七年级数学下册5.3.2《简单的轴对称图形(二)》尺规作图数学史素材(新版)北师大版

1、初中尺规作图数学史尺规作图是起源于古希腊的数学课题. .只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题 平面几何作图，限制只能用直尺、圆规. .在历史上最先明确提出 尺规限制的是伊诺皮迪斯他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等 . 这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题在这以前，许多作图题是不限工具的伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在几何原本之中初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种限用直尺和圆规来完成的作图方

2、法，叫做尺规作图法最简单的尺规作图有如下三条：经过两已知点可以画一条直线；已知圆心和半径可以作一圆； 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第 二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点 一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题历史上，最著名的尺规作图不能问题是： 三等分角问题：三等分一个任意角； 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

3、 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积这三个问题后被称为几何作图三大问题”直至 18371837 年，万芝尔（PierrePierre LaurentLaurentWantzeltzel ）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；18821882 年，德国数学家林德曼（FerdiFerdi nandnand LinLin demadema nnnn ）证明n是一个超越数（即n是一个不满足任何整系数 代数方程的实数），由此即可推得根号n（即当圆半径r =1时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题若干著名的尺规作图已知是

4、不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由1919 世纪出现的伽罗华理论尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及 三等分任意角最受注意数学家 UnderwoodUnderwood DudleyDudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书还有另外两个著名问题：正多边形作法只使用直尺和圆规，作正五边形只使用直尺和圆规，作正六边形只使用直尺和圆规，作正七边形一一这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著 名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是 不足以把一个角分成三等份的 问题的解

5、决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4 4 等分这个问题传言是拿破仑波拿巴出的，向全法国数学家的挑战 尺规作图的相关延伸：用生锈圆规（即半径固定的圆规）作图1.1. 只用直尺及生锈圆规作正五边形2.2. 生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB=BC=CA. .3.3. 已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点4.4. 尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发

6、的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达 .10.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. .16721672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！ 从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交 点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.1.做一线段等于已知线段2.2.做一角等于已知角代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤用这种方法作图称3 3做一角的角平分线 4.4.过一点做一已知线段的垂线5 5做一线段的中垂

7、线下面介绍几种常见的尺规作图方法:轨迹交点法：解作图题的一种常见方法解作图题常归结到确定某一个点的位置两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的 位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一 条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点 这个利用轨迹的交点来解作图题的 方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法修建在什么位置?【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点【解析】 作两条公路夹角的平分线OD或0E; 作线段AB的垂直平

8、分线FG;则射线OD，0E与直线FG的交点 C C1，C C2就是发 射塔的位置. .代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用. .如果这【例 1 1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m m、n n 的距离也必须相等，发射塔P应C2E为代数作图法【例 2 2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）【分析】设半径为1. .可算出其内接正方形边长为2 2，也就是说用这个长度去等分圆周我们的任务就是做出这个长度六等分圆周时会出现一个.3 3 的长度. .设法构造斜边为 3 3，一

9、直角边为1的直角三角形，2 2 的长度自然就出来了 . .【解析】具体做法：随便画一个圆设半径为 1.1. 先六等分圆周. .这时隔了一个等分点的两个等分点距离为.3.3. 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点. .（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2 2，腰为 3 3 的等腰三角形. .可算出顶点距圆心距离就是.2 2 . .） 以 2 2 的长度等分圆周就可以啦!旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何兀素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径【例 3 3】已知：直

10、线 a a、b、c c ,且a II b II c.求作：正AABC，使得A、B、C三点分别在直线 a a、b、c c 上. .于D，将ABD绕A点逆时针旋转60后，置于AACD的位置，此时点D的位置【分析】 假设ABC是正三角形，且顶点A、BC三点分别在直线 a a、b、c c 上. .作AD_b可以确定从而点C也可以确定再作.BAC=60,B点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出【解析】作法：在直线 a a 上取一点A，过A作AD _b于点D； 以AD为一边作正三角形ADD ；过D作DC _AD，交直线 c c 于C； 以A为圆心，AC为半径作弧，交b于B（使B与D在AC异侧）. .

11、连接AB、AC、BC得ABCABC即为所求 位似法作图：利用位似变换作图， 要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形， 然后利用位似变换， 将这个与其位似得图形放大或 缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件【例 4 4】 已知：一锐角ABC. .求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC边上，F在AC边上，G在AB边上【分析】先放弃一个顶点F在AC边上的条件，作出与正方形DEFG位似的正方形DEFG，然后利用位似变换将正方形DEFG放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG. .【解析】作法： 在AB边上任取一点G，过G作GD_BC于D 以GD为一边作正方形DEFG，且使E在BD的延长线上作直线BF交AC于F 过F分别作FG II FG交AB于G;作FE II FE交BC于E过G作GDIIGD交BC于D 则四边形DEFG即为所求 面积割补法作图： 对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形【分析】因为中线AM平分ABC的面积，所以首先作中线AM，假设 PQPQ 平分ABC的面 积，在