复习3 数字滤波器的结构及设计

1、210)(lgjH210)(lg)(jH210)(lg)(ppjH210)(lg)(ssjHNCjH)()(22211)()(22211nCjH2222211)/()()(snsnCCjH)()(22211nUjH总结以上，低通巴特沃斯模拟滤波器的设计步骤如下：总结以上，低通巴特沃斯模拟滤波器的设计步骤如下：(1) 根据技术指标根据技术指标wp, p,ws, s，求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。(2) 求出归一化极点求出归一化极点pk，得到归一化传输函数得到归一化传输函数H(p)。 121()22,0,1,1kjNkpekNNNNppbpbbpH11101)(spspkN lglg (3)

2、 将将H(p)去归一化。将去归一化。将p=s/wc代入代入H(p)，得到实际的滤波器得到实际的滤波器 传输函数传输函数H(s)。( )( )cspH sH p 模拟高通滤波器的模拟高通滤波器的设计设计步骤如下：步骤如下：A、确定确定高通滤波器的技术指标高通滤波器的技术指标：通带下限频率：通带下限频率wp， 阻带上限频率阻带上限频率ws，通带最大衰减通带最大衰减 p，阻带最小衰阻带最小衰 减减 s。B、确定相应低通滤波器的设计指标，确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器将高通滤波器 的边界频率转换成低通滤波器的边界频率的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项，各项 设计指标为：设计指标为：

3、低通滤波器通带截止频率低通滤波器通带截止频率wp=1/wp；低通滤波器阻带截止频率低通滤波器阻带截止频率ws=1/ws；通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减仍为阻带最小衰减仍为 s。C、设计归一化低通滤波器设计归一化低通滤波器G(p)。D、求模拟高通的求模拟高通的H(s)。将将G(p) 先转换成归一化高先转换成归一化高通通H(q)，再去归一化，得再去归一化，得H(s)：( )( )cpsH sG p 模拟带通的设计步骤模拟带通的设计步骤A、 确定模拟带通滤波器的技术指标，即：确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率带通上限频率wu，带通下限频率带通下限频率wl下阻带上限频率

4、下阻带上限频率ws1 ,上阻带下限频率上阻带下限频率ws2 通带中心频率通带中心频率w02=wlwu，通带宽度通带宽度B=wu-wl与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：121220,sslssluuluBBBBB、 确定归一化低通技术要求：确定归一化低通技术要求：22222010211,sspssss s与与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这这样保证在较大的样保证在较大的s处更能满足要求。处更能满足要求。通带最大衰减仍为通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减亦为阻带最小衰减亦为 s。C、设计归一化低通设计归

5、一化低通G(p)。D、 将将G(p)转换成带通转换成带通H(s)。 设计带阻滤波器的步骤设计带阻滤波器的步骤A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：确定模拟带阻滤波器的技术要求：下通带截止频率下通带截止频率wl，上通带截止频率上通带截止频率wu阻带下限频率阻带下限频率ws1，阻带上限频率阻带上限频率ws2阻带中心频率阻带中心频率w02=wuwl，阻带宽度阻带宽度B=wu-wl它们相应的归一化边界频率为它们相应的归一化边界频率为 l=wl/B, u=wu/B, s1=ws1/B, s2=ws2/B, 20=ul以及通带最大衰减以及通带最大衰减 p和阻带最小衰减和阻带最小衰减 s。B、 确定归一化模拟低

6、通技术要求，确定归一化模拟低通技术要求，12222210201,sspssss 取取s和和-s的绝对值较小的的绝对值较小的s；通带最大衰减为通带最大衰减为 p，阻带最阻带最小衰减为小衰减为 s。C、设计归一化模拟低通设计归一化模拟低通G(p)D、将将G(p)转换成带阻滤波器转换成带阻滤波器H(s)2220()( )( )ullussBpssH sG p NkkkMrrrzazbzH101NkkkMrrrzazbzH101 MrNkkrknyarnxbny01MkNkkkkkzazbzXzWzWzYzXzYzH0111)()()()()()()()(MkkkzbzWzYzH01)()()(Mkk

7、knwbny0)()(NkkkzazXzWzH1211)()()(Nkkknwanxnw1)()()(111111()()()MrrNrrczHzAdz)(.)()()(21zHzHzHzHk)(zHi22111101)(zzzzHiiiii10( )( )NnnHzh n z10)()()(Nkknxkhny10)()()(Nkknxkhny LhMkkhNnnzHzHznhzH112110)()()(10Nn nNhnh1 nNhnh12/1 Nn通带：通带：1- p |H(ej )| 1+ p, 0 | | p阻带：阻带：|H(ej )| s, s | | p 通带临界频率通带临界频率

8、s 阻带临界频率阻带临界频率 p 通带最大纹波通带最大纹波 s 阻带最大纹波阻带最大纹波 s- p 过渡带宽过渡带宽|H(ej )|为归一化幅频响应，是角频率为归一化幅频响应，是角频率 的偶函数的偶函数常用对数幅频特性：常用对数幅频特性：H ( ) = 20lg|H(ej )| dB通带最大纹波：通带最大纹波： p= 20lg(1- p) dB阻带最小衰减：阻带最小衰减： s= 20lg( s) dB实际设计指标经常给出线频率实际设计指标经常给出线频率 f（Hz），需要进行转换：），需要进行转换：2ppspsTf T Ts 是采样周期是采样周期2sssssTf T ssTTezsssssppT

9、T,sT AHss11sTAHzez0( )( )()sstn Tsnhn Th th ttn TssTTezs stn TshtA ehn TA ezTsssHzHln)()(1ssTTezs 22()Hss sin() ( )sin() ()stnTsssh tet u th nTenTu nT 22sin()2cos()sssTsTTszeTHzzzeTes21T1zsz1(/ 2 )1(/ 2 )ssTszTs211sZsTZH zH s( )( )为了避免频率混叠，放弃频率的线性转换关系，找新为了避免频率混叠，放弃频率的线性转换关系，找新的关系：的关系：sz / 2/ 2/ 2/ 2

10、/ 2/ 2212().1()22 sin(/ 2)2.tan2 cos(/ 2)22.tan2jjjjjjjjssssseeeejTeTeeejjTTT jezjs000j1j)z(jImT/T/1-1Re(z)Z平面S1平面S平面2222tanarctanssTT :0 :0 : 0: 0 避免了频率避免了频率混叠！混叠！02tanT2对对 比比sT1ln( )( ) ( )sszTH zH sh n 211sZsTZHzHs( )( )22sT tan2222pspsTT tan(),tan()pssp/,1112 11ZsTZH zH s( )( )/ppjj/pps10Nnnznhz

11、H)()()()()()()(jgNnnjezjeHenhzHeHj10)()()(jgeHH)1(230212301212123010)1()21()()(,1)()21()()()(nNjNnNjNnnjjnjNNnNjNnnjNnnjjenNheNhenheHnNnenheNhenhenheH则在上式第三项中，令2302123021212121230)1()21(21cos)(2)21()()21()()(),1()(NnNjNnnNjnNjNjNjNnnNjnjjNhnNnheNheenheeNheenheHnNhnh得考虑到对称性，21)(, )cos()()()cos()()(,2

12、1, 1),21(2)(),21()0()21()cos()21(2)(,212102102121121NnnaHnnaeeHNnnNhnaNhaNhnnNheeHnNnNngNnNjjNnNjj则令则令H Hg g( () )在在0 0处偶对称处偶对称2, 2 , 1),2(2)()21cos()2(2)(,2)21cos()(2)()1()()(,1)()()()(212112021120)21()21(21120)1(1201210120NnnNhnbnnNheeHnNnnNnheeenheenNhenheHnNnenhenhenheHNnNjjNnNjNnnNjnNjNjNnnNjNn

13、njjNNnnjNnNnnjnjj令得令则在第二项中，令21)(,)21cos()()()21cos()()(212121NnnbHnnbeeHNngNnNjj则1212123010)()21()()()(NNnnjNjNnnjNnnjjenheNhenhenheH)(1nhnNh)21()()(230)21()21(21NheenheeHNnnNjnNjNjj0)21(),21()211()21(NhNhNNhNh23021)21sin()(2)(NnNjjnNnhjeeH对上式第三项，作n=N-1-n变换，并利用奇对称：21, 1),21(2)(212)()sin()()()sin()()

14、(21, 1),21(2)()sin()21(2)(,21211211)21(2211)212(2NnnNhncNnncHnnceeHNnnNhncnnNheeHejnNnNngNnNjjNnNjjj则令且令)21sin()()(21NngnndH2, 1),2(2)(NnnNhnd212)(N 1. 由设计指标由设计指标Hg()，确定，确定hd(n); (用傅里叶级数法，用傅里叶级数法，hd(n)有无限多项）有无限多项）2. 根据对过渡带到阻带衰减的要求，选择窗函根据对过渡带到阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度数的形式，并估计窗口长度N，wN(n);3. h(n)=hd(n)w

15、N(n)4. 对对h(n)求求DTFT得到得到H(ej)，与，与Hd(ej)比较，比较，合格则设计完毕，不合格则修改窗函数及其参合格则设计完毕，不合格则修改窗函数及其参数，重复数，重复3、4步骤直到合格为止。步骤直到合格为止。2122122/()()sin(/)(/)ccjjnddjNjnchnHeednNeednNNnnwnhnhd, )()()(10ccNjjdeeH02/)(ccNjjdeeH002/)(Nnnwnhnhd,)()()(10)/()/(sin)/(sin)()/()/(222212122NnNnNndedenhcNnjNnjdccotherseeHhlNjjd02/)(N

16、nnwnhnhd,)()()(10)/()/(sin)/(sin)()/()/(222212122NnNnNndedenhlhNnjNnjdhllhotherseeHhlNjjd02,)(/)/()(sin)(sin)(sin)()()()(222221222NnNnNnNndededenhhlNnjNnjNnjdhllhNnnwnhnhd,)()()(10)()()(nwnhnhddeWeHeHjjdj)()()()(21Rectangular window： Wn=100.20.40.60.81-100-80-60-40-200 /Gain, dBRectangular window主瓣宽

17、度为主瓣宽度为4/N, 第一旁瓣比主瓣低第一旁瓣比主瓣低13dBHanning window:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200 /Gain, dBHanning window能量更集中在主瓣中，但主瓣宽度加宽到能量更集中在主瓣中，但主瓣宽度加宽到8/N2( )0.5 1 cos( )1HnNnwnRnNHamming window:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200 /Gain, dBHamming window能量更加集中在主瓣中（占能量更加集中在主瓣中（占99.96%），第一旁瓣的峰），第一旁瓣的峰值比主瓣小值比主瓣小40dB, 主

18、瓣宽度仍为主瓣宽度仍为8/N2( )0.540.46cos( )1HmNnwnRnNBlackman window:00.20.40.60.81-100-80-60-40-200 /Gain, dBBlackman window旁瓣进一步减小旁瓣进一步减小, 但主瓣宽度变宽为但主瓣宽度变宽为12/N14cos08. 012cos5 . 042. 0)(NnNnnwbKaiser window:)(1211)(020INnInwKI0是修正的零阶贝塞尔函数是修正的零阶贝塞尔函数2102!11)(kkxkxI: 控制阻带的重要参数。控制阻带的重要参数。 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小。加大，主瓣加宽

19、，旁瓣幅度减小。 49 （=0 矩形窗矩形窗）1. （10分）写出下面差分方程表示的IIR系统的传输函数H(z)，并画出直接II型实现结构。y(n)=5x(n)+6.3x(n-1)+2.5x(n-2)-1.6y(n-1)-3.3y(n-2)+1.6y(n-3)1212356.32.5( )1 1.63.31.6zzH zzzz-0.379y(n)-0.54-1.245.264z-1z-1x(n)y(n)z-1-1.656.32.5z-1z-1-3.31.62. (10分)已知H(z)=1-0.5z-1+0.7z-2-0.7z-3+0.5z-4-z-5，写出其单位冲激响应序列h(n)，确定其属于

20、哪一类型线性相位FIR滤波器，并画出其实现结构。单位冲激响应序列h(n)=1，-0.5，0.7，-0.7，0.5，1奇对称，N为偶数，属于第二类线性相位FIR滤波器x(n)y(n)z-11z-1z-1z-1-0.5z-10.7-1-1-13.（18分）用双线性变换法设计数字低通滤波器，选用巴特沃斯低通原型，要求的设计指标为：通带最大衰减p=3dB，阻带最小衰减s=18dB，3dB截止频率fc=50Hz,阻带截止频率fs=85Hz,系统的采样频率为F=500Hz。要求写出设计步骤及最终系统的传输函数H(z)的表达式。解: (1) 将等效模拟滤波器参数转换成数字低通滤波器3dB截止频率：20.2ccf Trad0.2pcrad20.34ssf Trad3 18psdBdB（2）频率预畸变（