守恒律问题的满足最大值原理和保正性的高阶DG和FV格式

1、守恒律问题的满足最大值原理和保正性的高阶间断有限元和有限体积格式舒其望(Chi-Wang Shu)提纲1、 介绍2、 严格满足最大值原理（标量方程，不可压缩流体和被动对流在不可压缩速度领域）的高阶DG和有限体积格式，或者对可压欧拉方程的密度压力保正和浅水波方程水的极度的保正。3、 数值结果4、 结论和未来的工作介绍对于标量守恒律方程 （1）一个重要的熵解（可能间断）的性质是它满足严格最大值原理：如果 （2）那么，对于任意的和。一阶单调格式可以满足最大值原理。然而，对于高阶线性格式，如，线性PDE （3）的线性格式，如二阶精度Lax-Wendroff格式h这里，最大值原理不满足。实际上，高于一阶

2、的非线性格式可以满足最大值原理（Godunov Theorem）。因此，非线性格式，即，甚至线性PDE的非线性格式已经设计克服这个困难。这些大概包含两类格式：·TVD格式。大部分TVD（全变差减少）格式也满足严格最大值原理，甚至在多尺度情况。TVD格式可以设计任意形式阶数精度对于连续单调区域的解。然而，所有的TVD格式会退化到一阶精度在光滑极值。·TVB格式，ENO格式和WENO格式。这些格式没有坚持要求严格TVD性质，因此他们不满足严格最大值原理，虽然他们可以设计任意高阶精度对于光滑解。注意：如果我们坚持最大值原则转化为，如果，这里，是有限差分格式点点值的近似，或是有限体

3、积或DG格式的单元平均，那么格式可以至少二阶精度。证明（源于Harten）很简单：考虑线性对流方程同时，剖分网格，使在两个网格点的中间，记为和。然后很清楚现在，取CFL数。下一时间步长，精确解，但是数值解已经服从最大值原则因此，误差至少是注意这只是仅仅对一个时间步长！一般情况，满足严格最大值原理的格式只能是一阶精度，不管它们是先行或是非线性的格式。因此，设计满足最大值原理的高阶格式的正确步骤是改变最大值原则的定义。注意，高阶有限体积格式有下面的运算流程图：（1） 给出（2） 重构（用单元平均值构造的分段多项式）（3） 演绎，如用龙哥库塔时间离散得到（4） 重回（1）因此，代替要求，如果，我们要

4、求如果类似定义和步骤可以用于DG格式。设计一个严格满足最大值原则的高阶格式的流程图如下：1、 由开始，是高阶精度，且满足，因此，显然我们有2、 演绎，一个时间步长，可以得到3、 由上面的（4），获得重构，满足最大值原理，且是高阶精度三个主要困难1、 第一个困难是如何演绎一个时间步长，来确保。这很难达到。先前的工作是用下面两种方法中的一种：·用准确时间演绎。这可以确保然而，它只适用于特殊条件的线性PDE方程，或一维的非线性PDE方程。为了获得一维线性和非线性PDE或高维线性PDE方程的TVD格式或保持最大值原理的格式，为了二阶或三阶精度格式。·用SSP-龙哥库塔方法或多步方法

5、来进行时间演绎。然而，的额外的限制是需要的，但这限制会破坏光滑极值附近的精度。我们提出一种方法可以获得，用简单欧拉向前差分，SSP龙哥库塔或多步方法，而不会在受限制时失去精度。第二个困难是：已经给出，如何得到准确的重构，重构满足先前的工作是主要对于相对低阶的格式（二阶或三阶精度），同时特有的需要极值的估计值，对于高阶分片多项式，代价很大。我们提出一种方法，用很简单的限制器来获得重构，限制器只需要某些已定积分点的估计值，且不破坏精度。第三个困难是，如何推广这种算法和结果到二维空间（或更高维）。这方法需要重构多项式的极值的估计值，这不容易推广。我们的算法，很容易推广到二维，同时满足严格最大值原理和

6、高阶精度。有限体积高阶格式和DG格式满足最大值原理的DG和有限体积WENO格式，对于标量守恒律和不可压缩速度领域的被动控制，保正（对于密度和压力）DG和有限体积WENO格式，对于可压欧拉方程。类气体爆炸和混合湿干区域的浅水波方程。对于一维守恒律单元平均的演绎满足这里，是单调流通量。多项式（不管是由有限体积方法重构或是DG方法演绎）是阶，由定义，其中是的单元平均，和。我们用Legendre Gauss-Lobatto积分法则，它对阶多项式是准确的，可得，这里，。则单元平均的格式可以写为一个简单的阶梯限制可以保证由Legendre Gauss-Lobatto积分点估计的多项式，在内。因此，所有的蓝色项在内，平方括号内的项也是这样（由一阶单调格式的性质），因此，同理凸组合。SSP（也叫TVD）龙哥库塔多步方法就可以用于到达高阶精度，在时间上，且保持最大值原理。限制器：我们需要修改，使，对于所有的，是上Legendre Gauss-Lobatto积分点的集合。假设，我们用