二次函数相关存在性问题(共21页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数相关的存在性问题习题练习一等腰三角形存在性问题：例1如图，抛物线yax26xc与x轴交于点A(5，0)、B(1，0)，与y轴交于点C(0，5)，点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D.(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图.若APECPE，求证：；APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由针对训练：1如图，抛物线yax2bx4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中COBO2AO.(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为直线BC

2、上方的抛物线上一点，过点Q作QEAC交BC于E，作QNx轴于N，交BC于M，当EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；(3)如图，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于F，交OC于G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线COOB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作ADBC交y轴于点D.现将抛物线以

3、每秒个单位长度的速度沿射线AD方向平移，抛物线上的点A、C平移后的对应点分别记作A、C，当ACB是以CB为底边的等腰三角形时，将等腰ACB绕点D逆时针旋转°(0°<<180°)，记旋转中的ACB为ACB，若直线AC与y轴交于点K，直线AC与直线AD交于点I，则DKI是否能为等腰三角形？若能，求出所有符合条件的KI的长；若不能，说明理由三角形全等、相似存在性问题：例2如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA1，OC2，以O为直角顶点作RtCOD，OD3.已知二次函数yx2x的图象过D、B两点，连接BD，E为射线DB上的一点，过E

4、作EHx轴于H，点P为抛物线对称轴上一点，且在x轴上方，点Q在第二象限的抛物线上，是否存在P、Q使得以P、O、Q为顶点的三角形与DEH全等？若存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由针对训练：1如图，抛物线与x轴交于A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，设抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由2如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线yx2交于A，B两点，其中点

5、A的横坐标是2.(1)求这条直线的解析式及点B的坐标(2)在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由3如图，已知抛物线yx2x4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，4)，直线l：yx4与x轴交于D点，点P是抛物线yx2x4上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于点F.过点P作PHy轴，垂足为H，连接AC，PC，试问当P点横坐标为何值时，使得以点P，C，H为顶点的三角形与ACD相似？4如图，已知抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，点N在抛物线上，其横坐标为.连接CN，点P为直线CN上

6、的动点，点Q在抛物线上，连接CQ、PQ得CPQ，当CPQ为等腰直角三角形时，求线段CP的长度与四边形有关的存在性问题：例3如图，抛物线yx22x3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由1如图，抛物线ya(x1)24(a0)与x轴交于A，C两点，与

7、直线yx1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.连接CE，将CEB补成矩形，使CEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标2如图，抛物线yx22x3交x轴于点A，B.点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：ykxb与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD4AC.(

8、1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若ACE面积的最大值为，求a的值；(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由二次函数相关的存在性问题答案等腰三角形存在性问题：例1. 解：(1)抛物线yax26xc过点B(1，0)、 C(0，5)解得该抛物线为yx26x5.(2)证明：PEy轴，PHAO，AHPDHP90°.又PHPH，APECPE，AHPDHP，AHDH.设点P(x，x26x5)，AHDHx(5)x5，P

9、Hx26x5.由PEy轴，得，则.x50，x1，解得x1，x20(不符合)OH，AH，.能，分三种情况讨论、若PAPE.由OAOC5，得AEPPAEACO45°，APE90°.此时点P与点B重合此时点P的坐标为(1，0)、若APAE.由题意，可得APEAEP45°，又PHAO，AHPH，即x26x5x5.解得x12，x25(不符合)则y3，则点P的坐标为(2，3)、点A、C的坐标为(5，0)、(0，5)直线AC的解析式为yx5.点E的坐标为(x，x5)若AEPE，则PE|x26x5(x5)|x25x|.又AEAH(x5)，则x25x(x5)或x25x(x5)，(x

10、5)(x)0或(x5)(x)0.解得：x1，x25(不符合)，x3，x45(不符合)当x1时，y16 7，当x3时，y36 7.此时点P的坐标为(，6 7)或(，6 7)综上所述可得点P的坐标为(2，3)、(1，0)、(，6 7)或(，6 7)针对训练：1. 解：(1)当x0时，y4，则C(0，4)，OC4.又OCOB2OA，OB4，OA2，B(4，0)，A(2，0)又B(4，0)，A(2，0)在抛物线yax2bx4上，抛物线的解析式为yx2x4.(2)B(4，0)，C(0，4)，直线BC的解析式为yx4.MBNNMBQME45°，延长QE交y轴于R.又EQAC，OCQM，EQMCR

11、QACO，tanEQMtanACO.如图，过E作EHQM于H，设EHm，则QH2m，EQm，MHm，EMm，QM3m，mQM.设Q(x，x2x4)，则M(x，x4)，LQM(x22x)(x2)2，又0<x<4，当x2时，Lmax，Q(2，4)(3)Q(2，4)，A(2，0)，AQ的解析式为yx2，G(0，2)，F(1，3)，BFB1F13 ，CFG为等腰三角形设FF1t，则PC2t.F1(1t，t3)，当P在线段CO上运动时，则0<t2且P(0，42t)若FPFF1时，则1(12t)22t2，t1t21，FF1t，B1FB1F1FF12 ；若PFPF1时，则1(12t)2(1

12、t)2(13t)2，t10，t2.又0<t2，t.FF1t，B1FB1F1FF1；B1FB1F1FF142 .综上所述：B1F，2 或42 .若F1PF1F时，则(1t)2(13t)22t2，t1t2.FF1t，B1FB1F1FF1；当P在线段OB上运动时，则2<t<4且P(2t4，0)F1FP>90°，要使PFF1为等腰三角形，则只有FPFF1，9(2t5)22t2，t5±2 .又2<t<4，t52 ，FF1t5 4，2. 解：令y0，x2x30.解得x1，x23 .A(，0)，B(3 ，0)当x0时，y3，C(0，3)，ADBC，ta

13、nBAD.设A(t，t)则C(t，3t)，当ACB是以CB为底边的等腰三角形时，(t4 )2t211，t13(舍去)，t2.A(，)，C(，)设直线AC的表达式为ykxb，将A，C的坐标代入解得k，b.yx.D(0，1)到直线AC：yx的距离d. 如图，DKDI，KDI为钝角，KI.如图，DKDI，KDI为锐角，KI.如图，KDKI或IDIK，KI.综上所述，KDI为等腰三角形，符合条件的KI的长为、.三角形全等、相似存在性问题：例2：解：设直线BD的解析式为ymxn，把B(1，2)，D(3，0)代入BD的解析式得到yx.若OPQDHE.过点P作PTy轴于T，过点Q作QSPT于S.如图.则有P

14、OQHDE，OPQDHE90°，则有tanPOQtanHDE.易证QSPPTO，从而可得，SQTP，SPTO.xP，PT，SQ.设OTp，则有SP，则Q(，p)，代入二次函数解析式，并整理得p24p0.解得p，点Q在第二象限，0且p0，p，p.此时Q(，)若QPODHE，同可得Q(2p，p)，代入二次函数解析式，并整理得4p2p0，解得p3，p4(舍)，此时Q(，)(舍)若PQODHE，过点Q作QSx轴于S，过点P作PTQS于T.如图.易证PTQQSO，从而可得2.设PTp，则有QS，点Q的坐标为(p，)，代入抛物线yx2x，结合p0，可得p，从而可得Q(，)若OQPDHE，同可得Q

15、(，)综上所述，满足题意的点Q为：(，)或(，)或Q(，)针对训练：1. 解：(1)设该抛物线的解析式为yax2bxc，由抛物线与y轴交于点C(0，3)，可知c3.把A(1，0)、B(3，0)代入，得解得抛物线的解析式为yx22x3.yx22x3(x1)24，顶点D的坐标为(1，4)(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形理由如下：如图，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB3，OC3，BC2OB2OC2323218.在RtCDF中，DF1，CFOFOC431，CD2CF2DF212122.在RtBDE中，DE4，BEOBOE312，BD2BE2ED22242

16、20.BC2CD2BD2，故BCD为直角三角形(3)存在连接AC，可知RtCOARtBCD，得符合条件的点P为(0，0)如图，过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1RtCOARtBCD，求得符合条件的点为P1(0，)过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CARtCOARtBCD，求得符合条件的点为P2(9，0)综上所述，点P的坐标为(0，0)或(0，)或(9，0)2. 解：(1)点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为2，y×(2)21，A点的坐标为(2，1)，设直线的解析式为ykxb，将(0，4)，(2，1)代入得解得直线的解析式为yx4.直线与抛物线相交，x4

17、x2，解得x2或x8，当x8时，y16，点B的坐标为(8，16)；(2)如图，过点B作BGx轴，过点A作AGy轴，交点为G，由A(2，1)，B(8，16)可求得AB2AG2BG2325.设点C(m，0)，同理可得AC2(m2)212m24m5，BC2(m8)2162m216m320.若BAC90°，则AB2AC2BC2，即325m24m5m216m320，解得：m；若ACB90°，则AB2AC2BC2，即325m24m5m216m320，解得：m0或m6；若ABC90°，则AB2BC2AC2，即m24m5m216m320325，解得：m32；点C的坐标为(，0)，

18、(0，0)，(6，0)，(32，0)3. 解：(1)由题意知A(2，0)，C(0，4)，对于yx4，令y0，解得x8，D(8，0)，OD8.A(2，0)、C(0，4)，AD2(8)10.AC2224220，DC2824280，AD2100，AC2CD2AD2，ACD是直角三角形，且ACD90°，设P(n，n2n4)，CH|n2n|，以P、C、H为顶点的三角形与ACD相似，分两种情况：)当ACDCHP时，即或，解得n10(舍)，n25.5，或n30(舍)，n410.5；)当ACDPHC时，即或，解得n50(舍)，n62，或n70(舍)，n818；综上所述，当P点横坐标为5.5或10.5

19、或2或18时，以P、C、H为顶点的三角形与ACD相似4. 解： 把x代入yx22x3，得y.N(，)C(0，3)，直线CN的解析式为yx3.设P(x，x3)，显然C不可能为直角顶点，当点P为直角顶点，且在线段CN上时：PCPQ，Q(x，3)x23x33，解得x或x0.P1(，)或P1(0，3)(舍)CP1.当点P为直角顶点，且在CN延长线上时：PCPQ，Q(，x3)，x2x3x3，解得x10或x0(舍)，P2(10，2)，CP25 .当点Q为直角顶点，且在直线CN上方的抛物线上时：CQPQ，Q(x，3x)，x2x33x，解得x或x0(舍)P3(，)，CP3.当点Q为直角顶点，且在直线CN下方的

20、抛物线上时：CQPQ，Q(，x3)x2x3x3，解得x20或x0(舍)，P4(20，7)，CP410 .综上所述，CP的长度为，5 ，10 .与四边形有关的存在性问题：例3. 解：(1)令y0，解得x11或x23，A(1，0)，B(3，0)；将C点的横坐标x2代入yx22x3，得y3，C(2，3)直线AC的函数解析式是yx1.(2)设P点的横坐标为x(1x2)，则P、E的坐标分别为：P(x，x1)，E(x，x22x3)P点在E点的上方，PE(x1)(x22x3)x2x2(x)2.当x时，PE的最大值为.(3)如图，AF为平行四边形的边时，AF綊GC，G(0，3)，GC2，AF2，A(1，0)，

21、F1(3，0)，F2(1，0)；如图，AF为平行四边形的对角线时，则平行四边形ACFG的对称中心为AF中点，且这个对称中点在x轴上，而顶点G与C也关于这个对称中心成中心对称，因为yC3，所以yG3，对yx22x3，令y3，即x22x33，解得x1±，所以G(1，3)，G(1，3)，所以对称中心为(，0)或(，0)，故F3(4，0)，F4(4，0)综上所述，存在4个这样的点F，分别是F1(3，0)，F2(1，0)，F3(4，0)，F4(4，0)针对训练：1. 解：由题意知A(1，0)，把它代入ya(x1)24，得a1，抛物线的解析式为y(x1)24，即yx22x3.解方程x22x3x1

22、得x11(舍)，x24，B(4，5)由x22x30，得x13，x21(舍去)C(3，0)C(3，0)，E(1，2)，B(4，5)，CE2 ，BE3 ，CB.CEB90°.(i)以BC为对角线，点E矩形的顶点时，如图所示，易求得直线CD的解析式为yx3，直线BD的解析式为yx9.由得此时D(6，3)(ii)以BC为边，点E在BC对边上时，如图所示，过点B作y轴的平行线交x轴于点N，过点M作MTBN.由面积关系得BM.由BTMCNB，得.BT，MT.M(，)过点F作FKx轴于点K，由FKCPNB，得.FK，CK.F(，)当B，E在矩形同一边时，未知点的坐标为D(6，3)，当B，C在矩形同

23、一边时，未知点的坐标为M(，)，F(，)2. 解：x22x30，A(3，0)，B(1，0)点C是点A关于点B的对称点，点C的坐标是C(5，0)点F是线段BC的中点，B(1，0)，C(5，0)，点F的坐标为F(3，0)直线l过点F且与y轴平行，直线l的函数表达式为x3.点M在直线l上，点N在抛物线上，设点M的坐标为M(3，m)，点N的坐标为N(n，n22n3)A(3，0)，C(5，0)，AC8.分情况讨论：若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的边，则MNAC，且MNAC8.当点N在点M的左侧时，MN3n.3n8，解得n5.N点的坐标为N(5，12)当点N在点M的右侧时，MNn3.n38，解得n11.N点的坐标为N(11，140)若线段AC是以