2017年天津市高考数学试卷(理科)

1、2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（AB）C=（）A2B1，2，4C1，2，4，5DxR|1x52（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）AB1CD33（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A0B1C2D34（5分）设R，则“|”是“sin”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为若经过F和P（0，4）

2、两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=16（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）若a=g（log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCbacDbca7（5分）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（）A=，=B=，=C=，=D=，=8（5分）已知函数f（x）=，设aR，若关于x的不等式f（x）|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A，2B，C2，2D2，二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

3、9（5分）已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 10（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 11（5分）在极坐标系中，直线4cos（）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为 12（5分）若a，bR，ab0，则的最小值为 13（5分）在ABC中，A=60°，AB=3，AC=2若=2，=（R），且=4，则的值为 14（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（1

4、3分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB=（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值16（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率17（13分）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90°点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CE

5、MN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长18（13分）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN+），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4（）求an和bn的通项公式；（）求数列a2nb2n1的前n项和（nN+）19（14分）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积

6、为，求直线AP的方程20（14分）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0，2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且1，x0）（x0，2，满足|x0|2017年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2017天津）设集合A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（AB）C=（）A2B

7、1，2，4C1，2，4，5DxR|1x5【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【分析】由并集概念求得AB，再由交集概念得答案【解答】解：A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又C=xR|1x5，（AB）C=1，2，4故选：B2（5分）（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）AB1CD3【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：

8、3故选：D3（5分）（2017天津）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A0B1C2D3【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=81=7，N=73不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=71=6，N=23成立，输出N=2，故选：C4（5分）（2017天津）设R，则“|”是“sin”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有【分析】运用绝对值不等

9、式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【解答】解：|0，sin+2k+2k，kZ，则（0，）+2k，+2k，kZ，可得“|”是“sin”的充分不必要条件故选：A5（5分）（2017天津）已知双曲线=1（a0，b0）的左焦点为F，离心率为若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】KC：双曲线的简单性质菁优网版权所有【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程【解答】解：设双

10、曲线的左焦点F（c，0），离心率e=，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=，则=1，c=4，则a=b=2，双曲线的标准方程：；故选B6（5分）（2017天津）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）若a=g（log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCbacDbca【考点】4M：对数值大小的比较菁优网版权所有【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+）单调递增，则a=g（log25.1）

11、=g（log25.1），则2log25.13，120.82，即可求得bac【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x0，f（x）f（0）=0，且f（x）0，g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x）0，g（x）在（0，+）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，a=g（log25.1）=g（log25.1），则2log25.13，120.82，由g（x）在（0，+）单调递增，则g（20.8）g（log25.1）g（3），bac，故选C7（5分）（2017天津）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（）A=，

12、=B=，=C=，=D=，=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有【分析】由题意求得，再由周期公式求得，最后由若f（）=2求得值【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得，又f（）=2，f（）=0，得，T=3，则，即f（x）=2sin（x+）=2sin（x+），由f（）=，得sin（+）=1+=，kZ取k=0，得=，=故选：A8（5分）（2017天津）已知函数f（x）=，设aR，若关于x的不等式f（x）|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A，2B，C2，2D2，【考点】5B：分段函数的应用；3R：函数恒成立问题菁优网版权所有【分析】讨论当x1时，运用绝对值不等式的解法和分离

13、参数，可得x2+x3ax2x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x1时，同样可得（x+）a+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围【解答】解：当x1时，关于x的不等式f（x）|+a|在R上恒成立，即为x2+x3+ax2x+3，即有x2+x3ax2x+3，由y=x2+x3的对称轴为x=1，可得x=处取得最大值；由y=x2x+3的对称轴为x=1，可得x=处取得最小值，则a当x1时，关于x的不等式f（x）|+a|在R上恒成立，即为（x+）+ax+，即有（x+）a+，由y=（x+）2=2（当且仅当x=1）取得最大值2；由y=x+2=2（当且仅当x=21）取得最小值

14、2则2a2由可得，a2故选：A二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2017天津）已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值【解答】解：aR，i为虚数单位，=i由为实数，可得=0，解得a=2故答案为：210（5分）（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球

15、的体积公式进行计算即可【解答】解：设正方体的棱长为a，这个正方体的表面积为18，6a2=18，则a2=3，即a=，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=（）3=；故答案为：11（5分）（2017天津）在极坐标系中，直线4cos（）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系【解答】解：直线4cos（）+1=0展开为：4+1=0，化为：2x+2y+1=0圆=2sin即2=2sin，化为直角坐标方程：x2+y

16、2=2y，配方为：x2+（y1）2=1圆心C（0，1）到直线的距离d=1=R直线4cos（）+1=0与圆=2sin的公共点的个数为2故答案为：212（5分）（2017天津）若a，bR，ab0，则的最小值为4【考点】7F：基本不等式菁优网版权所有【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么【解答】解：a，bR，ab0，=4ab+2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=，b=时取“=”；上式的最小值为4故答案为：413（5分）（2017天津）在ABC中，A=60°，AB=3，AC=2若=2，=（R），且=4，则的值为【考点】9R：平面向量数量积的运算菁优

17、网版权所有【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出的值【解答】解：如图所示，ABC中，A=60°，AB=3，AC=2，=2，=+=+=+（）=+，又=（R），=（+）（）=（）+=（）×3×2×cos60°×32+×22=4，=1，解得=故答案为：14（5分）（2017天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用菁优网版权所有【分析】根据题意，要求四位数中

18、至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960

19、=1080个；故答案为：1080三.解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13分）（2017天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB=（）求b和sinA的值；（）求sin（2A+）的值【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】（）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案【解答】解：（）在ABC中，ab，故由sinB=，可得c

20、osB=由已知及余弦定理，有=13，b=由正弦定理，得sinA=b=，sinA=；（）由（）及ac，得cosA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=12sin2A=故sin（2A+）=16（13分）（2017天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【分析】（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

21、求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值【解答】解：（）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1）×（1）（1）=，P（X=1）=×（1）×（1）+（1）××（1）+（1）×（1）×=，P（X=2）=（1）××+×（1）×+××（1）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×

22、+2×+3×=；（）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）P（Z=1）+P（Y=1）P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为17（13分）（2017天津）如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90°点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为

23、，求线段AH的长【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行的判定菁优网版权所有【分析】（）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90°可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值；（）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长【解答】（）证明：

24、取AB中点F，连接MF、NF，M为AD中点，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别为AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90°以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得由图可得平面CM

25、E的一个法向量为cos=二面角CEMN的余弦值为，则正弦值为；（）解：设AH=t，则H（0，0，t），直线NH与直线BE所成角的余弦值为，|cos|=|=|=解得：t=4当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为418（13分）（2017天津）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nN+），bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a42a1，S11=11b4（）求an和bn的通项公式；（）求数列a2nb2n1的前n项和（nN+）【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【分析】（）设出公差与公比，利用

26、已知条件求出公差与公比，然后求解an和bn的通项公式；（）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q26=0又因为q0，解得q=2所以，bn=2n由b3=a42a1，可得3da1=8由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n2所以，数列an的通项公式为an=3n2，数列bn的通项公式为bn=2n（II）设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n=6n2，b2n1=4n，有a2nb2n1=（3n1）4n

27、，故Tn=2×4+5×42+8×43+（3n1）4n，4Tn=2×42+5×43+8×44+（3n1）4n+1，上述两式相减，得3Tn=2×4+3×42+3×43+3×4n（3n1）4n+1=（3n2）4n+18得Tn=所以，数列a2nb2n1的前n项和为19（14分）（2017天津）设椭圆+=1（ab0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线y2=2px（p0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交

28、于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D若APD的面积为，求直线AP的方程【考点】KI：圆锥曲线的综合；K3：椭圆的标准方程；K7：抛物线的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系菁优网版权所有【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案【解答】（）解：设F的坐标为（c，0）依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2c2=所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x（）解：直线l的方程为x=1，设

29、直线AP的方程为x=my+1（m0），联立方程组，解得点P（1，），故Q（1，）联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=B（，）直线BQ的方程为（）（x+1）（）（y）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）|AD|=1=又APD的面积为，×=，整理得3m22|m|+2=0，解得|m|=，m=±直线AP的方程为3x+y3=0，或3xy3=020（14分）（2017天津）设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x

30、0，2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且1，x0）（x0，2，满足|x0|【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【分析】（）求出函数的导函数g（x）=f（x）=8x3+9x26x6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可（）由h（x）=g（x）（mx0）f（m），推出h（m）=g（m）（mx0）f（m），令函数H1（x）=g（x）（xx0）f（x），求出导函数H1（x）利用（）知，推出h（m）h（x0）0（）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m）由（）知，当m1，x0）时，当m（x0，2时，通过h（x）的零点转化推出|x0|=推出|2p4+3p3q3p2q26pq3+aq4|1然后推出结果