塑性力学 ch4

1、塑性力学China UNIVERSITY of Mining & Technology第四章第四章 屈服条件屈服条件4.1 初始屈服条件4.2 两种常用的屈服条件4.3 屈服条件的实验验证4.4 后继屈服条件 塑性力学塑性力学屈服条件屈服条件4.1 初始屈服条件初始屈服条件简单应力状态下的屈服极限：简单应力状态下的屈服极限：s复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初复杂应力状态下，设作用于物体上的外载荷逐步增加，在其变形的初始阶段，每个微元处于弹性阶段。始阶段，每个微元处于弹性阶段。受六个应力分量、应变分量、应变速率、时间、温度等因素的综合影响。材料初始弹性状态的界

2、限称为材料初始弹性状态的界限称为初始屈服条件初始屈服条件，简称为，简称为屈服条件。屈服条件。一般地：) 14(0,Ttijijij当不考虑时间效应且接近常温时，)24(0ijF一、屈服条件一、屈服条件在初始屈服前材料处于弹性状态，应力和应变间有一一对应的关系，（4-1）式简化为屈服条件屈服条件几何意义几何意义屈服条件屈服条件0ijF在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。在以应力分量为坐标的应力空间中为一曲面。称为称为屈服曲面屈服曲面。 屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。屈服曲面是区分弹性和塑性的分界面。当应力点当应力点 位于曲面之内，即位于曲面之内，即 时，材料处于弹性阶段。时，材料处于弹性

3、阶段。ij0ijF当应力点当应力点 位于曲面之上，即位于曲面之上，即 时，材料开始屈服，进入塑性状态。时，材料开始屈服，进入塑性状态。ij0ijF两点假设两点假设1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。可表示为三个主应力的函数：可表示为三个主应力的函数：或应力不变量来表示：或应力不变量来表示：) 34(, 0),(321F)44(0),(321JJJF2、静水应力不影响材料的塑性性质。静水应力不影响材料的塑性性质。)54(, 0),(321sssf也可由应力偏张量的不变量表示：也可由应力偏张量的不变量表示：)64(0),(32 J

4、Jf这时，屈服条件只与应力偏量有关：这时，屈服条件只与应力偏量有关：屈服条件屈服条件二、屈服曲线二、屈服曲线主应力空间中任一点主应力空间中任一点P代表一个应力状态，代表一个应力状态，123O平面平面LLPP POP向量向量 可参照可参照L直线和直线和平面分解：平面分解：POPOOP 其中其中 对应于应力状态的球张量对应于应力状态的球张量部分，即静水压力部分。部分，即静水压力部分。 PO 由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与由于静水应力不影响屈服，即屈服与否与 无关。无关。PO 因此当因此当P点达到屈服时，点达到屈服时， 线上的任一点也都达到屈服。线上的任一点也都达到屈服。L屈服曲面是一个柱面，

5、其母线平行于屈服曲面是一个柱面，其母线平行于L直线。直线。换言之，这柱面垂直于换言之，这柱面垂直于 平面。平面。屈服条件屈服条件屈服曲面与屈服曲面与平面相交所得的一条平面相交所得的一条封闭曲线封闭曲线，或称屈服轨迹。，或称屈服轨迹。屈服曲线屈服曲线0),(32 JJf屈服曲线的方程：屈服曲线的方程：1）自原点出发的任一射线必与）自原点出发的任一射线必与C相交，相交，但不能同但不能同C相交两次。相交两次。321,2）由于材料是初始各向同性的，屈服条件）由于材料是初始各向同性的，屈服条件不因坐标变换而变化，因此屈服曲线关于不因坐标变换而变化，因此屈服曲线关于 三轴对称。三轴对称。321,3）对于大

6、多数金属材料，初始拉伸和压缩）对于大多数金属材料，初始拉伸和压缩的屈服极限相等，因此，的屈服极限相等，因此，C关于关于 三轴的垂线也对称。三轴的垂线也对称。4）根据）根据5.2中的中的Drucker公设，屈服曲线公设，屈服曲线C必定是外凸的。必定是外凸的。321,321,若以若以 记记 在在平面上的投影，则屈服曲线平面上的投影，则屈服曲线C的主要性质如下：的主要性质如下：屈服条件屈服条件三、三、平面上的几何关系平面上的几何关系1、123O等斜面等斜面1A2A3A122/3分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为分别在主应力空间的三根坐标轴上截取长度为1的线段。的线段。由于等斜面由于等斜面 与与

7、平面平行，所以：平面平行，所以：321AAA角角 为为平面与主应力空间的夹角，平面与主应力空间的夹角，轴轴与jj也即也即 的夹角。的夹角。32cos2、在、在平面上取平面上取x、y轴，如图：轴，如图：312Oxy平面平面0120S, 3 , 2 , 1cosjjj其中：其中：1轴在轴在x、y轴的投影轴的投影cos21,cos23112轴在轴在x、y轴的投影轴的投影cos, 023轴在轴在x、y轴的投影轴的投影cos21,cos2333)2(61),(2131231ssyx则屈服曲线上任一点则屈服曲线上任一点S的坐标：的坐标：屈服条件屈服条件当采用当采用极坐标极坐标表示时：表示时：31tan)2

8、31(tan)(tan3222)2(61)(21131312112231223122ssssxyJyxr312Oxy平面平面0120S其中其中 就是就是3.1中引进的中引进的Lode应力参数。应力参数。三种特殊情况：三种特殊情况：1）单向拉伸单向拉伸;30, 102）纯剪切纯剪切;0, 003）单向压缩单向压缩030, 1若在以L直线为z轴的柱坐标系中写出主应力空间中任一点的坐标。则其三个坐标分量都具有明确的物理意义： 正比于等效应力， 标志中间主应力的影响， 代表静水应力的大小。rz屈服条件屈服条件4.2 两种常用的屈服条件两种常用的屈服条件一、一、Tresca屈服条件屈服条件Tresca屈

9、服条件认为:当最大剪应力达到某一极限值 时，材料就开始屈服。1k当主应力顺序为 时，此屈服条件可表示为：321k)(2131maxTresca与金属试件简单拉伸时试件表面能观察到的滑移线与轴线大致成45度，以及静水压力不影响屈服的事实相符。在材料力学中，它也就是第三强度理论。比较比较平面上任一点的坐标公式平面上任一点的坐标公式constkxs2可见：在可见：在 的范围内，屈服曲线为与的范围内，屈服曲线为与y轴平行的直线段。轴平行的直线段。003030)(2131sx得：得：（4-11）屈服条件屈服条件4.2 两种常用的屈服条件两种常用的屈服条件一、一、Tresca屈服条件屈服条件3123211

10、23132312231213由对称性拓展后，得到由对称性拓展后，得到平面上的一个平面上的一个正六边形正六边形。如不规定如不规定321（4-11）应写成：）应写成：,2,2,2133221kkk（4-12）对于对于平面应力状态，平面应力状态，当当 时，上式变为时，上式变为03.2,2,21221kkk在主应力空间中，他们构成一母线平行于在主应力空间中，他们构成一母线平行于L直线的正六边形柱面。直线的正六边形柱面。12ssss（4-13）在在 平面上，平面上，（4-13）式给出的屈服轨式给出的屈服轨迹呈斜六边形，如图。这相当于正六边形柱迹呈斜六边形，如图。这相当于正六边形柱面被面被 的平面斜截所得

11、的曲线。的平面斜截所得的曲线。),(21)0(3屈服条件屈服条件常数常数k 一般由实验确定：一般由实验确定：2/skskss2在单向拉伸时，在单向拉伸时，在纯剪切时，在纯剪切时，比较这二者可知，采用比较这二者可知，采用Treca条件就意味着条件就意味着1 1、在主应力方向和大小顺序都已知时，、在主应力方向和大小顺序都已知时，TrescaTresca条件很便于应用，其表达式简单，条件很便于应用，其表达式简单，而且还是线性的。而且还是线性的。04)(4)(4)(221322322221kkk然后可用应力偏张量的不变量的形式写成然后可用应力偏张量的不变量的形式写成06496)(36)(27)(462

12、42222332kJkJkJJTrecaTreca屈服条件的适用范围屈服条件的适用范围2 2、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为：、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为：3 3、主应力方向未知，很难用表达式描述。、主应力方向未知，很难用表达式描述。Treca屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情况。屈服条件屈服条件二、二、Mises屈服条件屈服条件TrescaTresca条件的局限：条件的局限：主应力未知时表达式过于复杂；主应力未知时表达式过于复杂； 未考虑中间主应力的影响。未考虑中间主应力的影响。CJ 2MisesMises屈服条件假

13、定屈服曲线的一般表达式屈服条件假定屈服曲线的一般表达式 具有如下的最简单形式：具有如下的最简单形式：0),(32 JJf由上节可知，屈服曲线上的点在由上节可知，屈服曲线上的点在平面上投影的向径平面上投影的向径22JrconstC 2因此，在因此，在 平面平面Mises屈服条件可用一个屈服条件可用一个圆圆来表示。来表示。在主应力空间中是一个在主应力空间中是一个母线平行于母线平行于L直线的圆柱面直线的圆柱面。常数常数C 一般由实验确定：一般由实验确定：CJS2231CJS22ss3在单向拉伸时，在单向拉伸时，在纯剪切时，在纯剪切时，比较这二者可知，采用比较这二者可知，采用Mises条件就意味着条件

14、就意味着（4-16）屈服条件屈服条件二、二、Mises屈服条件屈服条件TrescaTresca条件的局限：条件的局限：主应力未知时表达式过于复杂；主应力未知时表达式过于复杂； 未考虑中间主应力的影响。未考虑中间主应力的影响。CJ 2MisesMises屈服条件假定屈服曲线的一般表达式屈服条件假定屈服曲线的一般表达式 具有如下的最简单形式：具有如下的最简单形式：0),(32 JJf常数常数C 一般由实验确定：一般由实验确定：CJS2231CJS22ss3在单向拉伸时，在单向拉伸时，在纯剪切时，在纯剪切时，比较这二者可知，采用比较这二者可知，采用Mises条件就意味着条件就意味着确定常数C以后，M

15、ises屈服条件可写成以下常用的形式：)184(22213232221S)194(62213232221S（4-16）或屈服条件屈服条件平面上平面上Mises圆同圆同Tresca六边形的几何关系六边形的几何关系3121 1、如果假定在、如果假定在简单拉伸简单拉伸时两种屈服条件相时两种屈服条件相重合，则重合，则Tresca六边形将六边形将内接于内接于Mises圆。圆。单向拉伸单向拉伸纯剪切纯剪切Mises圆圆内接内接Tresca六边形六边形外接外接Tresca六边形六边形3,2312sSJ或2/maxSMises:Tresca:2 2、如果假定在、如果假定在纯剪切纯剪切时两种屈服条件相重时两种屈

16、服条件相重合，则合，则Tresca六边形将六边形将外切于外切于Mises圆。圆。Mises:Tresca:SSJ或,22Smax单向拉伸时，单向拉伸时，相对偏差最大，为相对偏差最大，为15.5%。纯剪切时，纯剪切时，Tresca六边形同六边形同Mises圆之间的圆之间的相对偏差相对偏差最大，为最大，为%5 .15132屈服条件屈服条件对于对于平面应力状态，平面应力状态，当当 时，有：时，有：03二、二、Mises屈服条件屈服条件)224(2222121s12ssssMisesTresca由于上式中右端常数由单向拉伸实验确定，由于上式中右端常数由单向拉伸实验确定，所以右图中所以右图中Mises椭

17、圆外接于椭圆外接于Tresca斜六边形。斜六边形。在在 平面上，这是一个椭圆。平面上，这是一个椭圆。为主应力空间中的为主应力空间中的Mises圆柱面被圆柱面被平面平面 斜截所得。斜截所得。21,)0(3屈服条件屈服条件Mises屈服条件的物理解释：屈服条件的物理解释：1、Hencky(1924)认为认为，Mises条件用物体形状改变的弹性能来衡量屈服。条件用物体形状改变的弹性能来衡量屈服。133221232221221EWe若单位体积内的体积改变能和形状改变能分别记为若单位体积内的体积改变能和形状改变能分别记为,eeVWW和GJJEEWWWEKWeVeemmmeV2/1616212/21322

18、21323222123212即，即，Mises条件认为单位体积的形状改变能达到条件认为单位体积的形状改变能达到 时材料发生屈服。时材料发生屈服。Gs6/2事实上，弹性体的变形能可分为体积改变所积蓄的能量和形状改变事实上，弹性体的变形能可分为体积改变所积蓄的能量和形状改变所积蓄的能量两部分之和。所积蓄的能量两部分之和。 设单位体积的变形能为设单位体积的变形能为eW若按简单拉伸试验确定若按简单拉伸试验确定Mises屈服条件中的常数屈服条件中的常数C，则，则3/22SCJGWse6/2屈服条件屈服条件2、Nadai(1933)认为，当八面体的剪切应力认为，当八面体的剪切应力即即22132322218

19、32)()()(31J当达到一定数值时，材料就屈服。当达到一定数值时，材料就屈服。3、Ros和和Eichinger(1930)提出，在空间应力状态下，通过物体内一点作任意提出，在空间应力状态下，通过物体内一点作任意平面，这些任意取向的平面上的剪应力的均方值为：平面，这些任意取向的平面上的剪应力的均方值为：,5215122132322212Jr因此，因此，Mises条件意味着条件意味着 时材料屈服。时材料屈服。Sr5224、西安交通大学材料力学教研室的研究者们指出，三个极值剪应力的均方根值为、西安交通大学材料力学教研室的研究者们指出，三个极值剪应力的均方根值为2222231213232221J把

20、把Mises屈服条件看作是用三个极值剪应力的均方根值来衡量屈服与否的准则。屈服条件看作是用三个极值剪应力的均方根值来衡量屈服与否的准则。屈服条件屈服条件4.3 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证试验一、薄圆管受拉力P和内压p的作用。, 0,2,rzRhPhRp如果如果rz0,321rz则可取则可取由此求得由此求得LodeLode应力参数为应力参数为 12231312pRP（4-27）时当0P)30(10单向拉伸单向拉伸时当pRP2)0(0纯剪切纯剪切, 0, 22,rzhpRhpR此时：此时：减去静水应力减去静水应力 后：后：hpR2,2, 0,2hpRhpRrz屈服条件屈服条件在在 的范围

21、内改变拉力的范围内改变拉力P P和内压和内压p p的比值时，就可以得的比值时，就可以得到到 范围内的任意应力状态。范围内的任意应力状态。pRP20)030(010即Lode（1925）试验：试验：对于对于Mises屈服条件，屈服条件，313122),(21),(2131323121代入代入Mises屈服条件屈服条件22132322212S23132S画在画在 图上为一曲线图上为一曲线； 31S得到：得到：（4-28）S31Mises屈服条件屈服条件在在 的范围内改变拉力的范围内改变拉力P P和内压和内压p p的比值时，就可以得的比值时，就可以得到到 范围内的任意应力状态。范围内的任意应力状态。

22、pRP20)030(010即Lode（1925）试验：试验：对于对于Tresca屈服条件，屈服条件，画在画在 图上为一直线图上为一直线； 31S131SLode用铜、铁、镍等金属薄管用出用铜、铁、镍等金属薄管用出的实验结果，同的实验结果，同（4-28）式给出的式给出的曲线比较接近。曲线比较接近。可见，可见，Mises屈服条件更适合屈服条件更适合于金属材料。于金属材料。S31MisesTresca屈服条件屈服条件4.3 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证试验二、薄圆管受拉力P和扭矩T的作用。hRTRhPzz22,2相应的主应力相应的主应力, 04212, 0, 042122232221r因而因

23、而Lode应力参数是应力参数是2223131242RTPP,0, 0时当PT)30(10单向拉伸单向拉伸)0(0纯剪切纯剪切,0, 0时当TP屈服条件屈服条件只要只要P0，改变改变P与与T/R之比便可得到之比便可得到 的任的任意应力状态。意应力状态。)030(0100TaylorQuinney(1931)试验：对于对于Mises屈服条件屈服条件222231)62(61SJ1322ss改写成：改写成：（4-30）对于对于Tresca屈服条件屈服条件242122231maxS改写成：改写成：1422ss（4-31）（4-30）和和（4-31）在图上都是椭圆，但长短轴的比值不同。在图上都是椭圆，但长

24、短轴的比值不同。Taylor和和Quinney用铜、铝、钢薄管进行了试验，结果也同用铜、铝、钢薄管进行了试验，结果也同Mises屈服条件比较接近。屈服条件比较接近。屈服条件屈服条件1、实验表明，多数金属材料的屈服性态接近Mises屈服条件。TrescaTresca屈服条件与屈服条件与MisesMises屈服条件的适用范围：屈服条件的适用范围：2、在应用上， 主应力方向已知时用Tresca条件较方便。 主应力方向未知时用Mises 条件较方便。而无论何种情形，二者的相对偏差不会超过15.5%。3、在实际问题中，并不限制使用何种屈服条件，二者都可用。屈服条件屈服条件4.4 后继屈服条件理想塑性材料

25、理想塑性材料: :（初始）屈服曲面是（初始）屈服曲面是固定不变的固定不变的，是，是材料未经受任何塑性变形材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。时的弹性响应的界限。应力状态不能落在屈服曲面之外。应力状态不能落在屈服曲面之外。强化材料：强化材料：材料发生塑性变形后，其后继弹性范围的边界材料发生塑性变形后，其后继弹性范围的边界随加载历史发生变化随加载历史发生变化。后继弹性范围的边界，称为后继弹性范围的边界，称为后继屈服条件后继屈服条件，也叫，也叫加载条件加载条件。在应力空间中对应的几何物，称为在应力空间中对应的几何物，称为后继屈服曲面后继屈服曲面，或，或加载曲面加载曲面。后继屈服条件与材料塑性变

26、形的历史有关。后继屈服条件与材料塑性变形的历史有关。以参数以参数 来刻划材料的塑性加载历史，则后继屈服条件可表示为：来刻划材料的塑性加载历史，则后继屈服条件可表示为：), 2 , 1(nh0),(aijh（4-32）屈服条件屈服条件实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。实际材料的加载曲面的演化规律非常复杂，在应用中使用简化模型。1、等向强化（各向同性强化）模型等向强化（各向同性强化）模型认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。认为后继屈服曲面（加载曲面）就是屈服曲面在应力空间的相似扩大。等向强化模型的表达式可写成：等向强化模型的表达式可写成：0)(K

27、fij（4-33）其中其中f是初始屈服函数，是初始屈服函数，hKK 是是 的单调递增函数。在加载过程中的单调递增函数。在加载过程中K 逐渐加大。逐渐加大。h从几何上看，后继屈服曲面（加载面）与初从几何上看，后继屈服曲面（加载面）与初始屈服曲面形状相似，中心位置也不变。始屈服曲面形状相似，中心位置也不变。屈服面屈服面加载面加载面A加载面加载面B123后继屈服曲面对加载历史的依赖性只表现在：后继屈服曲面对加载历史的依赖性只表现在：后继屈服曲面后继屈服曲面仅由加载路径中所曾达到的最大仅由加载路径中所曾达到的最大应力点所决定应力点所决定。如右图所示。如右图所示Mises初始屈服面及初始屈服面及其后继屈服面。其后继屈服面。屈服条件屈服条件在复杂应力状态下通常参数在复杂应力状态下通常参数K 有以下两种取法：有以下两种取法：（1） K 取为等效塑性应变增量取为等效