4复数 中等难度 讲义 2

1、复数 引入 复数的引入 （一）复数的诞生 1545年，意大利数学家卡丹（或“卡丹诺”1501-1576）发表重要数学著作伟大的艺术，在书中提出了三次方根的求根公式同时，提出了另一个问题，有没有两个数的和是10，乘积是40？ 在实数范围内，我们可以这么思考：这两个数必须都是正数，但两个正数的和一定时，积有最大值，和为时，积的最大值为，故这样两个数一定不存在 10252的两个根，这从另一个角度，由韦达定理知这样的两个数是一元二次方程0?x?40x?10个方程的判别式小于零，故没有实数解 155?155?，但并不清楚这有什么意义 与卡丹给出答案： ?1是什么？于是引发了一个重要问题， （二）复数与虚

2、数 ?1为“虚数，于是大家称i” 笛卡尔并不承认，并起名为“imaginary number”莱布尼兹说：“上帝在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，介于存在与不存在之间” 欧拉说：“它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们是纯属虚幻” （三）复数的意义 ?1后，所有的二次方程都有根，由此可以得到所有的次方程都有根，且必有个引入nn根（重根重复计算） 解读 一、复数的概念 2?1i，1i?：1虚数单位； i2复数：所有形如，复数通常用小写字的数就称为复数（plex number）)i(a，Rb?a?b zzzb的，其中表示，即叫做复数叫

3、做复数的实部，母a)a?Rb?bi(a，z? 虚部 教师内容: 3?4i33?4i的虚部为的实部为，虚部为；注意虚部是一个实数如 44?z?a?bi（3复数的分类：） Rb?a，z0?b ；若）real number为实数（，则 zz称为纯虚数 ，时，为虚数（imaginary number）；若，则0b0?0?a?b 教师内容: 如是一个虚数，但不是一个纯虚数；是一个纯虚数 4i?3i?z是实数、虚数、纯虚数时，若问分别为多少？ 可以举例：m1)im(?m?1)?z?(zzz是纯虚数； 是虚数；是实数1?m?1?m1m?4复数集：全体复数所构成的集合，也称复数系，常用表示，即C? Rb?i，

4、a?RC?，z|z?a?b 教师内容: *数系都用黑粗体的字母表示，区别常见数集的关系为：C?QRN苘苘NZ于普通的集合等手写时有时习惯多加一道竖线加上区别 RC，5复数相等与比较大小： ?且；相等的复数： ddib?a?bi?c?ca?比较大小：虚数不能比较大小，只有实数可以比较大小 教师内容: z?zz，z?R；如果出现，则一定有注意：如果题目中出现，则一定有0z?2112复数能比较大小的说法是错误的，复数不能比较大小的说法也是错误的 Rz?两个复数能比较大小当且仅当它们都是实数 2， 6对所有的实系数一元二次方程0?cax?bx0)(a? 2bac?b42且两根但有两个虚根，若则此方程没

5、有实根，0?4?b?aci?x? aa22 ）（讲完这个知识点再讲例2互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现 二、复数的几何意义 教师内容: 如何引出复平面与复数的几何意义，下面提供一个参考： 实数的几何意义：实数与数轴上的点一一对应 0对称， 表示数轴上另一个点，它们关于如表示数轴上一个点，11? ，如图，得到O也可以理解成绕着原点逆时针旋转180?11? ?90 ：这相当于两次逆时针旋转 在如图所求的位置，就是绕原点逆时针旋转，故，故虚数?90ii11i?1?i? 它不在数轴上，在与数轴垂直的直线上 由此得到启发，可以建立一个平面直角坐标系来表示复数，这就是复平面年提出的，这对复数被承认

6、起到了很大的推用平面来理解复数是高斯在1831动作用，建立复平面后，复数从一个抽象的概念变得具体，并与平面向量建立 起了联系这里的引入我们会在复数乘法的几何意义中进一步阐述，这个内容我们会放在 同步讲解复数时，那时我们会进一步介绍复数的三角形式及乘除法的几何意义 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面1实轴与，轴的单位是在复平面内，轴叫做实轴，轴叫做虚轴轴的单位是xxi1yy 对应复数虚轴的交点叫做原点，原点00)(0, OZ 向量复数有序实数对点iz?a?b?)，ab(a，b)Z( ：2复数的模OZiba?，记作，则向量设的长度叫做复数的模（或绝对值），bi(b?R)aOZ?a?

7、 22ba?a?bi|?| ，|?|aib 三、复数的运算: 教师内容要求是与实数运算一定是相融复数的运算是很自然的，但它是人为定义出来的，的，不必深究这里的运算规律，直接按照常理运算即可讲完运算可以接着做 后面的练习 1复数的加法)id()?b?zdi?z?(a?ccz?za?bi? ，定义定义：设)R?b(a，?R)(c，d2112 复数的加法运算满足交换律、结合律 几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则 ：2复数的减法)ib?da?c)?(c?z(a?bi)?(?di)?(?z 定义：21 几何意义：复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 复数的乘法3)i?adbc

8、ac?bd)?(?z?z(abi)(cdi)? 定义：21 复数的乘法符合多项式的运算，且满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律 ：4共轭复数如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数 zz?a?biibaz? 表示，即当复数的共轭复数用时，z?zz共轭的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且共轭复数的模相等 2z?zz 一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数模的平方即 : 教师内容 字本意：拉犁的两头牛牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走轭”“ 共轭即为按一定的规律相配的一对通俗点说就是孪生2222xyxy 它们共渐近线与称为共轭双曲线，有

9、共轭双曲线的概念，1?1? 2222abab2 z?zz复数的除法就是引出共轭复数后，就可以对复数进行实数化，即利用 上下同乘分母的共轭复数 : 教师内容 讲完共轭复数，可以先讲下面的例子加深对共轭复数的理解 _例：在下列命题中，正确命题的有 zzzz? 对任意复数，有对任意复数，有为纯虚数Rz?z? z 的一个充要条件是；是虚数的一个充要条件是zz?z?RzR?zzz?z 错误，错误，为实数时，也有；可以为答案：；0Rz?z? 复数的除法5i)di)(c?i(a?ba?b ，?di)i)?(c?(a?b 22d?dicc 1ziia?b11a?bz （，称为复数）的倒数0z? 222|bi)

10、a?zb?za?bi(abi)(a?z: 教师内容复数的乘法与除法也有几何意义，我们会在春季同步时进行介绍，春季还会介 kn?的性质及与此相关的较复杂的复数的绍复数的三角形式与棣莫佛定理，与i 计算 这时复数首先要用模长与角度表示出来，复数乘法可以看成旋转加上模长的伸缩， 2?45 ，角度为表示模长为如（称为幅角）的向量，i1? 2?45倍，即表示这个复数逆时针旋转一个复数乘以，模长再伸长到原来的i?1 如 ，如下图7i?i)?1?4i)(1(3? 这样就非常好理解了2ii)?(1i)(1?但这些内容我们会在春季同步时稍微展开，可以在假期有同学发问时适当引导， 不建议假期时展开 典例精讲 一选

11、择题（共13小题） 的实部为 春?岑溪市期末）已知i为虚数单位，若复数1（2018 2，则|z|=（ ） D13 CA5B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算，由已知求得a，得到z，再由复数模的计算公式求解 的实部为2，=解：z=【解答】 ，得a=5， z=23i， 则|z|= 故选：C 2（2018春?拉萨期末）已知复数z满足：|z|=|32z|，且z的实部为2，则|z1|=（ ） D C BA3 【分析】设z=2+yi，32z=12yi根据复数z满足：|z|=|32z|，可得 ，解出y=进而得出 【解答】解：设z=2+yi，32z=32（2+yi）=12yi 复数z满足：|z|=|32z|

12、， ，= 2±y1=1，解得y=化为： ii1=1±z1=2± =1则|z|= B故选： 201832）2018i2iii?20183（春石家庄期末）为虚数单位，则+3i+=（ A2018+2017iB10081008i D10101009iC1010+1009i 【分析】利用错位相减法及复数代数形式的乘除运算化简求和 232018，2018i+2i+3i+【解答】解：令S=i+ 2320182019，2018i+2i2017i+则iS=i+ 23201820192018iii+（1i）S=i+i+两式作差可得： =1+2019i = = =1010S=+1009

13、i 故选：C 2=iz，则下列四个判断中，正确的个?皇姑区校级期中）复数z满足4（2018春数是（ ） z有且只有两个解； z只有虚数解；z的所有解的和等于0； z的解的模都等于1； A1B2C3D4 2=i求解a，b，由z的值，则z可求，然后逐一分设z=a+bi（a，bR）【分析】析四个选项得答案 【解答】解：设z=a+bi（a，bR）， 2222+2abi=i=a，+由zb=i，得（a+bi） ， 解得：或 或z= ，z= 则z有且只有两个解；z只有虚数解；z的所有解的和等于0；z的解的模都等于1 都正确 故选：D 对应的点在射线z z?20185（秋永定区校级月考）复数满足 且该复数 y

14、=x（x0）上，则复数z=（ ） A22iB2+2iC2+2iD22i 列式求得m值，则答案可），结合 【分析】由已知可设z=m+mi（m0 求 【解答】解：复数z对应的点在射线y=x（x0）上， 可设z=m+mi（m0）， ，m=2 ，得 由 z=2+2i 故选：B 6（2018春?武清区期中）在复平面上，所有满足|z+1|+|z1|=4的复数z对应的点都在某一（ ） A圆上B抛物线上C椭圆上D双曲线上 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z对应的点在某一椭圆上 【解答】解：复平面上，复数z满足|z+1|+|z1|=4， 则z对应的点M到点F（1，0），点F（1，0）的距离

15、和为4， 21即|MF|+|MF|=4，|FF|=24， 2112复数z对应的点M在以F、F为焦点，长轴长为4的椭圆上 21故选：C 7（2018春?临沂期中）若i是虚数单位，复数z的共轭复数是 ，且2i =4i， 则复数z的模等于（ ） 25CD5AB 【分析】先求出 =4+3i，再根据共轭复数的定义求出z，则复数z的模可求 【解答】解：2i =4i， =4+3i， z=43i， ，z|=5 故选：A 2+z+m=0有两虚数根，且|8（2018?静安区二模）若实系数一元二次方程z|=3，那么实数m的值是（ ） D1 B1CA 2+z+m=0有两虚数根，解得：【分析】实系数一元二次方程zz=，

16、利 用|=3，即可得出 2+z+m=0有两虚数根，【解答】解：实系数一元二次方程z 解得：z=， =3，解得m= 则| 故选：A 2+px+q=0的一个根（其中i为松江区一模）若2i是关于x的方程x2018?9（虚数单位，p，qR），则q的值为（ ） A5B5C3D3 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解 2+px+xq=0的一个根，2i是关于x的实系数方程【解答】解： 2+px+q=0的另一个根，+i是关于x的实系数方程x2 2=5i|i）=|2则q=（2i）（2+ 故选：B 10（2018春?福州期中）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|1+iz|，则z在

17、复平面内对应点的轨迹是（ ） A直线B圆C椭圆D抛物线 【分析】设z=x+yi（x，yR），代入|z+1|=|1+iz|，求模后整理得答案 【解答】解：设z=x+yi（x，yR）， 代入|z+1|=|1+iz|，得|（x+1）+yi|=|（1y）+xi|， ， y=0即x+ 在复平面内对应点的轨迹是直线z 故选：A 11（2017?天心区校级学业考试）不等式|lo x4i|3+4i|成立时x的取值范 围是（ ） ， B（0，10A ，+） ）+）（8，（ 8，+）0，1D， C 2 或 ， ） 9【分析】利用复数的模推陈导出（ ，从而 由此能求出不等式|lo x4i|3+4i|成立时x的取值范

18、围 【解答】解：|lo x4i|3+4i|= =5， 22） 25，+（ 4 2） （ 9， 或 ， 或x8解得 8，+）， 的取值范围是4i|3+4i|成立时xx故不等式|lo 故选：C 12（2017秋?肇庆月考）设复数z满足（1+i）?z=i（i为虚数单位），则复数z对应的点位于复平面内（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z对应的点的坐标得答案 【解答】解：由（1+i）?z=i， ，得 ，位于复平面内第一象限）z对应的点的坐标为：（，则复数 故选：A 为纯虚数时，则实 （2017春?黄山期末）当复数 13

19、数m的值为（ ） Am=2Bm=3Cm=2或m=3Dm=1或m=3 【分析】由复数z为纯虚数可得实部等于0且虚部不等于0，求解即可得答案 为纯虚数， 【解答】解：复数 ，解得m=3 故选：B 二填空题（共4小题） 14（2018春?奉贤区期末）设复数z=3 i，z= +i，z= sin+（ cos+2） 21 +2z|的最小值为 2i，则|zz|+|z 21 【分析】设z对应点为A（3， ），z对应点为B（ ，1），z对应点为P 2122=3上运动，求得直线AB的y22），可得P在圆x）+（sin（ ， cos+ 方程，以及圆心到直线AB的距离，判断直线和圆的位置关系，即可得到所求最小值 【解

20、答】解：复数z=3 i，z= +i，z= sin+（ cos+2）i， 21设z对应点为A（3， ），z对应点为B（ ，1），z对应点为P（ sin， 21 cos+2）， 22=3上运动，2x）+（y可得P在圆 ），即为y=（xx而直线AB的方程为y，1= = ，）到直线AB的距离d=B且A，均在圆外，由圆心（0，2 即直线AB和圆相切，存在切点P，使得|PA|+|PB|=|AB|， 则|zz|+|zz|的最小值为|AB|=2+2 21故答案为：2+2 15（2018春?海淀区校级期中）设zC，|z|=1，则|z（1+i）|的最大值是 1+ 【分析】由复数模的几何意义，数形结合即可求得|z（

21、1+i）|的最大值 【解答】解：由题意可知，复数z的轨迹为单位圆， 如图， 的距离，的几何意义为单位圆上的动点到定点P+i）|z（1 + AP|=11+i）|的最大值为|（由图可知，|z + 故答案为：1 的虚部是虚数单位），则zz=2018春?涪城区校级期中）已知复数（i16（ 为 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【分析】 ，i=【解答】解：复数z=+ 的虚部为则z 故答案为： 2015= i ?17（2018春兴庆区校级期中）计算：（） 4代入计算即可得出，=i=1=i=【分析】由 4i=1=i【解答】解：=， 343503+×）=（i=i=（i）原式 故答案为：i 小题）

22、4三解答题（共 2为纯虚）0，且z为虚数单位，+春2018?日照期末）已知复数z=2bi（ib（18数 ；）求复数z1（ 的模=2（）若复数，求 2，再由实部为z0且虚部不【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简求得为0求得b，则z可求； ，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的=）把z代入（2 计算公式求解 222，+=4bbi，得z4bi=（2+bi）【解答】解：（1）由z=2+ 2为纯虚数，z±2；，解得b= 又b0，b=2， z=2+2i； =2i=，（2）= |=2 2）i，z=（2a5）i（a?2018春闵行区期末）已知复数z=1+（10a0），19（21 +zR 2（1）求实数a的值； （2）若zC，且|zz|=2，求|z|的取值范围 2【分析】（1）由已知求得 +z，再由虚部为0求解实数a的值； 2（2）数形结合求解|z|的取值范围 2）i，z