二元一次方程解决实际问题

1、二元一次方程解决实际问题列方程 （组 ）解应用题的一般步骤1 、审：有什么，求什么，干什么；2、设：设未知数，并注意单位；3、找：等量关系；4、列：用数学语言表达出来；5、解：解方程（ 组 ）6、验：检验方程（ 组 ） 的解是否符合实际题意7、答：完整写出答案（ 包括单位 ） 列方程组思想： 找出相等关系“未知”转化为“已知” . 有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： （1） 方程两边表示的是同类量； （2） 同类量的单位要统一； （3） 方程两边的数值要相等.列二元一次方程 解决实际问题类型：（ 1 ）行程问题：（ 2 ）工程问题 ; （ 3 ）销售中的盈亏问题; （ 4）储蓄问题

2、; （ 5）产品配套问题 ; （ 6）增长率问题; （ 7）和差倍分问题; （ 8 ）数字问题 ;（ 9）浓度问题 ;（ 10）几何问题 ;（ 11 ）年龄问题 ; （ 12）优化方案问题; （ 13 ）分配问题（ 1 ）行程问题三个基本量的关系：路程s=速度vX时间t时间t =路程s+速度V速度丫=路程s+时间t（ 2 ） 三大类型： 相遇问题：快行距+慢行距=原距 追及问题：快行距-慢行距=原距 航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度顺速-逆速=2水速；顺速+逆速=2船速顺水的路程= 逆水的路程甲、乙两地相距160 千米，一辆汽

3、车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行， 1 小时 20分相遇 . 相遇后， 拖拉机继续前进， 汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回， 在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。【变式】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。一列快车长168 米， 一列慢车长184 米， 如果两车相向而行， 那么两车错车需4 秒，如果同向而行，两车错车需16 秒钟，求两车的速度（ 2 ）工程问题三个基本

4、量的关系：工作总量=工作时间X工作效率；工作时间=工作总量+工作效率；工作效率=工作总量+工作时间 甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量，注：当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“ 1一家商店要进行装修， 若请甲、 乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成， 需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：(1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量， 同一题目中时间单位必须统一， 一

5、般地， 将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进 行分析。【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、 乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱万元. 若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司请你说明理由 .甲、 乙 2 个工人同时接受一批任务， 上午工作的 4 小时中， 甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40 个零件；下午2 人继续工作4 小时后，全天总计甲反而比乙多做420 个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件3)销售

6、中的盈亏问题利润问题：利润=售价一进价，禾1J润率=(售价一进价)+进价x 100% 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%乙商品的利J润率为 4%,共可获利46元。价格调整 后，甲商品的利润率为 4%乙商品的利润率为 5%共可获利44元，则两件商品的进价分别 是多少元 某商场用36万元贝进A、B两种商品，销售完后共获利 6万元，其进价和售价如下表:AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200求该商场购进A、B两种商品各多少件（4）储蓄问题银行利率问题：免税利息 =本金X利率X时间，税后利息=本金X利率X时间一本金X利率X时间X税率小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用

7、，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为的教育储蓄，另一种是年利率为%的一年定期存款，一年后可取出元，问这两种储蓄各存了多少钱（利息所得税=利息金额X20%教育储蓄没有利息所得税总结升华：我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱 . 第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为%.三年后同

8、时取出共得利息元（不计利息税） ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元、 李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元， 一年后全部取出， 扣除利息所得税后可得利息元。已知这两种储蓄的年利率的和为， 问这两种储蓄的年利率各是多少（注：公民应交利息所得税=利息金额 ？20 %（ 5 ） 产品配套问题 ;产品配套问题：加工总量成比例某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5只 . 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装（ 不考虑布料的损耗） ， 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套 总结升华： 生产中的配套问题很多， 如螺钉和螺母的配套

9、、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、 衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例， 依次设未知数， 用未知数可把它们之间的数量关系表示出来， 从而得到方程组， 使问题得以解决， 确定等量关系是解题的关键 .【变式】一张方桌由 1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做桌腿 300 条。 现有 5 立方米的木料， 那么用多少立方米木料做桌面， 用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少张方桌（ 6 ）增长率问题;增长率问题：原量X （1+增长率）=增长后的量原量X （ 1+减少率）=减少后的量某工厂去年的利润（总产值总支出）为 200 万元，今

10、年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元（ 1 ）若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元【变式2 】某城市现有人口42 万，估计一年后城镇人口增加%，农村人口增加%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。（ 7 ）和差倍分问题 ;和差倍总分问题：较大量 =较小量+多余量，总量=倍数X倍量爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶， 两厂决定在一周内赶制出这批帐篷 为此， 全体职工加班加点， “爱心” 帐篷厂和 “温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来

11、的倍、倍，恰好按时完成了这项任务 求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶【变式】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多， 而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍， 你知道男孩与女孩各有多少人吗（ 8 ） 数字问题 ;首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示两个两位数的和是68 ，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数， 也得到一个四位数， 已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。【变式】一个两位数，十位上的数

12、字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少【变式】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,求这个两位数9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。甲、乙两人做加法, 数后面少写了一个甲将其中一个加数后面多写了一个0,所以得和是2342,乙将同一个加0,所得和是65,求原来的两个加数。(9)浓度问题；溶液x浓度=溶质现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3 ： 7,乙种酒精溶液的酒精与水的比是4： 1,今要得到酒精与水的比为 3 ： 2的酒精溶液50kg,问甲、

13、乙两种酒精溶液应各取多 少总结升华：解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等。有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数。【变式】一种35%勺新农药，如稀释到 %寸，治虫最有效。用多少千克浓度为35%勺农药加水多少千克，才能配成 %勺农药800千克(10)几何问题；如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少3 厘米，补到较短边上去，则得用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少（11 ） 年龄问题 ;今年父亲的年龄是儿子的 5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，

14、求现在父亲和儿子的年龄各是多少今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一 . 试求出今年小李的年龄.甲、乙两人不知其年龄， 只知道甲像乙现在的年龄时，乙只有2 岁，又知等乙长到甲现在这么大时，甲已经是38 岁了，问甲、乙现在的年龄各是多少（ 12 ） 优化方案问题 .某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500 元； 经精加工后销售， 每吨利润涨至7500 元 . 当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140 吨， 该公司加工厂的生产能力是： 如果对蔬菜进行粗加工， 每天可以加工16 吨；如果

15、进行细加工， 每天可加工6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制， 公司必须在 15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三： 将部分蔬菜进行精加工， 其余蔬菜进行粗加工， 并恰好在 15 天完成 你认为选择哪种方案获利最多为什么某商场计划拨款9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。 (1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台， 用去 9 万元， 请你研究一下商场的进货方案； (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、 200 元、 250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案某牛奶加工厂现有鲜奶9 吨， 若在市场上直接销售鲜奶， 每吨可获取利润 500 元； 制成酸奶销售， 每吨可获取利润 1200 元； 制成奶片销售， 每吨可获取利润