奥数赠品数论题目

1、浙江师范大学初等数论考试卷（A1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空（30分） 74 101)=_ 。( 。 。（1000）= ）1、d（1000= 。、 ax+bY=c有解的充要条件是 2 20022002。、被3除后余数为 3 。可能的值为 、4X=3，Y=4，Z=2，则X2Y+3Z nP）=。）（ （1）（P5、 6、高斯互反律是 。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。 。 8、带余除法定理是 答案 1、162340，1 2、（a，b）

2、|c 3、1 4、3，4，5，6，7，8，9，10，11 np 、5 p?1q?1pq ()?)?(1(22 qp，p，q为奇素数 6、 29 ，27、a?bq?r,0?r?b ，r使得则存在两个惟一的整数a，b是两个整数，b>0,q8、 二、解同余方程组（12分） x?2(mod12)?x?6(mod10)?x?1(mod15)? 答案 解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解 x?2(mod4)x?2(mod3)?x?6(mod2)?x?6(mod5)?x?1(mod3)?x?1(mod5)?原方程等价于方程 ?x?

3、2(mod4)?x?2(mod3)?x?1(mod5)? 即 由孙子定理得 x?46(mod60) A、叙述威尔逊定理。 三、 (m?1)!?1?0(modm)，则m为素数（10分） B证明若答案 是素数，则A(威尔逊定理)整数 11(m?)!?a|(m?1)!,a|m1?a,b?1a| ，证：若m不是素数，则m=ab，则有，则 不可能，所以m是素数。 44x?7x? （10分） 四解方程 0（mod ） 答案 x?1(mod3)44x?x?7解：由得x=1+3t0（mod3）得代入 t?1?3tx?4?9t)3111t?(mod44?x?7x 代入0 （mod9）有有x=1+3t得11 ?t

4、?2(mod3)t?2?3t447x?x?代入有）有 代入0 （mod27211 x?22?27t， 2x?22(mod27) 即 2p)1od2p?0)?(?1)?(m!(p 分）为素数,试证（10设2+1 答案 (n?1)!?1?0(modn)即有 证：因n=2+1为素数，由威尔逊定理 (n?1)!?1?(n?1)(n?2)?3?2?1?1?(n?1)?2?(n?2)?p(n?p)?1(modn)2p?1?0(mod2)p!)(?1p?1)(?即证 P12M? 是素数，证明当六、设P=4n+3q=2p+1分）10也是素数时，梅森数（不是素数。P答案 2()?1(modq) q即 是q=8n

5、+7的平方剩余，证：因q=8n+7，由性质2 4n?3?21q| PM?2?1不是素数。 所以梅森数P 333zy?9x?3 （8七、证分） 无正整数解。答案 333x?3y?9z有解，设（x，y，证：假设z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设 333z3?3yz?y(x,y,z)zy?9?x3，,的倍数，设则有解又有,又得到y为3x=3x11111111 1 z>z且1 >z>z> z这样可以一直进行下去，z>z>4231但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾 ?)n( 分）八、设n是大于2的整数，证明为偶数（10答案 证：因为（-1，n）=1，由

6、欧拉定理有 ?(n)?)odn?(1)?1(m(n)为偶数。 2，只有，因为n大于 浙江师范大学初等数论考试卷（B1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空（30分） 1、d（37）= 。（37）= 。 nP =。1）（P）（）2、（ 。、Y非负）的最大整数为 X3、不能表示成5X+3Y（ 在。2004！中的最高幂指数是4、7 。）= ，5、（1501 300 )max?b(mod。6、 有解的充要条件是 、威尔逊定理是。7 。8、写出的一个绝对值最小的

7、简化系 6 88888?66666?被7除后的余数为 。 、95050 : 答案 1、2，38 np 2、 3、7 4、331 5、1 (a,m)|b 、6 (p?1)!?1?0(modp) 为素数，、P7 8、1，5 9、5 二、解同余方程组（12分） x?2(mod5)?x?3(mod8)?x?1(mod7)? 答案: 解：因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理. M?56,M?35,M?40,m?280. 312解同余式 ,40M?1(mod7)1(mod5)?M56135M(mod8?, ,321 ,?1,M?M3,M?332. 得到1 于是所求的解为 x?56?1?2?35?3

8、?3?40?3?1(mod140) ?267(mod280) x?).267(mod280所以 n?12)3(n.（三、证明当10是奇数时，有分） 答案: 2?1(mod3),所以 证明：因为 nn?1(m)od3)21?(?1. nn?2k?1. 于是,是奇数时,当我们可以令 n2k?12?1?(?1)?1?0(mod3), 从而有 n?12)3(. 即 2?bx?c当xx?0,1xp()? 项次的系果四、如整数二三式 明证，数奇是都值的时0p?)x( 分）8没有整数根（: 答案 为偶数证：由条件可得c为奇数，b2cq?bq?为偶数，q，若q为偶数，则有p（q）=0为奇数，而x如果p（）=0

9、有根 2cq?bq?为偶数，也不可能，所以不可能，若q为奇数，则有（q）=0p为奇数，而 0(x)?p没有整数根 )?21(mod13245x .五、解方程（10分）: 答案. 个解因为(45,132)=3|21,所以同余式有3解 )447(mod15x? 将同余式化简为等价的同余方程 我们再解不定方程. 7?44y15x?(21,7). 得到一解, 个解为因此同余式的3)(mod132x?21, 132)65?(mod132(mod132)?x?21 3, 132)(mod132?(mod132)?109?x?212 3 3 10六、证明：用算术基本定理证明分）是无理数。（: 答案p q33

10、，使得，3证：假设q=是有理数，则存在二个正整数p，由对数定义可得有 22qp与算术基本定理矛盾。=则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，, 3为无理数。 七、证明：对任何正整数,若不能被4整除，则有 nnnn1?2?3?4 5| （10分） 答案: 4i?1(mod5)5(i, 证：则题意知n=4q+r，r=1，2，所以有=1,i=1,2,3,43。因为1?2?3?4?0(mod5) r=1 当时有 22221?2?3?4?0(mod5) 当r=2时有 33331?2?3?4?0(mod5)当r=3时有 从而证明了结论。 4x?5y?10 分）八、解不定方程10（ 答案: 解：因为（

11、4，5）=1，所以方程有解， 由观察得有特解x=0，y=2 所以方程的解为 浙江师范大学初等数论考试卷（C1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 七、 填空（30分） 1、d（31）= 。（3600）= 。 1AA3 、四位数。整除，则2A=被9 。3、17X+2Y=3通解为 4、费尔马大定理是。 。 5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 ? 4?2. 。6、= ?428571.0 7、。化为分数是 。 、15！的标准分解是 8 个。9、1000 1

12、3的倍数有到2003的所有整数中 答案 1、2， 12493 2、7 x?1?2t,y?2?17t,t?Z 、3 nnnx?y?z(n?3)无正整数解 4、 5、5，25，35，55 6、06 3 7 、7 116322?3?5?7?11?13 、8 9、78 八、解同余方程组（12分） x?3(mod4)?x?2(mod5)?x?6(mod7)? 答案证：因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解. M?35,M?28,M?20,m?140. 321解同余式 ,20M?1(mod7)1(mod35M4?)(mod528M?1, ,312 ,1?M?,M?2,M?132. 得到1 于是所

13、求的解为 x?35?(?1)?3?28?2?2?20?(?1)?6(mod140) ?97(mod140) 12分）九、叙述并且证明欧拉定理。（答案 则)若 (欧拉定理 的一组互素剩余系 证明：设是模 2.2定理知 由§是模 的一组 互素剩余系 即 又 8x?9(mod11) 十、 （10分） 答案 解：因为（8，11）=1，所以同余式有解。 由形式分数有 99?3(mod11)x? 88?11 PM?2?1q?p.（10证明梅森数 分） 的素因子十一、P答案 ppq 2，的质因数，由于2-1为奇数， q设-1是2证： ppq ）（2122，q）=1,由条件q|mod -1,即（ p

14、q mod ）1,2）=1，2（q又 （ xp 1（mod ）成立最小正整数是使得设i2 ppipi ，则有|1<<为素数矛盾则与若 | p i=, pq-1，从而证明了结论。 p999?5?2p,p?1（且是素数，则9试证若分） 十二、 答案 p?2,5且是素数 证：因为 所以（p，10）=1，由欧拉定理有 p?1?110(modp) ，从而有 p999?p?1 9分），5a+2不可能是平方数（十三、 证明：对任何的正整数a答案 证：因为平方数被5除后的余数为1，4， 而5a+2被5除后的余数为2， 2不同余1，4关于5，所以不相等 2x 8分） （mod）是否有解，若有解则有几

15、解（八、判断方程答案 3)?1( 83 ，所以有解，由性质知有解就有两解。解：因为 浙江师范大学初等数论考试卷（D卷） （20022003学年第一学期） 考试类别 使用学生数理学院数学专业99本科 考试时间150分钟表 出卷时间2002年月日12月28日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理 )分30分，共3每小题(一、填空题1. （29）= . y45x?y,x. 为非负整数）的最大整数为2. 不能表示成（ . 3. 7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 的最小公倍数是4. 2005和2006 威尔逊定理是.5. x1?x是，则最小的除后的余数都为34、. 6. 设

16、5、7为整数且被 7. 已知（a，b）=1，则（5a+3b，13a+8b）=_. 8. 1，4，9，16,10000这100. 个个平方数中是3的倍数的平方数有 1010_. 则天后的那一天是星期9. 若今天是星期日, 20053的末二位数是10. _. 答案 1. 30 11 2.3353. 4022030 4.(p?1)!?1?0(modp) , 则有5. P为素数 6. 143 7. 1 8. 33 9. 四 10. 43 11. 二解同余方程组（12分） x?3(mod5)?x?5(mod8)?x?1(mod7)? 答案 解： 因为5, 8, 7两两互素,所以有解 M?56,M?35,

17、M?40m?280 . 利用孙子定理求得 312,40M?1(mod7)56M?1(mod5)35M?1(mod8)解同余方程,得到 ,321 ,?33,?1,MM?M32. 1于是所求的解为 x?56?1?(?3)?35?3?(?5)?40?3?1(mod280) x?267(mod280). 得 17x?2(mod25)（三解同余方程10分） 答案 17x?2(mod25) 解：因为（=125，17），所以同余方程有一解 ?2?216?6x?(mod25) 17?844?6 24x?xy?3?0的整数解. （10分） 四求答案 3?x?4y ,?0xx, 所以解：因为 yx-1,-3,1,

18、3 为整数,所以因为只能取 x?3x?1?3x?1x?3412?y?11y?1y?1y?11?3421 , 从而原方程的解为, 2x) .(8分73(mod137)五判断同余方程是否有解，若有解，有几解答案 73()?1 2x13773(mod137)有解，所以同余方程 解：因为 由定理有解则有两解。 22yx?yx, （10分）六 证明：不存在整数1995成立使等式. 答案 221995成立。存在，使x yx证：假设有整数，y22被除余数为或. ，xy22被除余数为，或. xy 又1995被除余数为. 得出矛盾，假设不成立. 221995成立y存在，使故没有整数x，yx. a673b，试求a

19、，b的值. （10分）七 设72| 答案 解 728×9，且(8，9)1 a673ba673b 9| 8|，且 73b? b 8| 6 且 9|a6736 即9|22a，即a=5，所以 a=5，b=6 分）10整除最大的九位数（11不重复地写出被9，8。，2，1八用答案 因为被11整除的数的特征是奇数位数码之和减去偶数位数码之和为11的倍数,要写最大的九位 数,前面可用98765,然后对后面的数字进行调整,此时奇数位数码和比偶数位数码之和大7,只要 后面最大4或小7即可,小卖7不行,只能大4,刚好4,3之和比1,2之和大4,为了最大,后4位为2413, 所以所求数为987652413

20、. 浙江师范大学初等数论考试卷（E1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 十四、 填空（30分） 1、d（1200）= 。 M 。n2、梅森数是是素数，则n 。X、Y非负）的最大整数为3、不能表示成7X+6Y（ 。的幂指数是 2001的标准分解中1319993×5×7××14、× ）=1。，（5、13a+21b ，34a+55b）= 。已知（a b 。6、费尔马猜想是 7的倍数。127、写出的一个简化系，要求每

21、项都是 ）有解的充要条件是。aXb8、（mod m 20022002 除后余数为。9、被3 2Y+Z。可能的值为 ，10、X=3Y=4，Z=2，则X 答案 1、24， 2、素数 3、29 4、83 5、1 nnnx?y?z(n?3)无正整数解 6、7、7，35，49，77 (a,m)|b，8 、9、1 -5，-4，-3，-2 10、 十五、 解方程组（10分） x?1(mod7)?x?2(mod8)?x?3(mod9)?答案 解 因为7,8,9两两互素,所以可以利用孙子定理. M?72,M?63,M?56,m?494 321解同余式 ,)(mod9M?15663M(mod8)?1)(m1od7

22、2M7?, 321 ,4?,M?4,M?1M?32 于是所求的解为得到.1 x?72?4?1?63?(?1)?2?56?(?4)?3(mod494) ?510(mod494)?478(mod494). 分）叙述并且证明带余除法定理。（10十六、 答案 使得且带余除法定理： 并且成立 , 是惟一的 证明：（存在性）作整数序列： 成立使得 必存在一个整数 对于 即 令 惟一性）：若使得 又 即又 从而有 是惟一的 2x?2x?20 （mod 十七、 解方程）（10分） 答案 x?1,2(mod5)x?1(mod5)22?2xx解：由得x=1+5t代入对0 （mod5）得 t?1?5tx?6?25t

23、)t4?1(mod522x?2x （有得mod25）有代入x=1+5t0 11 14t?2(mod5)t?2?5t22x?x2代入有mod1250 （）有 代入211 x?56(mod125)t56?125?x， 2 x?67(mod125) 同理另一解为 Pa 分）10（。a！（）|设为素数，试证对任整数，都有 十八、 答案 证：由威尔逊定理)p?1(mod(p?1)!? p)p?a(moda ，两式相乘即得由欧拉定理 p)pa(m1)!aod?(p? Pa即有a ！|（） 22无整数解+5z+3=0不定方程x-2xy 证明十九、 答案423?y5?yzx? :若不定方程有解，则证 4 y,

24、z 对0，1(mod5),但y 43(mod5) ，2y-3-5z ）（mod 50，1，4而一个平方数44?5z?y3不是整数， y -5z-3不可能为完全平方，即 所以原不定方程无解。 P12?M 10分）（二十、 证明梅森数>为素数）。（的素因子一定为型。P答案 ppq ， q2证：设的质因数，由于是2-12-1为奇数， ppq ）（2mod -1,即21） （2·q=1,由条件q| pq ）=1，21（mod 又 （q,2） xp 21（mod ）成立最小正整数设i是使得 pipip 则与|若1<<为素数矛盾，则有-1 p|q i=p, -1, q-1为偶数

25、，2|q又 +1 pk即q=2 2p|q-1,q-1=2pk, 的素数有无穷多个+14m证明形如 分）（八、10答案 证：假设形如4m+1的素数只有有限个，设为pp， k12+1的最小素因数p是奇数，且p与pp不同，设p为4显然(2pp)m+3形的k1k122+10（)mod p） )整除(2pp+1，表明(2pp素数，但pkk11p?1?1?2m?1 ?1?1(?(1)?)?12?1? ?p p?2px (-1)(mod 即)，但矛盾，有解，即? p为4m+1形，这与4m+1的素数只有k个矛盾 浙江师范大学初等数论考试卷（F1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业

26、*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 二十一、 填空（36分） 1、d（1000）= 。（1000）= 。（1000）= 。 (n?1)!?1?0(modn)1?则n为 2、n。 ， 若 3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 。 4、7在2003！中的最高幂指数是 。 5、（1515 ，600）= 。 ax?b(modm)有解的充要条件是 6、 。 7、威尔逊定理是 。 8、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。 ?0.32、 9化为分数是 。 20032的末位数是 10、。 11、-2.3= 。 nP）

27、= ）（ 。 12、（1）（P x1?x是 7整除，则最小的 13、。 4且能被、5、 88888?66666?14、被7除后的余数为 。 5050 15、两个素数的和为31，则这两个素数是 。 16、带余除法定理是 。 答案 1、16，2340，9360 1、素数 2、7 3、331 4、15 (a,m)|b 5、(p?1)!?1?0(modp) 6、7、5，25 29 90 8、9、8 10、 -3 np 、 11140 、1213、 5 2，、 29 14a?bq?r,0?r?b a，b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q，r使得 二十二、 解同余方程组（12分） x?2(m

28、od5)?x?3(mod8)?x?1(mod7)? 答案 解：证：因为5,8,7两两互素,所以可以利用孙子定理求解. M?56,M?35,M?40,m?280. 321解同余式 ,40M?1(mod7)81(mod5)35M?156M(mod?, ,321 ,3M?M?3,M?1,32. 得到1 于是所求的解为 x?56?1?2?35?3?3?40?3?1(mod140) ?267(mod280) 二十三、 叙述并且证明费尔马小定理。（12分） 答案 pa?a(modp) 费尔马定理：对任意的素数p有 ppp|aa?a(modp)， ，有证明：设p|a，则有 p?1a?1(modp)两边同乘，

29、由欧拉定理有a a若（，p）=1 pa?a(modp) 即有 2p(x)?x?bx?c当x?0,1 二十四、 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数，证p(x)?0没有整数根（明 6分） 答案 证：由条件可得c为奇数，b为偶数 2q?bq?c为奇数，而p（q），若p（x）=0有根qq为偶数，则有=0为偶如果 2q?bq?c为奇数，而p（数，不可能，若q为奇数，则有q）=0为偶数，也不可 p(x)?0没有整数根能，所以 二十五、 设为奇素数，则有（8分） p?1p?1p?11?2?(p?1)?1(modp)?）1（ ppp)0(modp?(p?1)?21? 2）（ 答案 证：由欧拉定理1?1p?

30、p?1p)(modp?p?1(?p?1)?11?1?21?1? 由费尔马定理11p?p?1p?)(modp?p?(p?1)1?10?21?2? 证明：对任何正整数，二十六、3n?25m?455k?5?43?|有 （6分） 答案 =1由欧拉定理得（3，11）11）=1，（4，11）=1，证：（5，101010)411?1(mod)11?1)1(mod1135(mod? ，进一步有， 555)11?1(m3?1(mod11)45od?1(mod11) ， 对任何正整数，有3?3245k?25m?4n5)0(m?4?4od3?311?55 即有35n?55k?2m?43?54 | 3 分）是无理数。

31、证明：（8 答案22y3x?322b3a?a即证：假设，容易知道是有理数，则存在自数数a,b使得满足 22b3b?a3b?a?a?b，=3a代入得设为3的倍数，,又得到b，是3的倍数，设a111 122b3a?ab? 这里,则1112 且有a>b>a>b>>bb> a这样可以进一步求得a，2221213为无理数但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾， 22,n?n 6分）4 二十七、试证：对任何的正整数不能被整除。（答案 22n?24k?2，不能被4证：n=2k时有整除 = 22n?24k?4k?3，不能被4n=2k+1当时有整除 = 所以有 2n,n

32、?2不能被4整除 对任何的正整数 4x?5y?10 分）6（解不定方程 二十八、答案 解：因为（4，5）=1，所以不定方程有解，由观察得有特解x=0，y=5 x?0?5t?y?2?4tt?为整数所以不定方程的解为 浙江师范大学初等数论考试卷（G1卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理 一、填空（30分） 1、d（1001）= 。（2002）= ax?ax?.ax?c有解的充要条件是2、 。 n221n1 3、不能

33、表示成5X+6Y（X、Y非负）的最大整数为 。 4、2003！中末尾连续有 个零。 5、（21a+4，14a+3）= 。 222x?y?z6、通解为 。 7、两个素数的和是39，这两个素数是 。 8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 。 9、p,q是小于是100的素数，pq- 1=x为奇数，则x的最大值是 。 答案 1、6，4032 (a,a,.a)|c 、2n12 3、19 4、499 5、1 6 7、2，37 8、77 9、193 二、解同余方程组（12分） x?1(mod4)?x?1(mod5)?x?5?2mod7)? 答案 解：因为4,5,7两两互素,所以可以利用孙子定理

34、求解 x?1(mod4)?x?1(mod5)?x?3mod7)? 原方程即为 M?35,M?28,M?20,m?140. 312解同余式 ,20M?1(mod7)(mod35M4?1)od528M?1(m, ,312 ,1?M?M?2,M?1,. 得到321 于是所求的解为)(mod140?(?31?20?(?1)?x?35?(?1)?128?2? ?81(mod280) ).(mod140x?81 所以 三、证明费尔马小定理。 （10分） 答案 pa?a(modp) 费尔马小定理：p为素数，则 p?1pa)(m1odp?)p?aa(mod，则=1，p，两边同乘P即得） 证：（1）当（a pp

35、p|a,1a,p)?(a?a(modp) ，即有，有）当（2则P|a pa?a(modp)所以都有 四、明：设是自然数的正因子，则有 1d(n)? nd?2 （10分） nd答案 n d证：也是n的因子，而n的因子数为d（n）的因子，则设d是n 1nd(n)? )nd2(?dn(?d)n?d2 d 即有，所以 n|nddndnd 所以 五、为奇素数，则有（10分） ppp(modp)?(ba?ab 答案 证：由费尔马小定理知对一切整数有papa） （pbPb)，( 由同余性质知有 ppa+bp+ba) (pa+bp) 又由费尔马小定理有（a+b） (ppppa+b) ）(（a+b 2x?20x

36、y?1996?0。六、用初等方法解不定方程 （10分） 答案 20499?10xy?xx?2x ，则有即有解：由题意知x为偶数，设111 499?10y)x(x 11499,?1 ，从而得由499为素数有两因子只能取 x?2x?2x?998x?998?y?50y?50y?50y?50? 七、解不定方程式15x+25y=-100. (8分) 答案 解：因为（15，25）|-100 所以方程有解 x?0,y?4 原方程的一组特解为 所以原方程的解为 x?5t,y?4?3t,t?Z 八、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被15整除的六位数（10分） 答案 987645 浙江师范大学初等数论考试卷（H卷） （20042005学年第一学期） 考试类别 使用学生数学专业*本科 考试时间120分钟表 出卷时间*年*月*日 说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理。 二十九、 填空（30分） 1、（1000）= 。 (n?1)!?1?0(modn)1?则2n为 若 n、， 。 3、7在2003！中的最高幂指数是 。 4、（1515 ，600）= 。 ax?b(modm)有解时有 、5 个解。 6、带余除法定理是 。 7、写出6的一个简化系，要求每项