【数学】数学旋转的专项培优练习题及答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.已知正方形A8CD的边长为4, 一个以点人为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别 与8C、DC的延长线交于点£、F,连接EF,设CE=a, CF=b.（1）如图1，当。=4正时，求b的值；（2）当。=4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；（3）如图3,请直接写出绕点A旋转的过程中。、b满足的关系式.【答案】(1)4/2 ： (2) b=8： (3) ab=32.【解析】试题分析：(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=4 7J, Z ACB = 45°.再CE = a=4&,可得NCAE = NAEC,从而可得

2、N CAF的度数，既而可得b二AC：(2)通过证明 ACF- ECA,即可得:(3)通过证明aACF- ECA,即可得.试题解析：(1):正方形ABCD的边长为4,.AC=4拒，Z ACB=45°.45°CE = a=4四,Z CAE = Z AEC= - =22.5°, /. Z CAF=Z EAF-Z CAE = 22.5%/. Z AFC=Z ACD-Z CAF = 22.5%. N CAF = N AFC, /. b=AC=CF= 472 ：(2) V Z FAE=45% Z ACB=45°, /. Z FAC+Z CAE=45°, N

3、 CAE + N AEC=45°, /. Z FAC =Z AEC.,oAC CF 472 CF又r N ACF=N ECA=135°, /. ACF- ECAt =，/. != , /. CF = EC CA 44728,即b=8.(3) ab=32.+曰一 l /、即 t丁AC CF4应bi提小：由(2)知可逆 ACF ECA,. =，Z. = .ab = 32.EC CA a2.如图1,在锐角 ABC中，NABO45。，高线AD、BE相交于点F.（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由：（2）如图2,将 ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M, AM与BE相交于点

4、N, 当DEIIAM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】（I） BF二AC,理由见解析；（2） NE=1aC,理由见解析.2【解析】试题分析：（1）如图1,证明八口信A BDF （AAS）,可得BF=AC：（2）如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC,由线段垂直 平分线的性质得：AB=BC,则NABE二NCBE,结合（1）得： BDF ADM,贝ljN DBF=N MAD,最后证明N ANE=N NAE=450,得 AE=EN,所以 EN=AC.2试题解析：（1） BF=AC,理由是:如图 1, V AD±BC, BE±AC, Z

5、 ADB=Z AEF=90", / Z ABC=45°, ABD是等腰直角三角形,J. AD=BD / Z AFE=Z BFD,Z DAC=Z EBC,在 ADC和 BDF中，ZDAC = ZDBF .ZADC = 4BDF ,AD = BD：. ADC合 4 BDF （AAS）, BF=AC：（2） NE=1AC,理由是：2如图2,由折叠得：MD=DC,: DE II AM, AE=EC, / BE±AC.AB=BCt . N ABE=N CBE,-由（1）得： ADC合 BDF, / a ADC合 & ADM,，A BDF级 ADM,?. Z DBF=

6、Z MAD,Z DBA=Z BAD=45°,/. N DBA - N DBF=Z BAD - Z MAD,即 N ABE=Z-BAN,Z ANE=Z ABE+Z BAN=2Z ABE,Z NAE=2Z NAD=2Z CBE,/. Z ANE=Z NAE=45% , AE二EN,1 EN=-AC.23.在平面直角坐标中，边长为2的正方形。43c的两顶点A、C分别在轴、工轴的正 半轴上，点。在原点.现将正方形O43C绕。点顺时针旋转，当A点一次落在直线'='上 时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线）'=x于点加，BC边交x轴于点N （如图）.（1）求边0A在旋转过

7、程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和4c平行时，求正方形。48C旋转的度数：（3）设的周长为，在旋转正方形Q45C的过程中，值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】（1） ti/2 （2） 22.5。周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的而积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：（3）利用全等把 MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：（1） TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45% 0A 旋转了 45°.X71A 0A在旋转过程中所扫过

8、的面积为七八一=-.3602（2） / MNII AC,/. Z BMN=Z BAC=45°, Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又 BA=BC, A AM=CN.又7 OA=OC» Z OAM=Z OCN, & OAM合 OCN./. Z A0M=Z CON=i （Z AOC-Z MON） =- （90°-45°） =22.5°.22旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45。-22.5。=22.5。.（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.证明：延

9、长BA交y轴于E点，则N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-N AOM./. Z AOE=Z CON.又；OA=OC, Z OAE=180o-90°=90°=Z OCN.a OAE合 & OCN.，OE=ON, AE=CN.又、Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,:, & OME级 OMN. MN=ME=AM+AE./. MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.

10、4 .在平面直角坐标系中，0为原点，点A （0, 4）,点B （ - 2, 0）,把 ABO绕点A逆 时针旋转，得AB9，点B、O旋转后的对应点为e、0（1）如图，若旋转角为60。时，求BB，的长；（2）如图，若ABx轴，求点0,的坐标；（3）如图，若旋转角为240。时，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当OT+A）取 得最小值时，求点，的坐标（直接写出结果即可）图图图【答案】（1）26；（2）点。，的坐标为（*，士+4） ： （3）点，的坐标为（- 558>/3 36 5 5【解析】分析：（1）由点4 8的坐标可得出48的长度，连接86,由旋转可知：AB=ABZ BAB'=60

11、°,进而可得出八88,为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出89的长：(2)过点0,作O，DJ_x轴，垂足为D,交48,于点&则4/Es4A80,根据旋转的性 质结合相似三角形的性质可求出4E、O'E的长，进而可得出点0'的坐标：(3)作点4关于x轴对称的点H,连接A0,交x轴于点P,此时OP+4P取最小值，过 点0祚O，F_Ly轴，垂足为点F,过点作PM_L0E垂足为点M,根据旋转的性质结合解 直角三角形可求出点0,的坐标，由4 A关于x轴对称可得出点A的坐标，利用待定系数 法即可求出直线A0,的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标，进而

12、可得出0P的长度，再在RS0PM中，通过解直角三角形可求出0，M、PM的长，进而可 得出此时点的坐标.详解：(1)二.点 A (0, 4),点 8 ( - 2, 0) ,04=4, 08=2,.AbZoa'OB? =2 #.在图中，连接88、由旋转可知:AB=AB', N848'=60°, 4 488'为等边三角形，86=48=2乔.(2)在图中，过点。作CTDJ_x轴，垂足为D,交八8吁点E.,/ AB'W x 轴，O'£J_x 轴，/. Z O'£A=90°=N AOB.一，.，AE O'

13、;E AO' nn由旋转可知：Z B'A0'=A BAO, AO'=AO=4, ：. AO'E- ABO, =，即 AO BO AB=. :.AE=W" 0任=士叵，0，D=勺5+4, .,.点。'的坐标为 422/555(也旦).55(3)作点4关于x轴对称的点A,连接A0,交x轴于点P,此时0力+八取最小值，过 点0祚。午J_v轴，垂足为点£过点叫乍PM_L0下，垂足为点如图3所示.由旋转可知：40=40=4, N 07=240。- 180。=60°, A AF=-A0'=2. 0/=正4。，=26，22

14、,二点 O' ( -26, 6).* 点 4 (0, 4)，二点 4 (0, - 4).设直线40,的解析式为片kx+b,将A (0, -4)、0f ( -2JJ, 6)代入尸kx+b,得：b = -4一 2®+ = 6解得：3 =-4/.直线的解析式为尸更 x-4.3当片0时，有-Wx-4=0,解得：户-土£, .,点P (一处,0), 35552 n在 RtA 0PM 中，Z MOP=60°, Z O'M1=90°,二 O'M=-OP=心,25=正0胃=9, .点p，的坐标为（-2/ + 壁，6+9）,即（-且，至）. 255

15、555点睛：本题考查了函数图象及旋转变换、待定系数法求一次函数解析式、等边三角形的判 定与性质、一次函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用等 边三角形的性质找出8夕的长：（2）通过解直角三角形求出AE、O'E的长；（3）利用两点 之间线段最短找出当O'P+AP取得最小值时点P的位置.5.如图，在Q48CD 中，AB=10cm, BC=4cm, Z BCD=120°, CE 平分N BCD 交 A8 于点 E. 点P从A点出发，沿A8方向以Icm/s的速度运动，连接CP,将 PCE绕点C逆时针旋转 60。，使CE与CB重合，得到QCB,连接PQ

16、.（1）求证：APCQ是等边三角形：（2）如图，当点P在线段E8上运动时，APSQ的周长是否存在最小值？若存在，求出APSQ周长的最小值；若不存在，请说明理由：（3）如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、8、Q为顶点的直角三角 形？若存在，求出此时t的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析：（3） t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明 PCEW QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三 角形的判定证明即可：（2）利用平行四边形的性质证得 BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到 PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短

17、可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）二旋转 . PCE合x QCB .CP=CQ, NPCENQCB, / Z BCD=120% CE 平分/BCD, Z PCQ=60°,Z PCE +Z QCE=Z QCB+Z QCE=60:PCQ为等边三角形.（2）存在 / CE 平分N BCD,/. Z BCE=60°> /在平行四边形ABCD中，ABH CD/. Z ABC=180° - 120°=60°BCE为等边三角形/. BE=CB=4 旋转 .a PCE合 QCB , EP=BQ,C“ p

18、bq=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP，CP，AB时， PBQ周长最小当 CP_LAB 时，CP=BCsin600=25/3 PBQ周长最小为4+（3）当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当04<6时，由旋转可知，Z CPE=Z CQB,Z CPQ=Z CPB+Z BPQ=60°则：N BPQ+N CQB=60。，又；Z QPB+N PQC+Z CQB+N PBQ=180°Z CBQ=180o-600-60o=60°/. Z QBP=60 Z BPQ<60°,所以N PQB可能为直角由（1）知， PCQ为等边三

19、角形，/. Z PBQ=60 Z CQB = 30° Z CQB=Z CPB?. Z CPB=30°/ Z CEB = 60。，Z ACP = Z APC=30°, PA=CA=4>所以 AP=AE-EP=6-4=2所以 t = 2+l = 2s当6ct<10时，由N PBQ=12（T>90。，所以不存在当t>10时，由旋转得：Z PBQ=60由（1）得NCPQ=60。/. Z BPQ=Z CPQ+Z BPC=60°+Z BPC,而N BPC>0°,Z BPQ>60°/. Z BPQ=90% 从而N

20、BCP=30°,/. BP=BC=4所以 AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平行四边形、等边三角形、全等三角形 的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难.6.把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图），使三角 板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋 转（旋转角a满足条件：0°<a<90°）,四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重登部分 （如图）.（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK

21、的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况 （直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）：（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK,在上述旋转过程中，是否存在 某一位置，使GKH的面积恰好等于 ABC面积的言？若存在，求出此时BH的长度；若 不存在，说明理由.【答案】BH=CK;（2）存在,使 GKH的面积恰好等于 ABC面积的昼的位置,此时BH 的长度为3 土证.【解析】（1）先由ASA证出ACGa BGH,再根据全等三角形的性质得出BH=CK,根据全等得出 四边形CKGH的面积等于三角形ACB而积一半；（2）根据而积公式得出Sa ghk=S内边形04或*1*2.3乂+9,根

22、据4 GKH的面积恰好等于 2 ABC而积的上，代入得出方程1x23x+9=*x 1x6x6,求出即可.12212 2解：（1） BH与CK的数量关系：BH=CK,理由是：由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG,; AC=BC, 0 为 AB 中点，Z ACB=90。，Z B=Z ACG=45% COJLAB,. Z CGB=90°=Z KGH,/,都减去N CGH 得：Z BGH=Z CGK,在 CGK和 BGH中'/KCG =/B' CG=BG ,Zkgc=Zbgh A CG心 A BGH (ASA),/. CK=BH,即 BH=CK：四边形CHGK的面积的变化

23、情况：四边形CHGK的而积不变，始终等于四边形CQGZ的而积，即等于 ACB面积的一半，等于9：(2)假设存在使 GKH的面积恰好等于aABC面积的三的位置.12设BH=x,由题意及(1)中结论可得，CK=BH=x, CH=CB - BH=6 - x,1 1Sa chk= CHxCK=3x - -2 2Sa ghk=S 四边% ckgh - Sa ckh=9 - (3x - x2 ) = x2 - 3x+9，22V A GKH的面积恰好等于a ABC面积的上，121 25 1 x2 - 3x+9= X X6x6,212 2解得=3+痣，9=3通(经检验，均符合题意).存在使 GKH的面积恰好等

24、于 ABC而积的、的位置，此时x的值为3土卡 .“点睛”本题考查了旋转的性质，三角形的而积，全等三角形的性质和判定等知识点，此题 有一定的难度，但是一道比较好的题目.7.在 ABC中，AB二AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为且 °° <。<180。，连接 ad、BD.(1)如图 1,当N BAC=100°, ° = 60°时，NCBD 的大小为；(2)如图 2,当N BAC=1OO°, ° = 20。时，求/ CBD 的大小；(3)已知NBAC的大小为m (60° <<

25、120°),若/ CBD的大小与(2)中的结果相 同，请直接写出a的大小.图1图2【答案】(1) 30°： (2) 30°： (3) a=120°-m°, a=60°或 a=240-m0.【解析】试题分析：(1)由N BAC=100。，AB=AC,可以确定N ABC=N ACB=40。，旋转角为 a, a=60° 时 ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD,知道N BAD的度数，进而求得N CBD的大小.(2)由N BAC=100°, AB=AC,可以确定N ABC=。ACB=40。,连结 DF、BF. AF

26、=FC=AC,Z FAC=Z AFC=60 Z ACD二20°,由N DCB=20。案.依次证明4 DCB合 FCB, DABW DAF.利用角度相等可以得到答案.(3)结合(1) (2)的解题过程可以发现规律，求得答案.试题解析：(1) 30°： (2) 30°；(2)如图作等边aAFC,连结DF、BF.AF=FC=AC, Z FAC=Z AFC=60°. Z BAC=100°, AB=AC, /. Z ABC=Z BCA=40°.Z ACD=20 ?. Z DCB=20°./. Z DCB=Z FCB=20°.

27、AC=CD, AC=FC, /. DC=FC. / BC=BC,/.由，得 DCB2 FCB. DB=BF, Z DBC=Z FBC.: Z BAC=100% Z FAC=60%. Z BAF=40°.,/ Z ACD=20°, AC=CD, /. Z CAD=80". /. Z DAF=20°./. Z BAD=Z FAD=20(4)7AB=AC, AC=AF,AB=AF. (5)AD=AD,由，得 DAB合 4 DAF.FD=BD. /. FD=BD=FB. Z. Z DBF=60°. /. Z CBD=30°.（3） a=120°-m°, a=60°或 a=240-m°.考点：1.全等三角形的判定和性质：2.等边三角形的判定和性质.8.在 ABC中，AB=AC, Z A=30°,将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,再将线 段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.（1）如图1，直接写出N ABD和NCFE的度数；（2）在图1中证明:AE=CF；（3）如图2,连接CE,判断 CEF的形状并加以证明.【答案】（1） 15。，45。： （2）证明见解析：（3） ZiCEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三