不等式的基本性质

1、课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时)教学目标：1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A

2、、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。研究比较大小的依据：ABx我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么ab。而ab表示a减去b所得的差，由于ab，则差是一个正数，即ab0。命题：“若ab，则ab0”成立；逆命题“若ab0，则ab”也正确。类似地：若ab，则ab0；若ab，则ab0。逆命题也都正确。结论：(1)“ab”“ab0”(2)“ab”“ab0”(3)“ab”“ab0”以上三条即为比较大小的依

3、据：“作差比较法”。正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。研究不等式的性质：性质1：若ab，bc，则ac (不等式的传递性)证明：ab ab0bc bc0(ab)(bc)ac0 (正负数运算性质)则ac反思：证明要求步步有据。性质2：若ab，则acbc (不等式的加法性质)证明：ab ab0(ac)(bc)ab0 acbc反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。思考：逆命题“若acbc，则ab”成立吗？两边加“c”即可证明。例1 求证：若ab，cd，则acbd (同向不等式相加性质)证明1

4、：ab acbc(性质2)cd bcbd(性质2)则acbd(性质1)证明2：ab ab0cd cd0(ab)(cd)0 即(ac)(bd)0 (作差比较法)则acbd反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)练习：求证：若ab，cd，则acbd (异向不等式相减性质) 作业证明1：cd cd0得dc0 即cd(正数得相反数为负数)亦可由cd两边同加(cd)，直接推出cd (性质2)ab a(c)b(d)(同向不等式相加性质)则acbd(加减法运算法则)证明2：ab ab0cd dc0(ac)(bd)(ab)(dc)0 (作差比较法)则acbd性质3：若ab

5、，c0，则acbc若ab，c0，则acbc (不等式的乘法性质)证明：acbc(ab)c (作差比较法)ab ab0(1) 当c0时，(ab)c0，得acbc (正负数运算性质)(2) 当c0时，(ab)c0，得acbc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！强调！思考：(1)“若ab，则ac2bc2”成立吗？不成立！反例：c0时不成立。(2)“若ac2bc2，则ab”成立吗？成立！隐含c20。练习：(1)教材P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)(2)教材P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)2、求证：若ab0，

6、cd0，则acbd (同向不等式相乘性质)证明：ab，c0 acbc(性质3)cd，b0 bcbd(性质3)则acbd(性质1)特例：当ac且bd时，有“若ab0，则a2b2”推而广之：若ab0，则anbn (nN*) (不等式的乘方性质)推而广之：若ab0，则 (nN*，n1) (不等式的开方性质)可用反证法进行证明。3、求证：若ab0，则0 (不等式的倒数性质) 作业证明：ab0 0，0，ab00 (正负数运算性质) 则0例2比较(a1)2与a2a1的值的大小。解：(a1)2(a2a1)3a(1)当a0时，(a1)2a2a1(2)当a0时，(a1)2a2a1(3)当a0时，(a1)2a2a

7、1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！强调！例3解关于x的不等式m(x2)xm。解：(m1) xm(1)当m1时，xR(2)当m1时，x；(3)当m1时，x反思：(1) 引起讨论的原因是什么？m1值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第1课时作业：练习册P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第2课时：讲评作业或者做教材P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评)例1 解关于x的不等式：(m24)xm

8、2。解：(1) m240即m2或m2当m2时，x当m2时，xR(2) m240即m2或m2时，x(3) m240即2m2时，x反思：(1) 引起讨论的原因是什么？m24值的不确定性(2) 如何进行讨论？不等式性质例2 若m0，yx0，试比较与的大小。解：yx yx0y0，m0 ym0又y0，m0 0 则引申：若a、b、c、d均为正数，且，求证：证明1：(作差比较法) ，b0，d0 bcad 得0 则同理可证：证明2：(变更论证法) b0，bd0 a(bd)b(ac)a(bd)b(ac)adbc，b0，d0 adbc 得a(bd)b(ac)则 同理可证：例3 若x0，试比较与的大小。分析：直接作

9、差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。解：()22x32，()22x32 2x322x32得()2()2则反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。例4 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？平均单价便宜。解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，甲平均单价为，乙平均单价为(1) ab时，；(2) ab时，由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。例5 (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，

10、高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中ab。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。解：(1)取A、B：(a3a2b)(ab2b3)(ab)2(ab) 无法确定大小(2)取A、C：(a3ab2)(a2bb3)(a2b2) (ab) 无法确定大小(3)取A、D：(a3b3)(ab2a2b)(ab) (ab)2由于ab，则(ab) (ab)20，即a3b3ab2a2b 先取A、D则必胜！能否推广？ 观察a3b3ab2a2b的特征，进行猜测。a4b4ab3a3b，a4b4a2b2a2b2a5b5ab4a4b，a5b5a2b3a3b2更为一般性的结论：a、bR，m、nN*，则a m+nbm+nambnanbm证明：(a mnb m