关于几何凸函数的不等式

1、关于几何凸函数的不等式杨 露(重庆邮电学院 计算机学院数学部 , 重庆 400065 摘 要 :首次给出几何凸函数的概念 , 并获得了几何凸函数的若干重要不等式 .关键词 :几何凸函数 ; 不等式 ; 半正定矩阵中图分类号 :O174. 13 文献标识码 :A 文章编号 :1000-1565(2002 04-0325-04全文约定 :区间 a , b<0, , R m +表示分量都为非负实数的 m 维向量的集合 , S H k ×k +表示 k 阶半正定自共轭四元数矩阵 , S H k ×k +(m 表示所有 X =(X 1, X 2, , X m (X i S H

2、k ×k +, i =1, 2, , m 的集合 . 设 f (x , f (x 为连续的 , 令 f (x :a , b 0, , f ( :R m + (0, , F (x :S H k ×k + 0, , f (H k ×k +(m 0, . 约 定如下运算f 1( =(f 1(x 1 , f 1(x 1 , 1( ,f 1( f 2( =(f 1(x 1 f 2(y 22, f 1x m f 2(x m ,其中 f 1(x , f 2(x :R + 0, , (, x 2, , y 1, y 2, , y m R m +.例如x p =(x p 1, x

3、p 2, , x p m ,=(x 1, y 1, x 2y 2, , x m y m ,同样约定F 1(X =(F 1(X 1 , F 1(X 2 , , F 1(F m ,F 1(X F 2(Y =(F 1(X 1 , F 2(Y 1 , F 1(X 2 F 2(Y 2 , , F 1(F m F 2(Y m ,其中 F 1(X , F 2X :S H k ×k + S H k ×k +, X =(X 1, X 2, , X m , Y =(Y 1, Y 2, , Y m S H k ×k +(m . 如果对任给的 x 1, x 2 a , b(或 1, 2

4、R m +/X 1, X 2 S H k ×k +/X 1, X 2 S H k ×k +(m , 都有 f (x 1, x 2 f (x 1 f (x 2 , (或 f (1, 2 f (1 f (2 , /F (X 1X 2 F (X 1 F (X 2 , /F (X 1X 2 F (X 1 F (X 2 .则称 f (x (或 f ( /F (X /F (X 为 a , b(或 R m +/S H k ×k +/S H k ×k +(m 上的几何凸函数 . 当且仅当 x 1=x 2(或 1=2, X 1=X 2/X 1=X 2时不等式等号成立 ,

5、则相应称其为严格几何凸函数 .当上述四个不等号反向时 , 则将其上述函数相应的称为几何凹函数和严格几何凹函数 .本文的主要结果是定理 1 设 f (x 为区间 a , b上的连续正值严格几何凸函数 , >0, >0, +=1, 则有收稿日期 :2002-03-15基金项目 :四川省教育委员会青年科研基金资助项目 (1997134 ; 重庆邮电学院青年教师科研基金资助项目作者简介 :杨 露 (又名杨定华 (1978- , 男 , 四川高县人 , 重庆邮电学院教师 .第 22卷 第 4期2002年 12月 河北大学学报 (自然科学版 Journal of Hebei Universit

6、y (Natural Science Edition Vol. 22No. 4Dec. 2002 f (a b f (f (b , (1 其中等号当且仅当 a =b 时成立 .不等式 (1 的广泛形式为定理 2 设 x i a , b, i >0(i =1, 2, , n , 1+2+ +n =1, 则有f (x 11x 22 x n n f 1(x 1 f 2(x 2 f n (x n , (2其中等号当且仅当 x 1=x 2= =x n 时成立 .不等式 (2 的积分形式为定理 3设 m (x 为正值连续函数 , b am (x d x =1, 则有 f (e ba m (x /ln

7、 x d x e b a m (x ln f (x d x , (3其中等号当且仅当 f (x =c (c >0为常数 时成立 .定理 4 设 x i , y i a , b, i =1, 2, , n , 满足x 1 x 2 x n >0,y 1 y 2 y n >0, k i =1x i ki =1y i (1 k n -1 , x 1x 2 x n =y 1y 2 y n ,(3(对于满足 (3 式的 x =(x 1, x 2, , x n , y =(y 1, y 2, , y n , y 被 x 对数控制 . 记作 ln x 9ln y. 则成立不等式f (x 1f

8、 x 2f (n (f (y 2 f (y n , (4其中等号当且仅当 x i =y i , , .定理 5 设 R m +, , >0, +=1, 则对任意的 , R m +, 则有f ( f ( f ( , (5其中等号当且仅当 =(>0 时成立 .不等式 (5 的广泛形式为定理 6设 i R m +, i >0(i =1, 2, , n , 1+2+ +m =1, 则有f (1121n n f 1(1 f 2(2 f n (n , (6其中等号当且仅当 11=22= =n n (i >0, i =1, 2, , n 时成立 .相仿地 , 我们也可以得到半正定 k

9、 阶自共轭四元数矩阵上的一些几何凸函数不等式 .定理 7设 F (X 为 S H k ×k +点的正值严格几何凸函数 , , >0, +=1, 则成立不等式F (X Y F (X F (X , (7其中等号当且仅当 X =Y 时成立 .不等式 (7 的广泛形式为定理 8设 X i S H k ×k +, i >0, i =1, 2, , n. 1+2+ +n =1, 则有F (X 11X 22 X n n F 1(X 1 F 2(X 2 F n (X n , (8其中等号当且仅当 X 1=X 2= =X n 时成立 .定理 9设 F (X 为 S H k 

10、15;k +(m 上的几何凸函数 , 对任给的 X , Y S H k ×k +(m , , >0, +=1, 则有F (X Y F (X F (Y , (9其中等号当且仅当 X =Y ( R + 时成立 .不等式 (9 的广泛形式为定理 10 设 X i S H k ×k +(m , i >0, i =1, 2, , n , 1+2+ +n =1, 则有F (X 11X 22 X n n F 1(X 1 F 2(X 2 F n (X n ,(10 623 河北大学学报 (自然科学版 2002年其中当且仅当 1X 1=2X 2= =n X n (i >0,

11、 i =1, 2, , n 时成立 .注记 当 f (x (或 f ( /F (X /F (X 为 a , b(域 R m +/S H k ×k +/S H k ×k +(m 上的几何凹函数时 , 不等式 (110 的不等号均反向 .以上所有这些不等式结论 , 类比于通常所指凸函数不等式的证明方法 , 可相仿给出证明 . 详细证明将另行 文给出 .几何凸函数不等式类比于我们通常所指的凸函数不等式虽然较为简单而且自然 , 但它却是一个崭新的领 域 , 本文所得的不等式有强大的应用功能 , 下面仅举两例说明例 1 将不等式 (5 作如下代换 x =a , y =b 得 f (

12、f (a f (b , (11令 a =(a 1, a 2, , a m , b =(b 1, b 2, , b m R m +, =p , =q, 由 Cauchy 不等式易知 f ( =x 1+x 2+ +x m 为几何凸函数 , 从而 (11 式成立 , 而 (11 式正好为著名的 H lder 不等式 m i =1a i b i ( m i =1a p i p ( mi =1b q i q . (12其中等号当且仅当 i =b i (>0, i =1, 2, , n (即 =b 时成立 . 例 2 1980年 , Bellman 在第二次国际不等式会议上证明了不等式tr (AB

13、trA 22. (13(其中 A , B 为 k 阶半正定 Hermite 矩阵 , Bellman 4, 文献 5花了 大量篇幅证实了这个猜想 . 事实上 , .令 F (X =trX , 由 (13 式知 F (X (11n n 1 1(trA 2 2 (trA n n . (14(其中 A i 为 k , i 0, i =1, 2, , n , 1+2+ +n =1 不等式 (14 蕴含了文献 5的主要结果 .当然几何凸函数不等式的应用远远不止如上两例 , 事实上 , 几何凸函数不等式是发现新不等式的强有力的 工具 .参 考 文 献 :1HADAMARD J. Etude sur les

14、 propietes des functions entieres et en particklier dune fonctions consideree par riemann J.Jour Math Bures Appl ,1983,58:171-215.2WANG ZHONG L I ,W ANG XINGHUA. On an extention of Hadamard inequalities for convex functions J.Chin Ann of Math ,1982,65(3 :567-570.3冯慈璜 . 关于凸函数的 Hadamard 不等式 J.数学年刊 (A

15、,1985,6(4 :443-446.4BECHENBAE F ,BE LLMAN R. InequalitiesM.Berlin :Springer2Verlag Press ,1980.5陈道琦 . 关于半正定 Hermite 矩阵乘积迹一个不等式 J.数学学报 ,1998,31(4 :565-569.6黄礼平 . 关于四元数矩阵乘积迹的不等式 J.湖南数学年刊 ,1991,11(1-2 :89-97.7史树中 . 凸性 (走向数学丛书 M.长沙 :湖南教育出版社 ,1991.8HARDY G H ,L ITTEWOOD J E ,POL Y A. Inequalities M.2nd.

16、ed. Cambridge :CambridgeUniversity Press ,1952. 723 第 4期 杨露 :关于几何凸函数的不等式Som e I nequ alities on G eom etric C onvex Fu nctionY A NGLu(Department of Mathematics ,Institute of C omputer Science &T echnology ,Chongqing University of Posts and T elecommunications ,Chongqing 400065,China Abstract :We

17、 first establish the concept of gemetric convex function ,and s ome important inequalityies of the geomet 2ric convex function are given.K ey w ords :gemetric convex function ;inequality ;postive semidefinite hermite matrix(责任编辑 :李洪建 (上接第 315页 R eferences :1FI L IPPOV V T. N -Lie algebras J.S ib Mat Zh ,1985,26(6 :126-2K ASY MOV SH M. On a theory of n -Lie algebras J.( :2713BAI RUIPU ,ZHANG ZHIXUE ,L I HUA JUN ,et The +1 -dimensional n -Lie algebras J.C omm inAlg ,2000,28(6 :2927-2934.-Lie 代数的上同调群卢艳霞 , 史会峰(华北电力