实验三一元函数积分学

1、实验三 一元函数积分学l实验目的：加深理解定积分的概念，深入理解积分实验目的：加深理解定积分的概念，深入理解积分理论中理论中分割分割、近似近似、求和求和、取极限取极限的思想方法，初的思想方法，初步了解定积分的近似计算方法步了解定积分的近似计算方法定积分的概念l由定义计算定积分由定义计算定积分l在定积分的定义中，划分积分区间的方法与在每个在定积分的定义中，划分积分区间的方法与在每个小区间上取的点小区间上取的点 都是任意的，如果当分划的每都是任意的，如果当分划的每个小区间长度的最大值个小区间长度的最大值 趋于趋于0时，它的黎曼和存时，它的黎曼和存在极限，此极限值即为我们所定义的一个函数在一在极限，

2、此极限值即为我们所定义的一个函数在一个指定区间上的定积分。个指定区间上的定积分。i实验1 利用定义计算积分l下面的程序在区间下面的程序在区间0,1中插入中插入n-1个分点（可以均个分点（可以均匀的产生，也可以借助随机数产生），在一定意义匀的产生，也可以借助随机数产生），在一定意义下取得了任意分点与任意的下取得了任意分点与任意的 计算计算 l即可求得即可求得 的近似值的近似值l提高精度的方法是增加分点。提高精度的方法是增加分点。iniif1)(niiixf10)(lim近似生成随机区间分点近似生成随机区间分点实验1 利用定义计算积分Clearf,x;fx_:=x2;a=0;b=1;n=20;Ar

3、rayx,641;x0=a;Fork=1,k=6,k+,xn=b;s=0; Doxi=(i+Random )*(b-a)/n,i,1,n-1; Fori=0,in,i+,delxi=xi+1-xi; c=xi+delxi*Random; s=s+fc*delxi; Printn=,n, s=,s; n=n*2指定区间指定区间a,b及初始区间数及初始区间数预先生成能保存最多区间分点的数组预先生成能保存最多区间分点的数组每个小区间的长度每个小区间的长度每个小区间内随机取值每个小区间内随机取值累加求和，注意保存和的累加求和，注意保存和的变量要进行初始化变量要进行初始化分点加密，再计算分点加密，再计算

4、分划细分分划细分k次次实验1 利用定义计算积分l由于分割的任意性及由于分割的任意性及 的任意性，即使的任意性，即使n固定，每固定，每次运行所得的结果也可能不同次运行所得的结果也可能不同l相同的相同的n计算多次时数据都不完全相同，但它们之计算多次时数据都不完全相同，但它们之间的差异不大。间的差异不大。l练习练习1 利用定义计算利用定义计算i02Sinxx从图形观察积分和与定积分的关系l定积分定积分 在几何上表示由曲线在几何上表示由曲线y=f(x)，直线，直线x=a,x=b及及x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积l积分和积分和 在几何上表示在几何上表示n个小矩形的面积个小矩形的面积和

5、，其中第和，其中第i个小矩形的高为个小矩形的高为 ，宽为，宽为l实验实验2 从图形上观察从图形上观察 的的积分和积分和与定积分与定积分的关系的关系badxxf)(niiixf1)()(ifix20sinxdx从图形观察积分和与定积分的关系l解解 设曲边梯形由设曲边梯形由y=sinx，y=0，x=Pi/2为界。为界。l采用分划的方法，用小区间上矩形的面积来逼近曲采用分划的方法，用小区间上矩形的面积来逼近曲边梯形的面积。边梯形的面积。l当分划越来越细时，得到的小矩形面积之和与曲边当分划越来越细时，得到的小矩形面积之和与曲边梯形的面积梯形的面积S之间的差越来越小。当每个小区间缩之间的差越来越小。当每

6、个小区间缩向一点时，误差的极限为向一点时，误差的极限为0Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+(b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=xIdentity; two=Blocki,x,PlotReleaseTablesf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1

7、,MaxNP+0.1,PlotRange-All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity; Blockx,Showtwo,one,PlotLabel-ToStringLengthP-1分划分划 最大分划最大分划 ToStringNNormPIfChopearf,P,choice=0,无误差无误差,误差误差ToStringearf,P,choice,PlotRange-All,DisplayFunction-$DisplayFunction);DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewappr

8、oxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTan,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;Cleari,n,a,b;Clearf,c,d,x,s;regularpartitiona_,b_,n_:=P=Blocki,TableNa+ (b-a)*i/n,i,0,n;randompartitiona_,b_,n_:=P=UnionTableRandomReal,Na,Nb,n-1,Na,Nb;sf_,c_,d_,x_,choice_:=Ifc=x Identity; two=Blocki,x,PlotReleaseTable

9、sf,UnionNPi,UnionNPi+1,x,choice,i,LengthP-1,x,MinNP-0.1,MaxNP+0.1,PlotRange- All,PlotPoints-50,DisplayFunction-Identity;均匀分划下黎曼和与定积分值之误差均匀分划下黎曼和与定积分值之误差非均匀分划下黎曼和与定积分值之误差非均匀分划下黎曼和与定积分值之误差图形显示图形显示DoviewapproxSin,regularpartition0,Pi,2n,0.5,n,2,6;viewapproxSin,randompartition0,Pi,16,1;DoviewapproxArcTa

10、n,randompartition0,Pi,2n,1,n,2,6;l在区间在区间0,Pi上图示均匀分划下上图示均匀分划下Sinx的黎曼和，从的黎曼和，从4个区间细分到个区间细分到64个区间个区间l在区间在区间0,Pi上图示非均匀分划下上图示非均匀分划下Sinx的黎曼和，的黎曼和，16个子区间个子区间l在区间在区间0,Pi上图示非均匀分划下上图示非均匀分划下ArcTanx的黎曼和，的黎曼和，从从4个区间细分到个区间细分到64个区间个区间3.1.2 从图形观察积分和与定积分的关系0.511.522.530.20.40.60.814閪划跅釥閪划4.3018误趷0.0523443N=40.511.52

11、2.530.20.40.60.818閪划跅釥閪划5.60886误趷0.01290910.511.522.530.20.40.60.8116閪划跅釥閪划7.59444误趷0.00321638N=16N=80.511.522.530.20.40.60.8132閪划跅釥閪划10.5006误趷0.0008034160.511.522.530.20.40.60.8164閪划跅釥閪划14.6803误趷0.000200812N=64N=323.1.2 从图形观察积分和与定积分的关系l练习练习2 从图形上观察从图形上观察0412x2x3.1.3 用定义计算定积分的简化l设函数设函数f(x)在每个小区间在每个小

12、区间xi-1,xi上有最值，分别记上有最值，分别记为为Mi(最大值最大值)和和mi(最小值最小值)，则有，则有l定义上积分定义上积分 下积分下积分l若用积分和近似积分值，其产生的误差不超过上、若用积分和近似积分值，其产生的误差不超过上、下积分和之差。下积分和之差。l当当 时，时， 和和 的极限存在且相等，则的极限存在且相等，则S的极的极限即定积分也存在，且等于上积分或下积分的极限限即定积分也存在，且等于上积分或下积分的极限iiiiiixMxfxm)(niiixMS1_niiixMS10SS3.1.3 用定义计算定积分的简化l实验实验3 利用上积分和、下积分和计算利用上积分和、下积分和计算l函数

13、函数f(x)=3x2 在区间在区间0,1上是单调增加的，故在上是单调增加的，故在每个小区间每个小区间xi-1,xi上，最大值上，最大值Mi=f(xi) ，最小值，最小值mi=f(xi-1)，于是，于是l实验结果表明，只要分割点充分多，上和与下和实验结果表明，只要分割点充分多，上和与下和 的差可任意小的差可任意小1023dxx2/ )(SSniiiniiixxfxxfSS111)( )(Clearf,x,a,b;fx_:=3 x2;a=0;b=1;n=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0;Forj=3,j=100,j*=2;n=j;tt1=;tt2=

14、;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; tt1=Appendtt1,GraphicsRGBColor0,0,1,Rectanglex1,0,x2,fx2; tt2=Appendtt2,GraphicsRGBColor0,1,0,Rectanglex1,fx1,x2,0; a0=upper-slower=ToStringNsupper-slower; a1=approximation isToString(supper+slowe

15、r)/2.; aa=a0a1; g2=GraphicsTextaa,0.5,3.1; Showg1,g2,tt1,tt2,DisplayFunction-$DisplayFunction;Clearf,x,a,b;fx_:=3*x2;a=0;b=1;n=500;Forj=10,j1000,j*=2;n=j;supper=0;slower=0; Fori=0,in,i+,x1=a+(b-a)*i/n;x2=x1+(b-a)/n; supper=supper+fx2/n;slower=slower+fx1/n; Printwhen the number of sub-interval is=,n,

16、approximation is,(supper+slower)/2.,supper-slower=,Nsupper-slower;3.1.3 用定义计算定积分的简化l当定积分存在时，所有任取的积分和当当定积分存在时，所有任取的积分和当0 时的时的极限都相同，此时可以选择较简单的划分与简单的极限都相同，此时可以选择较简单的划分与简单的 l一般地，将区间等分，且让小区间的某端点作为一般地，将区间等分，且让小区间的某端点作为 这样积分和便成为这样积分和便成为l或或iininabinabaf1) 1(ninabinabaf13.1.3 用定义计算定积分的简化l实验实验4 用上两式计算定积分用上两式计

17、算定积分l因为被积函数因为被积函数f(x)=x在在0,M上单调增加，故上两式上单调增加，故上两式确定的分别是积分的下积分和与上积分和。确定的分别是积分的下积分和与上积分和。Mxdx0 3.1.3 用定义计算定积分的简化Clearf, x; n = 1; k = 50000; a = 0.;fx_ = xn;ForM = 1, M RGBColor1,0,0g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1Showg1,g2dttexfxt012)(2)(2xxexfIntegratelIntegratef,x：计算不定积分：计算不定积分lIntegratef,x,

18、min,max：计算定积分：计算定积分lNIntegratef,x,a,b：求数值积分：求数值积分 3.2 定积分近似计算的梯形法l在数值计算中，用前面的两个公式近似定积分的方在数值计算中，用前面的两个公式近似定积分的方法称为矩形法，这是因为这两个式子在几何上表示法称为矩形法，这是因为这两个式子在几何上表示一些矩形面积的和（或者说在小区间上用常数近似一些矩形面积的和（或者说在小区间上用常数近似函数）。函数）。l可不可以将小区间上的函数近似认为是线性函数呢可不可以将小区间上的函数近似认为是线性函数呢l最简单的方法是用连接函数在小区间两个端点处的最简单的方法是用连接函数在小区间两个端点处的值的线段

19、构成的值的线段构成的梯形梯形的面积来的面积来近似曲边梯形的面积近似曲边梯形的面积3.2 定积分近似计算的梯形法l在近似计算中常用下式来计算定积分在近似计算中常用下式来计算定积分l它是它是 与与 的和的和nabnabiafbfafni1)(2)()(ninabinabaf1) 1(ninabinabaf13.2 定积分近似计算的梯形法l实验实验6 用梯形法近似计算定积分用梯形法近似计算定积分10dxex10110111121)21 (21neneeendxeninininininix3.2 定积分近似计算的梯形法fx_ := Expx; a = 0; b = 1; s0 = 1.; s1 = 0

20、; n = 20; m = 6;WhileAbss0 - s1 10(-m), s1 = s0; s0 = NSumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 0, n - 1 + Sumfa + i*(b - a)/n*(b - a)/n, i, 1, n/2.; n = n*2;Prints0=,s0l思考一下这里的思考一下这里的While循环的循环条件的含义。循环的循环条件的含义。3.2 定积分近似计算的梯形法l练习练习6 提高计算精度提高计算精度(加密分点加密分点)，根据结果归纳分，根据结果归纳分析析 与与e之间的关系之间的关系l练习练习7 用梯形法近似计算定积分用梯

21、形法近似计算定积分 ，分，分析结果与析结果与Pi的关系。的关系。10dxex10214dxx3.3 定积分的应用l实验实验7 平面曲线所围成图形的面积平面曲线所围成图形的面积l设设 和和l计算区间计算区间0,4上两曲线所围成的平面图形的面积上两曲线所围成的平面图形的面积xxexfcos)2(2)()2cos(4)(xxg实验8 平面曲线所围成图形的面积Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindRootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742图形显示图形显示根据图形使用根据图形使用FindRoot函函数数(第六章介绍第六章介绍)计算两曲线计算两曲线的交点的交点使用使用NIntegrate函数函数(第九第九章介绍章介绍)计算两条曲线间计算两条曲线间所围面积的数值积分所围面积的数值积分3.3 定积分的应用l练习练习8 设设 和和 l计算两曲线所围成的平面图形的面积计算两曲线所围成的平面图形的面积1121811310/3)(2345xxxxxxf3256284)(23xxxxg3