一轮复习配套讲义第11篇 第2讲 古典概型

1、第2讲 古典概型 最新考纲 1理解古典概型及其概率计算公式 2会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 知 识 梳 理 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 古典概型的概率公式3包含的基本事件的个数A. A)P( 基本事件的总数 悟感 辨 析 1古典概型的意义“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事(1) (件是“发芽与不发芽”掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结(2) (果是等可能事件个

2、兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每3教材习题改编(3)()有则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为位同学参加各个小组的可能性相同，1) .( 3 古典概型的计算2，所有的基本事件构成集中基本事件构成集合A(4)在古典概型中，如果事件A?Acard?) I合，则事件A的概率为.( ?cardI取两点，则该两点)等可能(的正方形的中心和顶点这五点中，随机1从边长为(5)2间的距离为的概率是0.2.() 2(6)(2013新课标全国卷改编)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.() 感悟提升 1一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点

3、有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型，(1)、(2)不符合定义 2从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含card?A?m，如(4)；根据古典概型概率公式计算，如m个元素的子集，故P(A) n?cardI (6)(5)、 简单古典概型的概率考点一 道题解 【例1】现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2 答试求： 2道题都是甲类题的概率；(1)所取的 道题不是同一类题的概率(2)所取的22 )取法道有2nC15(种从解 6道题中任取62种结果6C mA(1)记“

4、所取的2道题都是甲类题”为事件，则A发生共有42m6. )所求事件概率P(A 5n1511CCB，道题不是同一类题”事件为(2)记“所取的2B事件包含的基本事件有2488(种)，则事件B的概率为P(B). 15规律方法 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件 包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、注意区分排列与组合，以及计数原理的正(2)列举”树状图“不遗漏，可借助确使用. 学生用书第183页 【训练袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标分别1,2,；蓝色卡片两张，标分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两

5、张卡片颜色不同且标之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标之和小于4的概率 2解 (1)从5张卡片中任取两张，共有nC10种方法 511CCA包含基本事件m记“两张卡片颜色不同且标之和小于4”为事件A，则2213个 m3由古典概型概率公式，P(A). 10n2(2)从6张卡片中任取两张，共有nC15个基本事件， 6记“两张卡片颜色不同且标之和小于4”为事件B，则事件B包含基本事件总数11111(CC)(CC1)mC8， 21223m8所求事件的概率P(B). 15n考点二 复杂的古典概型的概率 【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次

6、，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率； (2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆2215y的外部或圆上的概率x 解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n6636种等可能结果，为古典概型 (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对 立事件，记为B. 11 CC9. 事件B包含的基本事件数m33913 P(B)，则P(B)1P(B)， 43643因此，两数中至少有一个奇数的概率为. 42222 y在圆x表示“点(x，在圆xyy15的内部记为事件C，则)C(2)点(x，y)15上或圆的外部” 又事件C包

7、含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个 8227 C)1P(C)，从而)P(1. P(C 99369722. 15上或圆外部的概率为在圆xy点(x，y) 9规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成 计算错误二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解 (2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件 A)求解P( 的概率公式P(A)1【训练2】 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高

8、(单位：米)及体2)如下表所示： 单位：千克/米重指标( A B C D E 身高1.82 1.79 1.73 1.751.69 体重指标20.9 19.2 23.3 18.525.1 (1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率 解 (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可

9、能的 选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为 31P. 26(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，共)E，D(，)E，C(，)D，C(，)E，B(，)D，B(，)C，B(，)E，A(，)D，A(，)C10个 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为P

10、3. 10考点三 古典概型与统计的综合问题 【例3】 (2013广东卷)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零 件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 (1)根据茎叶图计算样本均值；12(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人根据茎叶图推断该车间 名工人中有几名优秀工人？ 1名优秀工人的概率12名工人中，任取2人，求恰有(3)从该车间(2)(1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值审题路线 用组合数公人中优秀工人的个数(3)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12利用古典概型概率公式式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数， 计算1 211

11、9x20(17解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则 6 ，222530)22. 故样本均值为 名，日加工零件个数大于样本均值的工人有2(2)12. 故优秀工人的频率为 361 ，4(名)该车间12名工人中优秀工人大约有12 3 名优秀工人故该车间约有411，所C32C名优秀工人”为事件(3)记“恰有1A，其包含的基本事件总数为84266. C有基本事件的总数为121632. )(由古典概型概率公式，得PA 336616所以恰有1名优秀工人的概率为. 33 学生用书第184页 规律方法(1本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率 的正确计算

12、(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点 【训练3】 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下： 分组(重量) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100) )频数(个5 10 2015 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在90,95)的频率； (2)用分层抽样的方法从重量在80,85)和95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在80,85)的有几个？ (3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在80,85)和95,10

13、0)中各有1个的概率 解 (1)由题意知苹果的样本总数n50，在90,95)的频数是20，苹果的重量在2090,95)的频率是0.4. 50(2)设从重量在80,85)的苹果中抽取x个，则从重量在95,100)的苹果中抽取(4x)个 表格中80,85)，95,100)的频数分别是5,15， 515x(4x)，解得x1. 即重量在80,85)的有1个 (3)在(2)中抽出的4个苹果中，重量在80,85)中有1个，记为a，重量在95,100)有3个，记为b，b，b. 321任取2个，有ab，ab，ab，bb，bb，bb共6种不同方法，记基本事件总331221213数为n，则n6. 包含的基本事件A

14、，事件A个的事件记为1中各有95,100)和80,85)其中重量在为ab，ab，ab，共3个， 32131由古典概型的概率计算公式得P(A). 26 1古典概型计算三步曲 第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个 2确定基本事件的方法 (1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数 3较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算 易错辨析10基本事件计数不正确致误 【典例】 (2013江西卷，文)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以O为起点

15、，再从A，A，A，A，A，A(如图所示)这6个点中任642135 就去打球，X0X取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为，若 2b15，得b2a，当a1时，b3,4,5,6四种情况；当a由解析 e 2a2时，b5,6两种情况，总共有6种情况又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，61b)共有36种结果所求事件的概率P. 6361 答案 6三、解答题 9甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； 名老师来自同一学校的概率2名，求选出的2名教师中任选6若从报名的(2)11解 (1)从甲、乙两校

16、报名的教师中各选1名，共有nCC9种选法 33111CC1名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件总数m记“222m44，P(A). 9n2(2)从报名的6人中任选2名，有nC15种选法 6记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件总数m26. 2C362选出2名教师来自同一学校的概率P(B). 51510(2014郑州质检)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率

17、 解 (1)由分层抽样定义知， 213；从小学中抽取的学校数目为6 7142114从中学中抽取的学校数目为62； 7142171. 从大学中抽取的学校数目为6 72114故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1. (2)记“抽到小学、中学各一所”为事件A， 11C6(种)抽法， A则事件共有基本事件mC32215种抽法C 又从6所学校任抽取2所有n6m62因此，所求事件的概率P. 515n能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 ，(1b与向量)n，m(a，记向量n和m连掷两次骰子得到的点数分别为1?，0? )的概率是1)的夹角为.则( 2?5751 D. B. C.A.

18、621212nm?0，?， ，解析 cos 2?222nm61mn满足条件，mn的概率为. 636155mn的概率为. 1226157?0，?的概率为. 212612?答案 C 2(2014合肥模拟)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) 1234A. B. C. D. 55552解析 第一步先排语文书有A2(种)排法第二步排物理书，分成两类一类2是物理书放在语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选两个进行排2列，有A12(种)排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本4数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3种排法因此同一科目的书都不5相邻共有2(12223)48(种)排法，而5本书全排列共有A120(种)， 5482所以同一科目的书都不相邻的概率是. 5120答案 B 二、填空题 3某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为_(用数字作答) 6解析 法一 6节课的全排列为A种，相邻两节文化