定积分的概念.

1、I第五章定积分第一节 第二节 第三节 第四节定积分的概念与性质微积分基本公式定积分的换元法和分咅E积分法反常积分主讲人：夕源第一节定积分的概念与性质1口口一一 _I一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质一、定积分问题举例1:11=1在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。曲边梯形yx=b «设函数在区间a, h 上非负、连续.由直线.u。、x=b、 y=o及曲线y=/ (.V)所围成的图形 称为曲边梯形，其中曲线弧称 为曲边.如何计算其面积？解决步骤：1) 分割. 在区间a , h中任意插入H 1个

2、分点 用直线2%将曲边梯形分成刃个小曲边梯形；2) 近似.在第i个窄曲边梯形上任取& e 兀I,七作以七为底，/©) 为高的小矩形，并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积D£,得D4 簽fg X. (D A.=兀一耳,；元素法1化整为零2以直代曲 （以常代变）AS； « Wg3积零为整分法越细，越接近精确值4取极限令分法无限燹细I1.曲边梯形的面积/（&）1=1无素法y A1化整为零2以直代曲 （以常代变）AS 严/（GU3积零为整分法越细，越接近精确值4取极限令分法无限燹细5= lima /3）D.*2 变速直线运动的路程已知物体直线运动

3、的速度luu是时间Z的连续函数, 且v(z)>0,计算物体在时间段珀，込内所经过的路程S1)分割：厂* V-142，厂-+1；(2) 近似：物体在时间段“1，巾内所经过的路程近似为S严(3) 求和：物体在时间段八，场内所经过的路程近似为K取极限记启maxN，©，3物体所经过的路程为S = lim V y(巧)V 几 tOf=1.曲边梯形的面积s=鹽3 Dx./(x.)12 变速直线运动的路程上述两个问题的共性：-解决问题的方法步骤相同：“分割，近似，求和，取极限”所求量极限结构式相同：特殊乘积和式的极限 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题, 将其一般化，就得到定积分的概

4、念.二、定积分的定义1定积分的定义设函数心)在区间甸上有界在区间d, b内插入nl 个分点：a=x(,<r,<X2< 产枕i己Av尸x厂r_ (i=l,，n), dmaxAX,心?，Aq；在小区间|和,旳上任取一点昌 (#1,2,a，作禾咗/©JX；如果当20时，上述和式的 极限存在，且极诫i与区间%创的分法和手勺取法无关, 则称此极限为函数/G)在区间七，上的定积分，记为 J：/(x)dx,即此时称/( X )在d上可积.积分下限Q /(x)dx =n/gJDyT、积分上限kJ也，6称为积分区间定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分 变量用彳扌么字母表示无关,

5、即 b6 /3dx_ h /df 二 0二、定积分的定义1 定积分的定/I根据定积分的定义，曲边梯形的面积为4=j'/（xWx. 变速直线运动的路程为.2 函数的可积性'定理1：如果函数心）在区间a切上连续，则函数/U） 在区间0,创上可积.定理2:如果函数/（X）在区间a,创上有界，且只有有限 个间断点，则函数心）在区间a切上可积.<13.定积分的几何意义:曲边梯形面积- A曲边梯形面积的负值人3人5X0 /Wdx=A + 人-州 + &a各部分面积的代数和例1.利用定义计算定积分解把区间0, I分成H等份，分点为和小区间长度为无=(i=l, 2,，n-1),*

6、=+ (/=1, 2,.取 = (i = l,2-,n)，作积分和n"zrIf - f III若/©)=若(铲+冷(i+万)(2+万).因为兄=丄，当2->0时MT8,所以nI«IIIIlimV= lim(1 )(2 )=.J()f xTsO n n 3例2用定积分的几何意义求；（1解 函数y=l-x在区间0,1上的定积分是以尸为 曲边，以区间0, 1为底的曲边梯形的面积.因为以）=1讥为曲边，以区间O 1为底的曲边梯形是 一个直角三角形，其底边长及高均为1所以£(1-X)Ja- =yXlx| =.三、定积分的性质悔厮|1两点规定 (1)当a=b时

7、，f/(x)tZx = O; (2)当 a>h 时，J：/(x)dx = _( fx)dx . f Lf(X)zb?(x)Uv=jy(x)dv 斗l(x)厶.性廣22hhL kfx)dx=竹 fxdx.bcbJxdx = Jx)dx+J fx)dx 注：值得注意的是不论a b工的相 对位置如何上式总成立.性质5推论1推论2hhf ldx= f dx = ha .J"J “如果在区间G, Z?±/U)>(),则(f (x)dx>O(a<h).如果在区间a h± f(x)<g(x则bbJxdx< g(x)dx(dvb) Ilfxdx

8、<p /(X)Idx a<b.这是因为-!/(x)lxX(x)l,所以bhh-p/U)ldx<L/(X皿<p/(x)ldx, If/(x)dxj fx)dx ./M<由介值定理，至少存在一点歹丘匕/儿使两端乘以bp即得积分中值公式./Oa£b X性质6设M及加分别是函数/(X)在区间切上的最大值及 最小值，则bmhci< f f x)dx<M(ha) a<h).性质7 (定积分中值定程丫如果酬心)在闭区间0,切上连 续，则在积分区间切上至少存在一个点二使下式成立： tf(x)dx = f(i)(h-a). 积分中值公式.这是因为，a性质

9、6变形得I 命2注：-积分中值定理对bf /(兀)心-可把疋)hf /（X）dx1n，门=宀1曲工= lim-y/G）b ah a 川t« &n刃一>s n 台故它是有限个数的平均值概念的推广.、卩 1 ,估计积分O让3厶的值 0 3+ sin Xfix = -_, V X G 0, k1,3 4-sin X.Ill0<sin x<l,-4 3 + sin X 3"Ipn 1"If 4/x< f < f 4/x, Jo 4J«3 + sii?x Jo 3启1,必<巴4 Jo 3 + sinx 3-sin X例4估计积分6； dx 的值4 Xg “ sinx兀兀，解 /（*） =, atgE-,-X4 2<0,“ 、