典型非周期信号的频谱

1、2021/8/21 单边指数信号单边指数信号 双边指数信号双边指数信号 矩形脉冲信号矩形脉冲信号 钟形脉冲信号钟形脉冲信号 符号函数符号函数 升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号3.5- 典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱2021/8/22信信号号dttfTdttfTTT2222)(1)(lim功率：能量：:从能量方面考虑2021/8/23傅立叶变换的唯一性傅立叶变换的唯一性)()()(21jFtfFtfF)()(21tftf由由则则反之反之,由由)()()(2111tfjFFjFF)()(21FF则则2021/8/24给出简短证明如下：给出简短证明如下：)(2121)()(21)(21)()(

2、21 tdedetdedetfdejFtftjtjtjjtj交换积分顺序交换积分顺序2021/8/25)()()()(21)(222)(1tfdftdfdetftj )(),(21tftf在在积分意义积分意义上相等。上相等。傅立叶变换的傅立叶变换的唯一性唯一性表明了表明了信信号号及其及其频谱频谱的的唯一唯一对应关系。对应关系。2021/8/26证明证明p17 1-35)(21);2()(saEtEG以及以及1)(limtG和傅立叶变换的唯一性，有和傅立叶变换的唯一性，有)(2)2(limEsaE)(lim)()2(2lim)(KtsaktKtsaEKtKK)(1tf)(2tf2021/8/27

3、波形形矩22tA)(tfE2/| 02/| )(ttEtf，不连续f(t)22A)(FE)2()(jSaEF大致成反比与)(F形角三f(t)(tf)2()21(ttE00t不连续连续、dtdf)(tf)4(2)F(2SaE大致成反比与2)(F222E4附录三p380,8t2021/8/28弦余升22Etf(t)2)t2cos(12tE2t0不连续连续、22df(t)dtfdtdf22A)(FE2E4面1182)2(1)2(2E)F(Sa大致成反比与3)(F62021/8/29 信号表达式信号表达式 幅频幅频 相频相频)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfFtj221)(F)

4、()(arctg单边指数信号的频谱2021/8/210 f(t)t0)(F1)(22a21a32021/8/211)()(tetft222)(F0)(双边指数信号的频谱2021/8/2122021/8/213一.冲激函数的频谱dtettFtj)()(10jetddettjcos21.121)(?)(ttj)(jF1002021/8/214)(0tt0t)(jF)(j0tP80-81黎曼勒贝格2-99和21001)(t0)(0tjett0coslimt2021/8/215 二.冲激偶的傅立叶变换dettj21)(dejtdtdtj)()(21jtdtdFT)(nnnjtdtdFT)()()()(

5、2)(nnnnddjtFT1)(tFT2021/8/216三.sgn(t)的付立叶变换)sgn()(ttf+1 t0-1 t0)(2tf0.teat0.teatdtedtejFtjatja0)(0)(2)(222aj)()(20limjFjFa jaja22220lim2)(jF)(j0.20.211)(tf)(F)(2tftt2021/8/217jtdtdejtftj2)sgn(sin1221)(释。需从分配函数的观点解才是有效的。所以只有当1sinsin2sin)(2)(000tdttdtdtttfjF2021/8/218四.常数的付立叶变换22E)2()(saEtEG)2(22)2(li

6、mlimsaESaEEFP17.1-35)()(limktsaktk)(2EEF)(21F)(tfEt)(2E2021/8/219五.u(t)的付立叶变换)(tu)sgn(1 21)(ttuFjjF1)()(P168.3-30方法一方法一)sgn(21t21ttt2021/8/220jatuetetuatata1)()0(lim)(0)()(1)(2222jBAajaajajFe方法二方法二:利用单边指数函数取极限利用单边指数函数取极限2021/8/221)0()()()0(0)()(limlim00AAAAaaaarctgdaaddAaaalimlimlim02001)(2021/8/222

7、jjBAFBBa1)()()()(1)()(lim02021/8/2233.9 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 一般周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换 傅立叶级数傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶与其单脉冲的傅立叶 变换变换FT的关系的关系 正余弦信号的傅立叶变换正余弦信号的傅立叶变换FT 复指数信号的傅立叶变换复指数信号的傅立叶变换 周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FS和和 FT 周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的FS和和FT 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系2021/8/2241.无穷期指数函数 的傅立叶变换tje0tjtjedeF021)(21

8、(001021)(001tjeFFF)(200tjeRtjI)(2)(2001FFeFtj用反证法:)(jF02021/8/225sin.cos.211tFandtF)(21cos111tjtjeet)()(cos111t)(21sin111tjtjeejt)()(sin111 jt25 )(tf)(Fj000002021/8/2263.一般周期信号的傅立叶变换一般周期信号的傅立叶变换tjnnneFtf1)()(211tje)(2)(11nFeFFtfFnntjnnn)(1nnC1)(101nnjFTFP147.例例3102021/8/227周期单位冲激序列的FSntjnnnTeFnTtt1.

9、)()(1111).(121211TdtetTFTTtjnTnntjnTeTt11)(2021/8/228周期单位冲激序列的周期单位冲激序列的FTntjnntjnnnTeTeFnTtt111.)()(1)(12)(11nTtfFTn)()()(11nTntFTF2021/8/229)(t0t)(0F1) 1 (0)(tT1TtnF00)(F1112121112111TFSFT2021/8/230(p148,例题例题3-11)2()(0SaEjF)2()(11011nSaTEjFTFnntjnenSaTEtf)2()(11)(2)(1nFjFnn)()2(111nnSaEn令令:秒201825.

10、02211TsT41单个矩形脉冲的变换单个矩形脉冲的变换2021/8/2310n84040周期信号的频谱周期信号的频谱密度密度)(jF)(jF512021/8/2324.周期矩形脉冲的周期矩形脉冲的FS和和FTE)(0tf022t1T1TE)(tf)(FnFtFTFSFT周周期期重重复复22A)(FEE22nFn22A)(FE2021/8/2335.周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系221111).(1TTtjnndtetfTF2121).()(00TTdtetfFtj1)(101nnFTF2021/8/2342)(0SaEF)2()(111011nSaTEFTFnn

11、1.2)(11jnnenSaTEtf)(2)(1111nnSaEFn由单脉冲联想FS的FnFSFT2021/8/2356.小结小结:单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较单脉冲和周期信号的傅立叶变换的比较 单脉冲的频谱 是连续谱，它的大小是有限值； 周期信号的谱 是离散谱，含谱密度概念，它的大小用冲激表示； 是 的包络的 。)(0F)(F)(F)(0F112021/8/236.物理意义不同物理意义不同,前前 者是单个复简谐波成者是单个复简谐波成份的复振幅份的复振幅,而后者是单位带宽内所有而后者是单位带宽内所有复简谐波成分的合的复振幅值。复简谐波成分的合的复振幅值。.单位不同单位不同,Fn的单位是伏

12、特或安培的单位是伏特或安培,而而 的单位则是的单位则是(伏特伏特/赫赫,安培安培/赫赫). 代表的是信号的功率分配代表的是信号的功率分配, 而而 代表了信号的能量分布代表了信号的能量分布.nF)(jF)(jF2021/8/237表示举例和FT.FSf(t)级数系数)F(频谱密度函数E直流E0F)(2EtE0costE0sin2nEFFn2nEFFn)()(00E)()(00Ej2021/8/238* *四种时频对应关系四种时频对应关系 1. 1.基本性质。基本性质。2. 2.与抽样定理有关的性质。与抽样定理有关的性质。周期信号的频谱周期信号的频谱: :周期性周期性- -抽样性抽样性抽样信号的频

13、谱抽样信号的频谱: :抽样性抽样性- -周期性周期性3.3.与单边特性有关的性质。与单边特性有关的性质。( (希尔泊特交换）解析信号希尔泊特交换）解析信号- -单频谱单频谱4. 4.与功率谱有关的性质。与功率谱有关的性质。 相关函数相关函数- -功率谱功率谱2021/8/2393.73.7傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质 对称性和叠加性对称性和叠加性 奇偶虚实性奇偶虚实性 尺度变换特性尺度变换特性 时移特性和频移特性时移特性和频移特性 微分和积分特性微分和积分特性 卷积定理卷积定理(3.8) Paseval定理定理2021/8/2401:对称性对称性若若)()(Ftf则则)(2)(ft

14、F若若)(tf为偶函数，为偶函数，则则)(2)(ftF或或)()(21ftF证明见证明见p123deFtfdtetfFtjtj)(21)()()(2021/8/241)(t)(Ftt)(tF)(2若若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称为偶函数，则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子00002021/8/242)(tf)(F222t100)(tf)(Fc2c22c2ct2c1002)2t(Sa.2cc 2Sa2021/8/243 1t1F:2求求例例题题一一222aaetaeetet21211112122双双边边指指数数信信号号解解：.1

15、14p2021/8/244atetf)(FTjaF1)(?1)(1jtaFTF对称性aefF2)(2)(1 t 换成）对对称称性性部部分分成成立立的的例例子子例例题题二二(0t, 1a:f 换成 换成t1F2021/8/245例题三：试求函数例题三：试求函数ttsin的傅立叶变换的傅立叶变换解：若直接用解：若直接用dtettdtetfFtjtjsin)()(来求出来求出ttsin的傅立叶变换将是不的傅立叶变换将是不容易的。容易的。这里可用对称性来求解这里可用对称性来求解.2021/8/246分析分析:22sin)(Etf)(tf101t1tsin2)()(tfFF222021/8/247根据偶

16、函数根据偶函数对称性可得对称性可得1102)(2sin2)(fttFtFF上式两端同乘以上式两端同乘以1/2得得)1()1(110sinuuttF )(21tF)(tf)(f)(F2021/8/248我们也可以用此来求我们也可以用此来求dttatdttfSasin)()()(sin221sin)()(auaudteatatadtetatdtetfjFtjtjtj当当0时时00)()()(jFSSdttfjFaaaa2021/8/2492、线性（叠加性）、线性（叠加性） )()(iiFtfFT若若：niiiniiiFatfaFT11)()(则则：2021/8/250的的傅傅立立叶叶变变换换。求求

17、例例题题四四) t (f:)(tf2212t)()()()()(22tututututf)(2)2/()(SaSaF2021/8/2513、 奇偶虚实性奇偶虚实性无论无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均是实函数还是复函数，下面两式均成立成立)()(* FtfFT)()(*FtfFT)()(FtfFT)()(FtfFT时域反摺时域反摺频域也反摺频域也反摺时域共轭时域共轭频域共轭频域共轭并且反摺并且反摺2021/8/252更广泛地讲更广泛地讲,函数函数f(t)是是t的复数的复数;令令)(1tf和和)(2tf分别代表它们的实部和虚部分别代表它们的实部和虚部.)()()(21tjftftf)()

18、()(jXRjF上上式式整整理理得得出出：带带入入把把尤尤拉拉公公式式：tsinjtcosedte)t (f) t (f )j (Ftjtj212021/8/253dtttfttfRsin)(cos)()(21dtttfttfXcos)(sin)()(21 3.sincostjtetj 1.)(21)(dejFtftj 2).()()(jXjRjF 式式整整理理得得带带入入，把把1322021/8/254dtXtRtfsin()(cos)(21)(1dtXtRtfcos)(sin)(21)(2特殊情况的讨论：a.实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将分别等于 (f2(t)=0,f

19、(t)=f1(t)tdttfRcos)()(tdttfXsin)()()(F2021/8/255从上式可以得出结论从上式可以得出结论:)()()()()()()()()()()()(*FFjXRFjXRFXXRR实信号的频谱具有很重要的特点实信号的频谱具有很重要的特点,正负正负频率部分的频谱是相互共轭的频率部分的频谱是相互共轭的.2021/8/256、f(t)是实函数是实函数tdttfjtdttfFsin)(cos)()()(R)(X)()(RR)()(*FF 偶函数偶函数 奇函数奇函数)()()()(*FtfFTFtfFT)()( XX2021/8/257b . 虚函数虚函数设设f(t)是纯虚函数是纯虚函数0)()()(12tftjftf则则tdttfXtdttfRcos)()(sin)()(22因而因而 是是 的奇函数的奇函数,而而 是是 的偶的偶函数函数.)(R)(X)()(*FF反之也正确反之也正确.2021/8/258tdttfjtdttfdtetfFtftfctjsin)(cos)()()()()(.偶偶实实函函数数：0)(cos)(2cos)()(0XtdttftdttfR反之反之,若一实函数若一实函数f(t)的付立叶积分也是实函数的付立叶积分也是实函数,则则f(t)必是偶函数必是偶函数.2