六年级奥数数论质数合数约数倍数ABC级学生版

1、 质数合数、约数倍数 知识框架 一、 质数与合数 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。 一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个； 除了2其余的质数都是奇数； 除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

2、考点： 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p的平方数p，我们可以先找一个大于且接近如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如：149很接近，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是1212?144?质数. 常用质数整理：101

3、、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017 三、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； 被排除在约数与倍数之外(4)0 求最大公约数的方法1. 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起

4、来? 2221?3?7(231,252)?73252?2? ；，例如：，所以11?3?723112218短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如： ?(12,18)?2?3?6； ，所以63932? 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的) 例如，求6

5、00和1515的最大公约数：；28513152315?600?1515?600? ；所以1515和600的最大公约数是15030?15915?2?315285?130?28530? 2. 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； nn，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以几个数都乘以一个自然数 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的b即为所求 分子的最大公约数b； a4. 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的；

6、 （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 四、 倍数的概念与最小公倍数 1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 分解质因数的方法； ?22227252?2?3?7?11?2231,252?32772；，所以 例如：113?231?7 短除法求最小公倍数；21812?；，所以 例如： 36?3?18,122?2?369332a?b ?ba, (a,b)3. 最小公倍

7、数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数 4. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 a；求出各个分数分母的最大公约数先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数b1553,53即为所求例如： ； ?,b 4(4,12)412a?1,441?4,?例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.? 2,323?5. 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 五、 最

8、大公约数与最小公倍数的常用性质 1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。m为、的最大公约数，且，那么互质，所以、的最小如果BBAAbA?maaB?mb、 ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：公倍数为mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； mabmmb?A?B?ma?最大公约数是、及最小公倍数的约数 BABA?A?B2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 (a,b)?a,b?a?b，此性质比较简单，学生比较容易掌握。即 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最

9、小公倍数 例如：，210就是567的最小公倍数 21076?5?b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如：，而6,7,8的最小公倍数为336?3362?168876? 注：性质3不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大 。”几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大“小关系，即六、 求约数个数与所有约数的和 1 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 32?72?5，所以它的约数有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24如:1400严格分解质因数之后为个。(包括1和

10、1400本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 33?7?25?3210

11、00?，所以21000如：所有约数的和为2323 748807)?)(1?3)(1?5?5?(1?2?25?2)(1?此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 重难点 ，质数的个位数特征2、5（1）特殊质数 ）要注意观察约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；（2任何一个数字都可以表示为“（3）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟.? ”的结构，而且表达形式唯一 例题精讲 . ） 2009这三个数中，质数的个数是（ 1】在19、197、【例3 ) D 2 () ( B ）（A 0 () 1 C 之间，3.14159

12、27和3.1415926的值在年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出1500大约 【巩固】的值计算到了小数位小数的人现代人利用计算机已经将的值精确到成为世界上第一个把7点后515亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是质数？ 【例 2】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌码是四位数同时，她感到这个码很容易记 aabba和是两个数字()住，因为它的形式为具有这种形，其中，而且和都是质数b?babaab式的数共有多少个？

13、【巩固】 自然数是一个两位数，它是一个质数，而且的个位数字与十位数字都是质数，这样的自NN然数有多少个？ 【例 3】 一个两位数，数字和是质数而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数满足条件的两位数为 【巩固】 三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有 个。 AA26 【例 4】 用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于_ 【巩固】 ，那么这些质数中最大的一个可能是多少？21如果一些不同质数的平均数是 ?、cba、b342ca?b?b? 【例 5

14、】 。 都是质数，如果，那么 ca ，那么，都是质数，并且。 【巩固】 ，_ ?bba?d?44c?33b?c66?cd 将 】 6【例10拆成60个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？ 【巩固】 将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？ 。【例 7】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是_，最大是_ 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这【巩固】 个数是几？ LLL及它本身以外，不能被1)除1的全体正整数如果中的数(1用【例 8】 不算表示所有被3除余LL质数”是什么？

15、8的任何数整除，称此数为“个“质数”问：第 【巩固】 将八个不同的合数填入下面的括中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ） 【例 9】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是_. 【巩固】 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？ DCBCABCDA，+，=187不等于1，也不等于 10【例】 两个整数、或的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知BA 等于多少？+那么 caa b cb，则它们的最大公【巩固】 若 , 的自然数，且, 是三个互不相等的大于0 = 11

16、55 + + 约数的最大值为 ，最小公倍数的最小值为 ，最小公倍数的最大值 为 【例 11】 在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？ 【巩固】 恰有8个约数的两位数有_个 【例 12】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？ 【巩固】 加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?（假设这三

17、道工序可以同时进行） 111得优，得良，一次考试，参加的学生中有【例 13】 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 27350人，那么得差的学生有多少人？ 111得优，得良，得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满参加的学生中有【巩固】 一次考试，100 473人，那么得差的学生有多少人？ 【例 14】 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问ab有多少种可能的数值? 【巩固】 已知a,b,c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公倍数是270。求b与c的最小公倍数。 【例 15】 如图，在长500米、宽300米的长方形广场的外围，每隔2.5米摆放一盆花，现要改为每隔2米摆

18、放一盆花，并且广场的4个顶点处的花盆不动，则需增加_盆花；在重新摆放花盆时，共有_盆花不用挪动。 【巩固】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？ 课堂检测 【随练1】 炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组例如，时，3，5，7是间隔为2的3

19、个质数；5，11，17是间隔为6的33k?个质数：而 ， ， 是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3 个质数即可) 【随练2】 用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是 。 【随练3】 用0，1，2，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法请将所有方法都列出来 个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 【随练4】 三 米，乙每分钟走400米的环形跑道行走，甲每分钟走80、乙两人同时从5】 甲A点背向出发，沿【随练 A点相遇？ 50米，两人至少经过多长时间才能在 家庭作业 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算中圆圈内依次写出了前251】 图【作业 相邻二质数之积填在下行方格中.“和数”5甲填128.质数列97.28937111356.3515.”积数乙填“ 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 【作业2】 从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ ABCABCABC的最大值为=1