2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第1讲直线的倾斜角与斜率、直线方程

1、第 1 讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、知识梳理1. 直线的倾斜角定义：当直线 I 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 I 向上方向之间所 成的角叫做直线 I 的倾斜角.(2) 规定：当直线 I 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3) 范围：直线 I 的倾斜角的范围是0 ,n)2. 直线的斜率n(1) 直线 I 的倾斜角为a2，则 I 的斜率 k = tanay一 y1(2) 两点 Pi(xi, yi), P2(x2, y2)在直线 I 上，且XIMX2,贝 U I 的斜率 k= 一 .2X13直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y yo= k(xx

2、o)斜截式y= kx+ b不能表示斜率不存在的直线两点式y y1x X1y2 y1x2 X1不能表示平行于坐标轴的直线截距式x , y 彳 一+ 丄=1 a b不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax By C = 0 (A- B 不同时为零)可以表示所有类型的直线常用结论1.直线的倾斜角和斜率的关系(1) 直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.n不是倾斜角越大，斜率 k 就越大，因为 k= tana,当a0, 2 时，a越大，斜率 knn就越大，同样a2，n时也是如此，但当a0,兀且a时就不是了.2 识记几种特殊位置的直线方程(1) x 轴：y= 0.(2) y 轴：x= 0.(3)

3、平行于 x 轴的直线：y= b(b 0).(4) 平行于 y 轴的直线：x= a(a 0).(5) 过原点且斜率存在的直线： y= kx.二、习题改编1._(必修 2P95 练习 T1 改编)经过点 P(2, - 3),倾斜角为 45的直线方程为 _ .答案：x y 5 = 02._(必修 2P100A 组 T1(4)改编)经过点 A( 1,0), B(2, 2)两点的直线方程为 _.答案：2x+ 3y+ 2= 03.(必修 2P90B 组 T5 改编)若过两点 A( m, 6), B(1, 3m)的直线的斜率为 12,则直线的方程为_ .答案：12x y 18= 0一、思考辨析判断正误(正确

4、的打“V”，错误的打“x”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()直线的斜率为 tana,则其倾斜角为a(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()经过点 P(xo, yo)的直线都可以用方程y yo= k(x xo)表示.()经过任意两个不同的点Pi(xi, yi), P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y yi)(x2 xi)= (xxi)(y2 yi)表示.()答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V二、易错纠偏常见误区(1)对倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为 0 的情况.1.直线 x+i 3y+ 1 = 0 的倾斜角是()AnAn2nC.y2._ 过点 P(2,

5、3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _ .解析：当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x 2y= 0;当纵、横截距均不为 0 时，设x y2 3直线方程为 a+ a= 1，则 a + a= 1，解得 a= 5所以直线方程为 x+ y 5 = 0.a aa a答案：3x 2y= 0 或 x+ y 5 = 0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)D.解析：选 D.由直线的方程得直线的斜率为k= ,设倾斜角为a,则 tana=,所以a=(1)直线 xsina+y+ 2 = 0 的倾斜角的取 值范围是()冗，3nA0,nB. 0, - U -,nnn nC.o, 4D.o, 4U2，n直线 l 过点 P

6、(1 , 0)，且与以 A(2, 1), B(0 ,.3)为端点的线段有公共点，则直线 I 斜率的取值范围为_ .【解析】 设直线的倾斜角为则有 tan0=-sina因为 sina 1, 1,所以K tann3n01，又 0 ,n)所以 0W 04 或4三X n故选 B.1 0(2)如图，因为 kAP= 1,2- 130kBP=,3，所以直线 I 的斜率 k( 8, 3U1,+s).【答案】(1)B(2)( 8,3U1,+8)【迁移探究 1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线 2xcosay 3 = 0an，n的倾斜角的变化范围为_ .解析：直线 2xcosay 3= 0 的斜率 k= 2

7、cosa由于an,n,所以 cosaW冲，因O 322此 k= 2cos 1 ,3.设直线的倾斜角为0,则有 tan 氏1 ,3.由于 张0,n)所以茨n；,即倾斜角的变化范围是n n.4 3(变条件)若将本例(2)中 P(1, 0)改为 P( 1 , 0),其他条件不变，求直线 I 斜率的取值范围.【迁移探究 2】31由图可知，直线 I 斜率的取值范围为1,3 .(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤求出斜率 k=tana的取值范围;利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角a的取值范围.求倾斜角时要注意斜率是否存在.(2)斜率的求法因为 P(- 1, 0), A(2, 1), B(0,.3),

8、所以 kAP=1-02-(- 1)3 00 -(- 1)3定义法：若已知直线的倾斜角a或a的某种三角函数值，一般根据 k= tana求斜率;当横截距、纵截距都不为零时y2 y1公式法：若已知直线上两点A（xi,yi）,B（X2,y2）,般根据斜率公式 k=（xiX2）X2 Xi求斜率.1. 若点 A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则 a 的值为_ .5 3a 3解析：因为 kAc= 1, kAB= a 3.6 45 4由于 A, B, C 三点共线,所以 a 3= 1,即 a= 4.答案：4n n2n2. 若直线 I 的斜率为 k,倾斜角为a且a6，4U，n，则 k 的取值范围

9、是 _解析：当a6， 4 时，k= tana -3, 1 ；2n当a,n时，k= tana 3, 0）.综上得 k ,3, 0）U于,1 .答案：3, 0）U专，13直线的方程(师生共研)(1)若直线过点 A(1, 3)，且斜率是直线1y=-4x 的斜率的 3，则该直线的方程为 _ 3若直线经过点 A(-5, 2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则该直线 的方程为_ 14【解析】(1)设所求直线的斜率为k,依题意 k=- 4X- =-4.又直线经过点 A(1, 3),4因此所求直线的方程为y 3=- (x- 1),即 4x+ 3y- 13 = 0.(2)当横截距、纵截距

10、均为零时，设所求的直线方程为y= kx,将(-5, 2)代入 y= kx当横截距、纵截距都不为零时33设所求直线方程为 2a+a=i，1将(-5, 2)代入所设方程，解得 a=- 2,此时，直线方程为 x + 2y+ 1 = 0.综上所述,所求直线的方程为 x+ 2y+ 1 = 0 或 2x+ 5y= 0.【答案】(1)4x+ 3y 13= 0(2)x+ 2y+ 1 = 0 或 2x+ 5y= 0巧设直线方程的方法(1) 已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2) 已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(

11、3) 当题目涉及直线在 x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在 x 轴、y 轴上的截距为 0 的情况；(4) 已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程.注意(1)当已知直线经过点(a, 0),且斜率不为 0 时，可将直线方程设为 x= my+ a;中，得 k =-5 此时，直线方程为 y= |x,即 2x+ 5y = 0.(2)当已知直线经过点(0, a),且斜率存在时，可将直线方程设为 y= kx+ a;(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为 y= kx.1.已知 ABC 的三个顶点坐标为 A(1 , 2), B(3, 6), C(

12、5, 2), M 为 AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线 MN 所在直线的方程为()A . 2x+ y 12= 0B. 2x y 12= 0C. 2x+ y 8 = 0D. 2x y+ 8 = 0解析：选 C.由题知y 4 x 2M(2, 4), N(3, 2),中位线 MN 所在直线的方程为=,整2 4 3 2理得 2x+ y 8= 0.2.经过点 B(3, 4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为解析：由题意可知，所求直线的斜率为土 1.又过点(3, 4),由点斜式得 y 4= x 3).所求直线的方程为 x y+ 1 = 0 或 x+ y 7= 0.答案：x y+

13、1 = 0 或 x+ y 7= 0直线方程的综合应用(典例迁移)(一题多解)已知直线 I 过点 M(2, 1),且分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，0 为原点，当 AOB 面积最小时， 求直线 I的方程.1【解】 法一：设直线 I 的方程为 y 1 = k(x 2)(k?(4 + 4)= 4,当且仅当一 4k= -,即 k =x y等号，此时 a = 4, b= 2,故直线 I 为 4+ 2 = 1,即 x+ 2y-4= 0.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，当|0A|+ |0B|取最小值时，求直线2 1解：由本例法二知，一+匸=1, a0, b0,a b 2 1 所

14、以 |0A|+ |0B|= a + b= (a + b)肓+ b=3+ a +3+ 2 2,b a当且仅当 a = 2+ 2, b= 1 + . 2 时等号成立，所以当|0A|+ |0B|取最小值时程为 x+ 2y= 2+ . 2.I 的方程.,直线 I 的方直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，等式求解最值.再利用基本不(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.1 直线 X 2y+ b= 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是()A2,2B.( s,2U2,+)C.2,0)U(0,2D.( m,+m)解析：选 C.令 x= 0,得 y= 2,令 y= 0,得 x= b,1b1i所以所求三角形的面积为b|= b2,且 b丰0,；b2w1,所以 b2w4,所以 b 的取值21144范围是2, 0)U(0 , 2.2.已知直线 x+ 2y= 2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A, B 两点，若动点 P(a , b)在线段 AB上，则 ab 的最大值为_.x解析：直线方程可化为 2 + y= 1,故直线与 x 轴的交点为 A(2, 0),与 y 轴的交点为 B(0 ,1),由动点 P(a ,