l 则有* ，解得： , -3a+c=0 I c3 直线 AC 的解析式为 y=x+3. 假设存在，设点 F ( m, m+3), AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如图 2

34、 所示)： 当 / PAF=90。时，P (m,- m- 3), 点 P 在抛物线 y= - x2- 2x+3 上， m- 3= - m2- 2m+3, 解得：mi= - 3 (舍去)，m2=2, 此时点 P 的坐标为(2,- 5); 当/AFP=90 时，P (2m+3, 0) 点 P 在抛物线 y= - x2- 2x+3 上， 0= -( 2m+3) 2- 2 x( 2m+3) +3, 如图 解得：m3= - 3 (舍去)，m4= - 1, 此时点 P 的坐标为(1, 0); 当 / APF=90 时，P ( m, 0), 点 P 在抛物线 y= - x2- 2x+3 上，2 0= m 2

35、m+3, 解得：m5= - 3 （舍去），m6=1, 此时点 P 的坐标为（1, 0）. 综上可知：在抛物线上存在点 P,使得 AFP 为等腰直角三角形，点 P 的坐标为（2, 5） 或（1, 0）. 【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质， 解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点 A、B、C 的坐标，禾 U 用配 方法求出顶点坐标；（2）找出点 E 的位置；（3）分/ PAF=90 / AFP=90。和/APF=90 三种情况考虑.本题属于中档题，难度不大， 解决该题型题目时， 利用一次函数图象上点的 坐标特征设出点 F 的坐标，再

36、根据等腰直角三角形的性质表示出点 P 的坐标是关键. 8. （ 2016?南充）如图，抛物线与 x轴交于点 A （ 5, 0）和点 B （3, 0）.与 y 轴交于点 C （0, 5）.有一宽度为 1,长度足够的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y 轴平行的 一组对边交抛物线于点 P 和 Q,交直线 AC 于点 M 和 N .交 x轴于点 E 和 F. （1） 求抛物线的解析式； （2） 当点 M 和 N 都在线段 AC 上时，连接 MF，如果 sin/AMF= -，求点 Q 的坐标； （3） 在矩形的平移过程中，当以点 P, Q, M , N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐

37、标. VA V Q / 0 【分析】(1)设抛物线为 y=a (x+5)( x-3)，把点(0, 5)代入即可解决问题. (2)作 FG 丄 AC 于 G,设点 F 坐标(m, 0),根据 sin/AMF = ，列出方程即可 10 解决问题. (3)当 MN 是对角线时，设点 F ( m, 0),由 QN=PM，列出方程即可解决问题. -m2- m+5）则点 P（m+1,-二 m2- m+6）, 3 3 3 3 代入抛物线解析式，解方程即可. 【解答】解：(1 )抛物线与x轴交于点 A (- 5, 0), B (3, 0), 可以假设抛物线为 y=a (x+5)( x- 3),把点(0, 5)

38、代入得到 a=- ._ , D1 F 坐标（m, 0）, FG=（m+5）, FM= 卜,= * / / sin / AMF= 丄 10 .FG_VTO 乡（耐引 迴，整理得到 2m2+19m+44=0, A/1+（ITI+6） 10 .（ m+4） （ 2m+11） =0, - m= - 4 或-5.5 （舍弃）， 一 7 点 Q 坐标（-4,当 MN 为边时，MN=PQ= ，设点 Q( m, 抛物线的解析式为 y= - .x 2-;x+5. (2)作 FG 丄 AC 于 G,设点 贝 V AF=m +5, AE=EM=m +6, (3)当 MN 是对角线时，设点 F (m, 0) 直线 A

39、C 解析式为 y=x+5, 点 N (m, m+5)，点 M (m+1, m+6), / QN=PM , j 2 i 2 - m m+5 - m - 5=m+6 - - ( m+1) (m+1) +5, 3 3 3 3 解得 m= - 3 7, 点 M 坐标(-2+：.疋,3+角 Q 或(-2 -；.疋,3-拙曲). 2 一 _ 2 - 当 MN 为边时，MN=PQ= J 设点 Q(m, - m -m+5)则点 P(m+1, - m m+6), 12? I 9 ? m m+6= (m+1) (m+1) +5, 3 3 3 3 解得 m= - 3. 点 M 坐标(-2, 3), 综上所述以点 P

40、, Q, M , N 为顶点的四边形是平行四边形时，点 数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题. 9. ( 2016?甘孜州)如图，顶点为 M 的抛物线 y=a (x+1) 2- 4 分别与 x轴相交于点 A , B (点 A 在点 B 的右侧)，与 y 轴相交于点 C ( 0,- 3). (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 判断 BCM 是否为直角三角形，并说明理由. M 的坐解题的关键是学会待定系 等知识, (3) 抛物线上是否存在点 N (点 N 与点 M 不重合)，使得以点 A , B , C, N 为顶点的四 边形的面积与四边形 ABMC 的面积相

41、等？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可； (2) 由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与 x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理 即可； (3) 根据题意判断出点 N只能在 x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出 S ABN=SABCM，然后求出三角形 BCM 的面积，再建立关于点 N 的坐标的方程求解即可. 【解答】解：(1 )抛物线 y=a (x+1) 10-4 与 y 轴相交于点 C (0,- 3). 3=a- 4, a=1, 抛物线解析式为 y= (x+1) 2- 4=x2+2x- 3, (2) BCM 是直角三角形

42、 理由：由(1 )有，抛物线解析式为 y= (x+1) 2-4, 顶点为 M 的抛物线 y=a (x+1) 2 - 4, M (- 1,- 4), 由(1)抛物线解析式为 y=x2+2x - 3, 令 y=o, 2 x +2x 3=0, 10 2 2 BC2+CM 2=BM , X1= - 3, X2=1 , A (1 , 0) , B (- 3 , 0), 2 2 2 BC =9+9=18, CM =1+ 仁 2, BM =4+14=20 , m! = - 1+，m2=- 1- ， BCM 是直角三角形, (3) 存在，N (- 1+,：)或 N (- 1 - 2 2 2 2 以点 A ,

43、B, C, N 为顶点的四边形的面积与四边形 ABMC 的面积相等，且点 线的顶点， 点 N 在 x轴上方的抛物线上， 如图， 由(2)有厶 BCM 是直角三角形，BC2=18 , CM2=2 , BC=3 二，CM= 了， - SABCM=7BC X CM= -7 X 3r / X V / =3, 设 N (m, n), 以点 A , B, C, N 为顶点的四边形的面积与四边形 ABMC 的面积相等, - SAABN +SABC =SABCM +SAABC , 二 SAABN=SABCM=3 , A (1, 0), B (- 3, 0), AB=4 , SAABNX AB X nX 4X

44、n=2n=3 , nj , N 在抛物线解析式为 y=x2+2x - 3 的图象上, 2 - m +2m - 3=p,M 是抛物 f N (- 1+ ，：)或 N (- 1 - ,) 2 2 2 2 点 C 在对称轴的右侧， 点 N 在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧, 过点 M 作 MN / BC,交抛物线于点 N , B (- 3，0)，C(0，- 3), 直线 BC 解析式为 y= - x - 3, 设 MN 的解析式为 y= - x+b 抛物线解析式为 y= (x+1) 2- 4， M (- 1,- 4), 直线 MN 解析式为 y= - x - 5， N (- 2,- 3), 即

45、：N (-1+，；.)或 N(- 1 - 或 N(-2,- 3) 【点评】此题是二次函数综合题， 主要考查了待定系数法求抛物线解析式, 断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出 BCM 是直角三角形，难点是要两个四边形 面积相等，点 N 分在 x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解 决(3)的关键，也是初中阶段常用的方法. 10. ( 2016?临夏州)如图，已知抛物线 y= - x2+bx+c经过A (3, 0) , B (0, 3)两点. 联立 (舍) 2=_ 2 y2=_ 3 直角三角形的判 (1) 求此抛物线的解析式和直线 AB 的解析式； (2) 如图，动点 E

46、 从 0 点出发，沿着OA方向以 1 个单位/秒的速度向终点 A 匀速运动， 同时，动点 F 从 A 点出发，沿着 AB 方向以 三个单位/秒的速度向终点 B 匀速运动，当 E, F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接 EF，设运动时间为 t 秒，当 t 为何值 时， AEF 为直角三角形？ (3) 如图，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点 P 与 A，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形 中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点 P 的坐标； 如果不存在，请简要说明理由.

47、 圉 图 【分析】(1)用待定系数法求出抛物线，直线解析式； (2) 分两种情况进行计算即可； (3) 确定出面积达到最大时， 直线 PC 和抛物线相交于唯一点， 从而确定出直线 PC 解析式 21 为y - X+ ，根据锐角三角函数求出 BD，计算即可. 4 【解答】解：(1 )抛物线 y= - x2+bx+c 经过 A (3, 0), B (0, 3)两点， a 94-3b+c=0 , L c 二 3 fb=2 :, 2 y= x +2x+3, 设直线 AB 的解析式为 y=kx+ n, r3k+n=0 fk- - 1 ， y= x+3； (2)由运动得， OE=t, AF= 刁, AE=

48、OA 0E=3 t, AEF 为直角三角形, AOB s AEF , AT AE ABOA， 远-3 AOB s AFE , OAAB AF 亠AE， 3 亦 V2t _3-t? t=i ； 直线 AB 解析式为 y= - x+3, 设直线 PC 解析式为 y= - x+b, 联立、 y= - w+b y= X+2K十3 2 x+b= x 2 - x 3x+b 3=0 =0 b=, (3)如图，存在, 过点 P 作 PC / AB 交 y 轴于 C, BC=A - 3=, I， 3 X=, :, 【分析】(1)先得出 C 点坐标，再由 OC=5BO，得出 B 点坐标，将 A、 析式求出 a，b

49、； (2)分别算出厶 ABC 和厶 ACD 的面积，相加即得四边形 ABCD 的面积过点 B 作 BD 丄 PC, 直线 BD 解析式为 y=x+3, BD=, 8 / AB=3 矢伍=2? 即：存在面积最大，最大是 *工，此时点 P ( ： , ). 8 2 4 【点评】此题是二次函数综合题， 主要考查了待定系数法求函数解析式， 和判定，平行线的解析式的确定方法， 互相垂直的直线解析式的确定方法， 确定出 PAB 面积最大时点 P 的特点. 2 11. ( 2016?上海)如图，抛物线 y=ax +bx - 5 ( 0)经过点 A (4,- 半轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,且 OC=5

50、OB，抛物线的顶点为点 D. (1) 求这条抛物线的表达式； (2) 联结 AB、BC、CD、DA，求四边形 ABCD 的面积； 相似三角形的性质 解本题的关键是 5)，与 x轴的负 B 两点坐标代入解 (3)由/ BEO= / ABC 可知，tan/ BEO=tan / ABC，过 C 作 AB 边上的高 CH，利用等面 积法求出 CH，从而算出 tan/ ABC，而 BO 是已知的，从而利用 tan/ BEO=tan / ABC 可求 出 EO长度，也就求出了 E 点坐标. 2 【解答】解：(1 )抛物线 y=ax +bx - 5 与 y 轴交于点 C, C (0, - 5), OC=5

51、. / OC=5OB , OB=1 , 又点 B 在 x轴的负半轴上， - B (- 1 , 0). 抛物线经过点 A ( 4,- 5)和点 B (- 1, 0), fl6a4-4b- 5=- E ，解得 a-b- 5=0 连接 AC , 点 A 的坐标是(4,- 5),点 C 的坐标是(0,- 5), 又 ABC=jX 4X 5=10 , SAACD=7? X 4X 4=8, 二 S 四边形 ABCD =SAABC +sACD=18 . (3)过点 C 作 CH 丄 AB，垂足为点 H. a=l :, (2,- 9) SAABC=W X AB X CH=10 , AB=5 , CH=2 ,

52、在 RT BCH 中，/ BHC=90 BC= , BH=和严 _ 蚀处门， tan / CBH= =：. BH 3 在 RT BOE 中，/ BOE=90 tan/BEO=, EO / BEO= / ABC , 点E的坐标为（0,- 法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中.第（ 3）问，将角度相等转化为 对应的正切函数值相等是解答关键. 12. （ 2016?济宁）如图，已知抛物线 m : y=ax2- 6ax+c （a 0）的顶点 A 在 x轴上，并过 1 7 点 B （0，1），直线 n： y= - _ x+,_与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 I交于点 F，过

53、B 点的直线 BE 与直线 n相交于点 E （- 7，7）. （1 ）求抛物线 m 的解析式； （2） P 是 I上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； （3） 抛物线 m 上是否存在一动点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D?若存在，求 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）抛物线顶点在 x轴上则可得出顶点纵坐标为 0,将解析式进行配方就可以求 出 a 的值，继而得出函数解析式；BO _2 E03 ，得 Eg, 【点评】本题为二次函数综合题, 主要考查了待定系数法求二次函数解析式、 三角形面积求 (2 )利用轴对称求最短路径的方

54、法，首先通过 B 点关于 I的对称点 B 来确定 P 点位置，再 求出直线 B E 的解析式，进而得出 P 点坐标； (3)可以先求出直线 FD 的解析式，结合以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D 这个条件， 明确/ FDG=90 得出直线 DG 解析式的 k 值与直线 FD 解析式的 k 值乘积为-1，利用 D 点坐标求出直线 DG 解析式，将点 Q 坐标用抛物线解析式表示后代入 DG 直线解析式可求 出点 Q 坐标. 【解答】解：(1 抛物线 y=ax2 - 6ax+c (a 0)的顶点 A 在 x轴上 配方得 y=a (x - 3) 2 - 9a+1,则有-9a+仁 0，解得 a= -

55、2 A 点坐标为(3, 0),抛物线 m 的解析式为沪 宀 x+1; (2)点 B 关于对称轴直线 x=3 的对称点 B%( 6, 1) 设直线 EB 的解析式为 y=kx+b，把(-7, 7)( 6, 1)代入得 连接6k+b=l 解得 ”y= - x+ y 13 13 则函数解析式为 1 7 (3) y= - xr 与 x 轴交于点 D, 点 D 坐标为(7, 0), /y= - x+与抛物线 m 的对称轴 I交于点 F, 2 2 点 F 坐标为（3, 2）, 求得 FD 的直线解析式为 y=-丄 x+丄，若以 FQ 为直径的圆经过点 D,可得/ FDQ=90 则 DQ 的直线解析式的 k

56、 值为 2, 设 DQ 的直线解析式为 y=2x+b，把（7, 0）代入解得 b= - 14，则 DQ 的直线解析式为 y=2x -14, 12 2 _ p -=2a- 14 解得 ai=9, a2=15 . 点 Q 坐标为（9, 4）或（15, 16）. 【点评】本题考查的知识点是二次函数性质、 一次函数性质、轴对称性质，解题的关键是明 确找线段和最小的点要通过轴对称性质找对称点， 以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D 则要 转化为/ FDG=90。的条件来考虑. 2 13. （ 2016?温州）如图，抛物线 y=x - mx - 3 （m 0）交 y 轴于点 C, CA 丄 y 轴，交抛

57、物 线于点 A， 点 B 在抛物线上， 且在第一象限内， BE 丄 y 轴， 交 y 轴于点 E， 交 AO 的延长线 于点 D, BE=2AC . （1） 用含 m 的代数式表示 BE 的长. （2） 当 m= 一时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由. （3） 若 AG / y 轴，交 OB 于点 F,交 BD 于点 G. 若厶 DOE 与厶 BGF 的面积相等，求 m 的值. 32 连结 AE，交 OB 于点 M，若 AMF 与厶 BGF 的面积相等，则 m 的值是 _ 【分析】（1）根据 A、C 两点纵坐标相同，求出点 A 横坐标即可解决问题. (2) 求出点 D 坐标，然后判断

58、即可. (3) 首先根据 E0=2FG，证明 BG=2DE，列出方程即可解决问题. 求出直线 AE、B0 的解析式，求出交点 M 的横坐标，列出方程即可解决问题. 【解答】解：(1 )T C (0, 3), AC 丄 OC, 点 A 纵坐标为-3, y= - 3 时，-3=x2 mx 3，解得 x=0 或 m, 点 A 坐标(m, 3), . AC=m , BE=2AC=2m . (2 )T m=二 点 A 坐标(一，-3), 直线 OA 为 y=二 x, 抛物线解析式为 y=x2-寸；x 3, 点 B 坐标(2 二，3), 点 D 纵坐标为 3, 对于函数 y=-寸学，当 y=3 时，x=-

59、 点 D 坐标(-一，3). 对于函数 y=x2 - X 3, x= 时，y=3 , .点 D 在落在抛物线上. (3) I/ ACE= / CEG= / EGA=90 四边形 ECAG 是矩形， EG=AC=BG , / FG / OE , OF=FB , EG=BG , EO=2FG , 匸?DE?EO ?GB?GF, BG=2DE , / DE / AC , .匹型=丄 =:, 点 B 坐标(2m , 2m2- 3), 0C=20E , 3=2 (2m2- 3), / m0, m=. 2 2 2 /A (m, - 3) , B (2m, 2m - 3), E (0, 2m - 3), 直

60、线 AE 解析式为 y= - 2mx+2m2 - 3,直线 OB 解析式为 y= x, 2D _ 3 2 _ 消去 y 得到-2mx+2m2- 3= x,解得 2D 点 M 横坐标为 / AMF 的面积= BFG 的面积, 整理得到：2m4- 9m2=0, / m0, m= . 2 故答案为. 2 E &卜 A C 【点评】本题考查二次函数综合题、 三角形面积问题、一次函数等知识，解题的关键是学会 构建一次函数，通过方程组解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题.4 m3 _ 6D x= , 6m2-3 ? ( _ L+3) ? (m 2 2 )=?m?1 ? (2m2- 3)