三角形“四心”与向量的完美结合

1、三角形“四心”与向量的完美结合-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1三角形的“四心”与向量的完美结合三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式一.知识点总结1) 0 是AABC的重心 OA+OB + OC =0.若 O 是 AABC 的重心，则 Sw = SgCC = SAAOB = 3SBC故 oa + ob + 6c = o元=!(即+而+正)OG为AABC的重心.2）o 是aabc的垂心= 65/=若o是AABC（非直角三角形）的垂心,则Saboc： SA、0c: SgoB = A：tan B：tan C故 tan AOA + tan BOB

2、+ tan COC = 63)o是aabc的外心oioai=iobi=ioci(或6X? =or2 =6c2)若O是AABC的外心hiuSAK： SAU)C： SAU)R = sinZBOC：sinZAOC：sinZAOB =sin2A :sln2B :sin2C故 sin2AOA + sin2BOB + sin2COC = 6 4） O是内心AABC的充要条件是通一至）= 6B.（卫一星）=反.（豆一亘）=oI ABI ACI BA I IBC II CAI ICBI引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记赢，的，K的单位向量为巧遇2代3,则刚才0 是AABC内心的充要条件可以写成 OA（巧+

3、 ej） = OB（巧+e2） = OC. （e2 + ）=。0是AABC内心的充要条件也可以是a6X +1）35 + c6E = 6若 0 是 ABC 的内心，则Saboc： S&0c: SMOB =a： b： caOA + bOB + cOC = OsKsinAOA + sinBOB + sinCOC = 6I2I定+1豆ClBS+lNl丽= 6=P AABC的内心;向需+ 差丰）所在直线过的内心（是NBAC的角平分线所在直线）;二. 范例（-）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. 0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线三个:P门足方=况+ ABR2 e 0,+oo）则P点的轨迹一

4、定通过AA8C的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为AB是向量AB的单位向量设通 j AC5方向上的单位向量分别为4和G， 乂丽-质=而，则原式可化为赤=4（+与）.由菱形的基本性质知AP平分NA4C,那么在AA8C中，AP平分NA4C,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，苜先ABR是什么没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向 量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，乂能迅速地将它们迁移到 一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.

5、H是48C所在平面内任一点， HB = HB HC = Hc 7iA O点H是4BC的乖心.由瓦班=班灰=丽.（近一而） = 0 0 班-就 =0 0 班，元,同理比，嘉，加1,兹.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略） 例3.（湖南）P是ABC所在平面上一点，若西丽=丽正=定西，则P是aABC的（D ）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:由丽丽=丽记得PA PB-PB PC = O.即 PB（PA-PC） = 即丽曰=0则 PB CA,同理24 BC*PC AB所以P为A48C的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及数量积为零，则两向量所在直线垂直入 三角形垂心定义 等相关知识.

6、将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及数量积为零，则两向量所在直线垂直 等相关知识巧妙结合。（三）招平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4. G是48c所在平面内一点，GA + GBGC=O点G是8c 的重心.证明作图如右，图中而+就=近连结8E和CE,则CE=GB, 8=GC= 8GCE为平行四边形n D是8c的 中点，4。为8c边上的中线.gb+gc = geRAga+gb+gc=o,JtjGA + G=O= S = -G = -2GD,故 G 是48C 的jfi心.（反之亦然（证略）例5. P是/48C所在平面内任一点G是ABC的空心O PG = 1（PA+PB + PC）.3证明

7、 PG = A4 + Zg = p5+bS = PC+CU = 3PG = （AG + bS + CU） + （PA+PB + PC）TG是ABC的重心GAGBGC=O= AGBGCG =0,即 3记=莉 +丽 + 正由此可得两=1（西+丽+记）.（反之亦然（证略）例 6 若O 为 AABC内一点，OA + OB + OC = 6，则。是 A48C 的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心/解析：山况+而+反=。得砺+反=一砺，如图以OB、0C为相邻两边构作平行四边形，则历+花=丽，III平行四边形性质知无=L而，隆U2DOA = 2OE,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本

8、题需要扎实的平面儿何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心 是三角形中线的内分点，所分这比为=:3)=。= 一（,、-3+正.函，4-力）=（乙乙3x2(x2-x _y22%3 = (= -%) =(J乙 J2-马 七（x,T）一 九）2x)-XI 1HHM1Hl二产3工2。2-)_%)_6326%T)即加=猊故Q、G、H三点共线，且QG： GH=1： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借 用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在 一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为

9、熟练的代数运算的论 证。例10.若0、H分别是4BC的外心和垂心.求证 OH =OAOBOC.证明 若A8C的垂心为H,外心为O,如图. 连80并延长交外接圆于D,连结4D, CD.：.AD LAB, CDLBC .乂垂心为 H, AHBC,CH 上 AB,J.AH/CD, CH/AD,：.四边形AHCD为平行四边形，.AH = DC = DOOC. 故而=豆 +丽=豆 + 而 + 5?.着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线一一 “欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂

10、心的 距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例1L 设0、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证OG = OH证明按重心定理G是4BC的重心Q 55 = g由+ 55+5?）按垂心定理OH =OAOBOC由此可得OG = OH .补充练习1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，。是三角形ABC的重心，动点P满足万=g （；M+ ；而+2瓦）,则点P -定为三角形ABC的边中线的中点边中线的三等分点（非重心）C .重心边的中点1. B 取 AB 边的中点 M, iOA + OB = 2OM , 0P =- (1 0A +,3+2方)可得

11、3 22一 一 1 23OP = 3OM+2MC. A MP = -MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点, 3且点P不过重心,故选B.2.在同一个平面上有AABC及一点o满足关系式:o2 + BC2 = OB2 + CA2 = oc2 +AB，,则。为AA5C 的（D）A外心 B内心C重心D垂心2 .已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA + PB + PC = O,则P为AABC的（C）A外心 B内心C重心D垂心3 .已知O是平面上一?定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP = OA + A（AB+AC） 则 P 的轨迹一定通过ZiABC 的（

12、C）A外心 B内心C重心D垂心4 .已知ABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：苏定+西丽+丽正=0,则P点为三角形的（D）A外心 B内心C重心D垂心5 .已知ABC, P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：丽+力而+ c正=0,则P点为三角形的（B）A外心 B内心C重心D垂心6 .在三角形ABC中，动点P满足：CA =CB 一2M而，则P点轨迹一定通过ABC的:（B ）A外心 B内心C重心D垂心7 .已知非零向量通与最满足-BC=O且丹-则4ABC为（） |AB| |AC|AB| |AC| 2A ,三边均不相等的三角形B.直角三角形C .等腰非等边三角形D .等边三角形解析：非零向量与满足（HAB AC=0,即角A的平分线垂直于BC, I. AB=AC, 乂cosA*.幽AB AC 2NA=N,所以4ABC为等边三角形，选D. 38 .A43C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,丽=m（砺+无+无），则实数）= 19.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足次丽=丽发=5?衣，则点O是A4BC 的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点1。如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直公线与AB, AC两边分别交于M, N两