第3章流体动力学

1、第三章第三章 流体动力学基础流体动力学基础第一节第一节 描述流体运动的方法描述流体运动的方法流体连续介质假设流体连续介质假设将流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且将流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。于是，描述流体运动的各无间隙地充满它所占据的空间。于是，描述流体运动的各物理量物理量( (如速度、加速度等如速度、加速度等) )均可以看作是空间点和时间的均可以看作是空间点和时间的连续函数，且流体质点是流体力学研究的最小单元。连续函数，且流体质点是流体力学研究的最小单元。描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法依分析问题着眼点的不同分为：依分

2、析问题着眼点的不同分为：物质体方法和场方法物质体方法和场方法 一、物质体方法一、物质体方法 跟踪观察某个流体质点的运动轨迹，用它的空间位置随时跟踪观察某个流体质点的运动轨迹，用它的空间位置随时间的变化来描述其运动规律间的变化来描述其运动规律又称为又称为拉格朗日法拉格朗日法。位置坐标位置坐标 trr质点的速度质点的速度 0d ( )limdttttttt rr( +)-r( )V0d (t)limdtVt V(t +t)-V(t)at质点的加速度质点的加速度 可以直接应用牛顿第二定律建立基本运动方程。可以直接应用牛顿第二定律建立基本运动方程。二、场方法二、场方法( (欧拉法欧拉法) )针对群体运

3、动行为进行描述的方法。通过观测不同流体质针对群体运动行为进行描述的方法。通过观测不同流体质点连续地流过该空间点时的运动参数随时间和空间的变化点连续地流过该空间点时的运动参数随时间和空间的变化来分析流体的运动规律。来分析流体的运动规律。流场流场流体质点经过的空间。流体质点经过的空间。流动参量：表述流体运动的基本参量，如流动参量：表述流体运动的基本参量，如V, P, T等。等。 表示方法：流动参量均可表示成空间坐标和时间的函数，表示方法：流动参量均可表示成空间坐标和时间的函数，即即 , , ,x y z tVV, , ,pp x y z t, , ,x y z t, , ,TT x y z t说明

4、：此处位置坐标与时间均为独立变量。说明：此处位置坐标与时间均为独立变量。实际中广泛采用场方法研究流体的运动特性，因为实际实际中广泛采用场方法研究流体的运动特性，因为实际中，通常无需知道每个流体质点在运动过程中的详细历中，通常无需知道每个流体质点在运动过程中的详细历史，多数关注的是群体流体质点作为一个整体，在运动史，多数关注的是群体流体质点作为一个整体，在运动过程中的状况及对外界的影响，即群体行为。过程中的状况及对外界的影响，即群体行为。 第二节第二节 流场的若干概念流场的若干概念1 1、迹线、迹线 ( (一个质点，一段时间一个质点，一段时间) ) 迹线是某一质点在流场中的运动轨迹，它是物质体方

5、迹线是某一质点在流场中的运动轨迹，它是物质体方法对流体运动的几何表示。法对流体运动的几何表示。迹线方程为迹线方程为流体质点的速度流体质点的速度ddd,dddxyzuvwttt ddddxyztuvw时间时间 t 为自变量为自变量 2、流线、流线 （某一瞬时，多个质点（某一瞬时，多个质点 ） 流线是某一瞬间在流场中所作的一条曲线，这条线上的流线是某一瞬间在流场中所作的一条曲线，这条线上的各点在该瞬间的速度方向与曲线的切线方向重合。各点在该瞬间的速度方向与曲线的切线方向重合。流线示意图流线示意图注意：流线为某一瞬时的曲线，若另一瞬时流场改变了，注意：流线为某一瞬时的曲线，若另一瞬时流场改变了，则流

6、线也随之发生变化。则流线也随之发生变化。 ddd, , , , , , ,xyzu x y z tv x y z tw x y z t时间时间 t 为参变量为参变量 d 0d d dVLu v wxyz ij k流线方程流线方程由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切。由流线的定义知，空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即流线的性质流线的性质瞬时性瞬时性 对于定常流动，流线的形状不随时间改变；而对于非定常流动，不同时刻的流线具有不同的形状。集合性集合性 流线的形状由若干流体质点在同一时刻的速度共同决定。

7、光滑性光滑性 流线是光滑的曲线，不能转折，也不会相交。有向性有向性 流线用速度的方向来定义，应该标明流向。可重合性可重合性 在定常流动中，流线与迹线重合，流体质点沿着流线运动。例例 3-1 流体流体流动的速度场为流动的速度场为22xtytVi -j，试确定在试确定在1t时，通过时，通过（2,1）点的流线方程。点的流线方程。 解解： 由由流线的微分方程流线的微分方程 dddxyzuvw 即即有有 22ddxyxtyt 及及 d0z 知，在知，在zc的水平面上，当的水平面上，当1t 时时，有流线方程的微分形式有流线方程的微分形式 ddxyxy 即即： ddd0y xx yxy 积分，得积分，得 x

8、yc 将将 21xy，代入代入上式，上式，得得 2C 故在故在zc的水平面上，当的水平面上，当1t时，通过时，通过）， 12(点的流线方程为点的流线方程为 2xy 已知平面流动的流速分布为其中y0，k为常数。试求：流线方程；迹线方程。 【解】据y0知，流体流动仅限于xy半平面内，且运动要素与时间t无关，初步判断为恒定流。流线方程： 积分得：该流线为一组等角双曲线。 ,xyukx uky kyykxxddcxy 迹线方程： 积分得：与流线方程相同，说明恒定流动时，流线与迹线在几何上完全重合。tkyykxxdddktktecyecx21,ccceeccxyktkt2121与各流线相垂直的截面称为有

9、效截面。与各流线相垂直的截面称为有效截面。流线为平行直线时，有效截面为平面；流线为平行直线时，有效截面为平面；流线不相平行时，有效截面为曲面，如图所示。流线不相平行时，有效截面为曲面，如图所示。3 3、有效截面、有效截面有效截面和流线有效截面和流线 4、流量和平均流速、流量和平均流速单位时间内通过有效截面的流体量称为经过该截面的流量。单位时间内通过有效截面的流体量称为经过该截面的流量。流量的表示流量的表示 体积流量体积流量质量流量质量流量 VqmqAdVqVAVA=AdmqVAVA=V：截面的平均速度：截面的平均速度平均流速平均流速VqVA5 5、定常流动和非定常流动、定常流动和非定常流动依据

10、流动参量是否随时间变化：定常流动和非定常流动依据流动参量是否随时间变化：定常流动和非定常流动定常流定常流( (恒定流恒定流) )：, ,0 x y zt非定常流非定常流( (非恒定非恒定流流):):, , ,0 xty z t6、一维、二维和三维流动、一维、二维和三维流动三维流动：流场中的流动参量依赖于空间三个坐标；三维流动：流场中的流动参量依赖于空间三个坐标；二维流动：流场中的流动参量依赖于空间二个坐标；二维流动：流场中的流动参量依赖于空间二个坐标；一维流动：仅依赖于一个空间变量的流动。一维流动：仅依赖于一个空间变量的流动。满足工程实际所需精度要求的条件下，尽可能减少空满足工程实际所需精度要

11、求的条件下，尽可能减少空间维数：即将三维流动简化为二维流动；二维流动简间维数：即将三维流动简化为二维流动；二维流动简化为一维流动进行求解。化为一维流动进行求解。 如图所示的渐扩管内的不可压缩粘性流体的流动问题，如图所示的渐扩管内的不可压缩粘性流体的流动问题，流体质点的速度既是半径流体质点的速度既是半径r 的函数，又是轴向距离的函数，又是轴向距离x 的函数，的函数，显然是二维流动问题。但若取一个截面上的平均速度研究，显然是二维流动问题。但若取一个截面上的平均速度研究，则问题就简化为一维流动，即平均速度仅是轴向距离则问题就简化为一维流动，即平均速度仅是轴向距离x 的函的函数。数。rxvxvx7 7

12、、平行直线流、渐变流和急变流、平行直线流、渐变流和急变流平行直线流平行直线流 ：流线为平行直线族的流动。：流线为平行直线族的流动。渐变流（缓变流）：流线可近似看作平行直线的流动。渐变流（缓变流）：流线可近似看作平行直线的流动。急变流：流速方向发生较大或连续变化等情况的流动。急变流：流速方向发生较大或连续变化等情况的流动。 平行直线流、渐变流和急变流示意图平行直线流、渐变流和急变流示意图 渐变流过流断面近似为平面渐变流过流断面上流体动压强近似按流体静压强分布，即pzCg8、有压流与无压流如果流体充满整个管道的断面，而没有自由表面，这种如果流体充满整个管道的断面，而没有自由表面，这种管道称为有压管

13、道，有压管道中的流体称为有压流。管道称为有压管道，有压管道中的流体称为有压流。相反，则是无压流。相反，则是无压流。质量守恒定律：质量守恒定律：物质体的角度物质体的角度：包含在一流体系统中的流体：包含在一流体系统中的流体质量在运动过程中保持不变。质量在运动过程中保持不变。流场的角度流场的角度：在一固定空间中的流体质量在：在一固定空间中的流体质量在dtdt时间内的增加量恰好等于在此段时间内通过时间内的增加量恰好等于在此段时间内通过其表面流入的质量减去流出的质量。其表面流入的质量减去流出的质量。流体运动的基本方程流体运动的基本方程一、连续性方程一、连续性方程设在流场中任取一个微元平行设在流场中任取一

14、个微元平行六面体，其边长分别为六面体，其边长分别为dx、dy和和dz，形心的坐标为，形心的坐标为x、y、 z，在某一瞬时在某一瞬时t 经过形心的流体质经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，密度为，密度为。分析流体在运动过程中该微元分析流体在运动过程中该微元六面体内质量的变化。六面体内质量的变化。在在 x 轴方向轴方向，dt时间内通过表面时间内通过表面 EFGH 流入的质量是流入的质量是 dd()()d d d22xuxuy z txx由表面由表面ABCD流出的质量是流出的质量是 dd()()d d d22xuxuy z txx在在dt 时间内沿时间内沿x轴

15、方向净流入的质量为轴方向净流入的质量为 d d d dux y z txx x方向：方向：11(d )(d )d d d2211(d )(d )d d d22()d d d dxumx uxy z txxux uxy z txxux y z tx 同理，在同理，在 y 方向和方向和 z 方向上方向上 dt 时间通过相应表面净流入的时间通过相应表面净流入的质量分别为质量分别为d d d dvx y z tyd d d dwx y z tzdt 时间通过该微元六面体净流入的质量为时间通过该微元六面体净流入的质量为 +d d d duvwx y z txyz在在dt 时间内，质量的增加量为时间内，质

16、量的增加量为 d d d dx y z tt根据质量守恒定律根据质量守恒定律+d d d dd d d duvwx y z tx y z txyzt0uvwtxyz-连续性方程连续性方程意义：表达了任何意义：表达了任何可实现可实现的流体流动必须满足的质量的流体流动必须满足的质量守恒条件守恒条件（1 1）定常流动）定常流动0uvwxyz0uvwtxyz上式表明，对于定常流动，在相同时间内流入和流出系上式表明，对于定常流动，在相同时间内流入和流出系统的质量应相等。统的质量应相等。（2）不可压缩流体）不可压缩流体，密度为常数，密度为常数0uvwxyz流体做定常流动时，流场内的各物理量均不随时间改变，

17、流体做定常流动时，流场内的各物理量均不随时间改变，则则1 断面上单位时间内流入的流体质量应等于断面上单位时间内流入的流体质量应等于2 断面流出断面流出的流体质量，的流体质量， 即即 12()()uAuAC若是不可压缩的均质流体，则连续性方程为：若是不可压缩的均质流体，则连续性方程为：流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动学方程，流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动学方程，因此对实际流体和理想流体均适用。因此对实际流体和理想流体均适用。1122u Au AC假设不可压缩流体的流速场为假设不可压缩流体的流速场为 试判断该流动是否可能存在。试判断该流动是否可能存在。判断流动是否可能存在

18、，主要看其是否满判断流动是否可能存在，主要看其是否满足连续性微分方程。足连续性微分方程。 本题本题 满足满足 故该流动可能存在。故该流动可能存在。( , ),0 xyzuf y z uu0zuyuxuzyx0zuyuxuzyx二、运动微分方程二、运动微分方程流体的运动与其所受外力之间的关系，应遵循动量守恒流体的运动与其所受外力之间的关系，应遵循动量守恒定律定律牛顿第二定律。牛顿第二定律。1 1、理想流体的运动微分方程、理想流体的运动微分方程理想流体运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团理想流体运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。上的外力只有质量力和压强。假设假设

19、六面体形心的坐标六面体形心的坐标为为x、y、z，速度、压强分别为，速度、压强分别为u、v、w、p，单位质量力为，单位质量力为 f . 先分析先分析 y 方向的运动方向的运动 左右两个平面中心点处的压强分别为左右两个平面中心点处的压强分别为dd,22pypyppyy作用在流体微团上的质量力在作用在流体微团上的质量力在 y 方向的分量方向的分量 d d dyfx y z沿沿y方向牛顿第二定律的表达式为方向牛顿第二定律的表达式为 dddd d dd dd dd d d22dypypyvfx y zpz xpz xx y zyyt将上式各项除以流体微团的质量将上式各项除以流体微团的质量 d d dx

20、y z1ddpvfyty得到得到 y 方向的运动微分方程方向的运动微分方程类似地，在类似地，在 x 和和 z 两个方向上，分别有两个方向上，分别有1dd1ddpufxtpwfztxz理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程11d0d11dv0d11d0d11d0dxxyyzzppuffxxtppffyytppwffzztpptuff分量式矢量式,0,0,00 xyzxyzmappf f ff f fFFa力学方程表面力质量力惯性力 平衡流体平衡流体 运动（理想）运动（理想）流体流体在一般情况下，作用在流体上的质量力在一般情况

21、下，作用在流体上的质量力fx、 fy 和和 fz 是已知是已知的，对理想不可压缩流体其密度的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况为一常数。在这种情况下，方程组中有四个未知数下，方程组中有四个未知数u、v、w和和p，而方程仅有三，而方程仅有三个，为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程个，为此需加上不可压缩流体的连续性方程，这样方程组封闭，从理论上提供了求解的可能性。组封闭，从理论上提供了求解的可能性。 方程组的封闭性问题方程组的封闭性问题2、实际流体的运动微分方程、实际流体的运动微分方程实际流体运动时，作用于微元六面体各个面上的应力不实际流体运动时，作用于微元六面体各个面上的应力

22、不仅有法向应力，仅有法向应力，还有由于粘性产生的切向应力还有由于粘性产生的切向应力。微元六面体形微元六面体形心处的法向应心处的法向应力用力用 p 表示，表示，切向应力用切向应力用 表示，它们都表示，它们都有两个下标，有两个下标，第一个表示应第一个表示应力所在平面的力所在平面的法线方向，第法线方向，第二个表示应力二个表示应力本身的方向。本身的方向。根据牛顿第二定律，写出沿根据牛顿第二定律，写出沿y y方向的运动微分方程方向的运动微分方程 ddd d dd d dd dd2ddd dd d22ddd dd d22dd d2yyyyyxyzyxyzyyyxyyyxyzyzypvyx y zfx y

23、zpx ztyxzy zx yxzpyxpx zy zyxzx yz化简后，得化简后，得 y 方向的运动微分方程方向的运动微分方程d1dyyxyzypvftyxzy同理可得同理可得d1dyxxxzxupftxyzxd1dyzzzxzwpftzxyz以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程不可压缩粘性流体的运动微分方程不可压缩粘性流体的运动微分方程动量定理动量定理: :单位时间内运动物体的动量变化等于单位时间内运动物体的动量变化等于作用于该物体上外力的总和。作用于该物体上外力的总和。动量方程动量方程(运动流体与固体壁面间的作用力运动流体与固体壁面间的作用力）2

24、211()FQVV212121()()()xyzFQ uuFQ vvFQ ww分量形式为 上式表明：作用于流体系统上的外力等于系统流出与上式表明：作用于流体系统上的外力等于系统流出与流入的动量差，与系统中的内力及动量变化无关。流入的动量差，与系统中的内力及动量变化无关。平面图设平面图设计的依据计的依据例（河流问题）如图所示矩形断面平坡渠道中水流例（河流问题）如图所示矩形断面平坡渠道中水流越过一平顶障碍物。已知越过一平顶障碍物。已知h h1 1=2m=2m，h h2 2=0.5m=0.5m，渠宽，渠宽b=1.5mb=1.5m，渠道通过能力，渠道通过能力 ，试求水流对障，试求水流对障碍物的冲击力碍

25、物的冲击力R R31.5m /sq 平面图设平面图设计的依据计的依据解：取图示控制体，并进行受力分析；解：取图示控制体，并进行受力分析； 建立建立xozxoz坐标系；坐标系； 在在x x方向建立动量方程方向建立动量方程 （取（取 ）20.5h 121.0式中：式中：1221111222()29.5kN21.8kN2PPRq vvhPgbhhPgbh平面图设平面图设计的依据计的依据11220.5m/s2.0m/sqvbhqvbh代入动量方程，得kNR31.25故水流对障碍物迎水面的冲击力 kNRR31.25平面图设平面图设计的依据计的依据1390 ,1 122L3.14mZ2m1 1P117.6

26、kN / m2hw0.1md0.2mq0.06m /s 例（管流问题）有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为起始断面与终止断面间的轴线长度（即弯管内水重不可忽略），两断面中心高差，已知断面中心处压强，两断面之间的水头损失，管径。试求当管中通过流量时，水流对弯头的作用力 。 22222122210 060 061 91m/s43 14 0 2 422 2212022()136 2kN/mwwq.v.Ad.pppvavzhggggppgzh. 【解】求管中流速求断面中心处压强以断面为基准面，从列能量方程得得2221122220 97kN41 1223 140 2117 63 69kN443 14

27、0 2136 24 28kN44GgVg ld.d.( . )Fp.d.( . )Fp. 弯头内水重计算作用于断面与上动水总压力1122 x(0)3 80kNy(0)3 42kNxxyyFRqvRFqv.FGRqvRFGqv. 取控制体、进行受力分析、建立坐标系在 方向列动量方程在 方向列动量方程22223 803 425 11kNRx41 99RyxyxRRR( .)( .).Rarctg().R管壁对水流的总作用力作用力 与水平轴 的夹角水流对管壁的作用力与 大小相等，方向相反。平行直线流断面上的压强关系式平行直线流断面上的压强关系式sincosgg fik定常平行直线流在定常平行直线流在

28、xoz 坐标系中的基本方程即可简化为：坐标系中的基本方程即可简化为： 连续性方程连续性方程 0ux （a） 运动方程运动方程 x方向方向分式分式 2210sinpugxz （b） 运动方程运动方程 y方向方向分式分式 10py （c） 运动方程运动方程 z方向方向分式分式 10cospgz （d） 1( )pgzc x ( )pzc xg与静止流体中的压强分布很相似，说明与静止流体中的压强分布很相似，说明在平行直线流区域，在平行直线流区域，任一点上流体的静水头只沿流向距离改变。当然，不同的有任一点上流体的静水头只沿流向距离改变。当然，不同的有效截面上有不同的常数值。效截面上有不同的常数值。1(

29、 )pgzc x ( )pzc xg或或0( )pzc xg常数12()()ppzzgg平行直线流平行直线流断面断面上各点之间的压强关系式。上各点之间的压强关系式。 意义：意义：依据这个关系式，可以在平行直线流的断面上采用依据这个关系式，可以在平行直线流的断面上采用测量静止流体压强的方法来测量运动流体的压强。测量静止流体压强的方法来测量运动流体的压强。不可压缩实际流体的运动微分方程不可压缩实际流体的运动微分方程水头损失的两种形式whgVgpzgVgpz222222221111 流体在运动过程中因克服阻力而耗损的机械能称为水头损失。 任意两个断面的伯努利方程：h h w w为损失水头为损失水头h

30、 h w w分为两类分为两类: :沿程损失沿程损失h h f f 和局部损失和局部损失h h j j 沿程损失沿程损失：发生在直管段，由于流体克服粘性阻力而损失的能量。流程越长，损失的能量越多。 局部损失局部损失：发生在连接元件附近的损耗，由于流动边界形状突然变化引起的流线弯曲以及边界层分离而产生的水头损失。流体不仅沿流道向前运动，还有大量的碰撞、涡旋、回流等发生。 沿程损失 局部损失 总损失1 2mnwfjhhh gVDLhf22 gVhj22为沿程阻力系数为沿程阻力系数为局部阻力系数为局部阻力系数KKDBACE（a）（b）（c）层流与湍流层流与湍流雷诺实验:雷诺实验:层流层流各流体层之间互

31、不干扰，互不相混，整个流场中呈一各流体层之间互不干扰，互不相混，整个流场中呈一簇互相平行的流线簇互相平行的流线湍流（或紊流）湍流（或紊流）流动处于完全无规则的混乱状态，流场中，流动处于完全无规则的混乱状态，流场中，流体质点作复杂的无规则的运动流体质点作复杂的无规则的运动由层流由层流紊流时极限值紊流时极限值 上临界速度上临界速度由紊流由紊流层流时极限值层流时极限值 下临界速度下临界速度crVcrV流体的流动状态是层流还是紊流，不仅与流体的断面平均流体的流动状态是层流还是紊流，不仅与流体的断面平均流速有关，还与管径、流体密度和粘度有关，上述几个因流速有关，还与管径、流体密度和粘度有关，上述几个因素

32、用一个无量纲数素用一个无量纲数雷诺数表示为雷诺数表示为ReVdVd由层流转变为湍流的雷诺数为临界雷诺数。由层流转变为湍流的雷诺数为临界雷诺数。与上临界速度对应的与上临界速度对应的ReRe为上临界为上临界ReRecrcr 与下临界速度对应的与下临界速度对应的ReRe为下临界为下临界ReRecrcr当雷诺数在上下雷诺数中间时，流动可能是层流，也可当雷诺数在上下雷诺数中间时，流动可能是层流，也可能是湍流，所以上临界雷诺数在工程上没有实用意义，能是湍流，所以上临界雷诺数在工程上没有实用意义，通常把下临界雷诺数作为判别层流湍流的准则数。通常把下临界雷诺数作为判别层流湍流的准则数。Re=2000Re=20

33、00为临界雷诺数为临界雷诺数Re2000Re2000Re2000为湍流。为湍流。层流流动的特征层流流动的特征湍流运动的特点湍流运动的特点 湍流是一种随机的、非定常的、由各种尺寸的漩涡组湍流是一种随机的、非定常的、由各种尺寸的漩涡组成的三维有旋流动。在湍流中，流体各点的流动参数随时成的三维有旋流动。在湍流中，流体各点的流动参数随时间和空间作随机变化。间和空间作随机变化。 Tt0t0+Ttuuuu右图为湍流流场中用高精度右图为湍流流场中用高精度的热风速仪测量得到的某一的热风速仪测量得到的某一点流体质点运动速度点流体质点运动速度, ,该点该点的速度有两个特征：的速度有两个特征：特征：特征：1）速度随时间的变化呈无规则的随机性脉动；2）存在着一个平均值，脉动围绕在平均值附近进行，则其速速可表示为：01,TuuuuudtTuuu时均