21.4《一元二次方程》小结与复习

1、一元二次方程小结与复习1、一元二次方程的相关概念;2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况;5、构造一元二次方程解决简单的实际问题;学习重点运用知识、技能解决问题。一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式，只含有一个求知数(一元)，并且求知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做5、一元二次方程的根与系数的关系:(韦达定理)当=b* 2 3 4-4ac0 时，一元二次方程_b . b2- 4acax2+bx+c=0(a丰0 的求根公式为 x=-:- ; 若一兀2a二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0 的两根为 X

2、1、bcx2，贝yx1+ x2= ,X1?X2=。aa .” 、十2若一兀二次方程x+px+q=0 的两根为x1、x2，则：X1+ X2= -p , X1?X2=。6、一元二次方程的应用。、基本知识训练F 列方程中是关于 x 的一元1、.次方程的是【C】212x2亠一2= 0B .ax bx c = 0C.(x T)(x 2) = 1D .x某学校准备修建一个面积为200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多米，则可列方程为 x(x+ 10) = 200，化为一般形式为 X2+10 x-200=0。3、 已知 1 是关于 x 的一元二次方程(m- 1) x2+x+仁 0 的一个根，则A .1 B .

3、 - 1 C. 0 D.无法确定4、 咸宁市 2009 年平均房价为每平方米2000 元.连续两年增长后，2011 年平均房价达到每平方米 2420 元，设这两年平均房价年平均增长率为X,依题意可列方程为 2000 (1+x)2=2420，此方程话宜用直接开平方法解。2 23x -2xy-5y 02、10 米，设花圃的宽为 xm 的值是【B】兀二次方程;4、能简单运用元二次方程的学习难点解题分析能力的提5、用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2- 2x - 3=0 ,配方后的方程可以是【2 一兀二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a丰0)其中 a2是二次项，a_是二次项系数，是 一次

4、项，乞是一次项系数，9 是常数项。(x 1)=46、若一兀二次方程B. (x+1) =4 C. (x 1) =16 D. (x+1) =162x 2x m = 0有实数解，则 m 的取值范围是【m _-1B .m 11 0,13解之得：m .4(2)由一元二次方程的根与系数的关系可知： 2X(-3)+ ( m-1)+10=0解之得：m=-3.【例 4】如果方程 x2+ px+ q = 0 的两个根是 x1, x2,那么 x1+ x2= p, X1 x2= q.请根据以上，解决下列问题：(1)已知关于【例(1)(2)解：(1)Xi+x2=-3, X1X2= m-1,x 的方程 x2+ mx+ n

5、= 0 (n 0),求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知(2)已知 a、(3)已知 a、22a bb 满足 a2 15a 5= 0, b2 15b 5= 0,求 + 的值； b ab、c 均为实数，且 a+ b + c= 0, abc = 16,求正数 c 的最小值.解：（1 ）设 x2+ mx+ n = 0 （n丰0）的两根为二 x1+ x2= m, xi x2= n.47 或 2.b 是方程 x2+ cx+ I6= 0 的两根. =c c0,C3%4.c4. c 的最小值为4.【例 5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后

6、，以每千克（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择: 方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200 元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为x，依题意可列方程：25（1 -x） -3.2解这个方程，得论=0.2,x2=1.8因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是冷=0.2=20%答：平均每次下调的百分率是20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为：3.2 0.9 5000 = 14400（元）方案二所需费用为：3.2

7、 5000-200 5 =15000（元）/ 14400 - 110、用适当的方法解下列方程：X-2X-3=0(2)X(X-2)+X-2=07、9、解:11、解：%、Xi=-1,x2=3; (2)xi=-1,X2=2;先化简，再求值：a 2 .彳2a 1 a2-1 .a 1，其中23(X+1)(X-1)+2(X+3)=8X-3X-1=0/、3品X2=-3;(4)X =-2 xi=1,a是方程x2- x = 6的根.原式=a一2一(a 1)(a-_(2a_1a2-1-2a2-2a a -2a 1-7=-:-a2-1 a 1 (a 1)(a -1) a(a -2)22 a是方程X-x=6的根，.a

8、 -a =6原式=1_ =a2-a62 212、已知关于X的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。解：方程(k-2)2x2+(2k+1)x+仁 0 有两个不相等的实数根2 2 2(k-2)工 0,且厶=(2k+1) -4(k-2) X1=20k-160.3口-k 且 k2412a -a13、已知 X1、X2是方程2X2+14X16=0 的两实数根，求 生+圣的值.X1X2解：由根与系数的关系，得X1+X2=-7 , X1X2=-8 ,2222x2卜洛x2+x!2XM27 2(8)65= = = =-8X1X2X1X2X1X2214、已知

9、关于X的一元二次方程X+(m+3)x+m+1=0.(1) 求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 X1, X2是原方程的两根，且|X-x2=2 2，求 m 的值，并求出此时方程的两根.2、3、4、方程(m-2)x +3mx+1=0 是关于 X 的一元二次方程，则 已知关于 X 的方程 x2-kx-6=0 的一个根为-2，则实数1关于m= -2。k 的值为【CB.-1C. 22 2X的二次方程(a-1)x +x+a -1=0 的一个根是 0,则B、 -1C、1 或-1D. -2a 的值为【BD、0.55、方程(1)证明:=(m+3) -4(m-1) =(m+1) +4.无

10、论 m 取何值时，(m+1)2+4 的值恒大于 0, 原方程总有两个不相等的实数根.(2)解：I % , x2是原方程的两根,-xi+X2=-(m+3), xiX2=m+1* _x2|=2 ; (x -冷)2=(2Q)2,222 (xi+x2)- 4xix?=8 , -( m+3) -4( m+1 )=8, m +2m- 3=0,解得：mi=-3, m2=1.当 m=-3 时，原方程化为：x2-2=0，解得：為=.2, X?二- 2 .当 m=1 时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得:X =-2 宀、：2, X2=-2 -15、阅读下面的材料，回答问题：解方程 x4 5x2+4=0 ,这是

11、一个一元四次方程， 根据该方程的特点， 它的解法通常是：设 x2=y,那么 x4=y2，于是原方程可变为 y2 5y+4=0 ，解得 y1=1, y?=4 .当 y=1 时，x2=1x= 1;当 y=4 时，x2=4 , x= 2 ；原方程有四个根：X1= 1 , X2= 1, X3=2 , X4= 2.(1)在由原方程得到方程的过程中，利用换元 法达到降次的目的，？体现了数学的转 化思想.(2) 解方程(x2+x)2 4 ( x2+x) 12=0 .解：(2)设 x2+x=y,原方程可化为 y2 4y 12=0,解得 y1=6, y2= 2.2由 x +x=6，得 X1= 3, X2=2 .

12、由 x2+x= 2,得方程 x2+x+2=0 ,b2 4ac=1 4 x 2= 7 25 ,故 X1=10 (不合题意舍去)，答：可以围成 AB 的长为 15 米，BC 为 20 米的矩形.17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗 不超过 60棵，每棵售价 120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售 介均降低 0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8800 元,请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为 60 棵树苗售价为 120 元 00=7200 元V8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得:x120 - 0.5 (x- 60) =8800 , 解得：X1=220, X2=80.当 X2=220 时，120 - 0.5 (220 - 60) =40V100, 二=220 (不合题意，舍去);_1 gW_ADABCD (围使矩形花园的当 X2=80