任意轴对称荷载作用下横观各向同性圆柱体的变形分析

1、任意轴对称荷载作用下横观各向同性圆柱体的变形分析李金兰刘宾1999级土木工程专业岩土工程班摘要： 本文用幂级数法分析了任意轴对称法向称荷载作用下横观各向同性圆柱体的变形问题。将应力函数和法向荷载展成为Fourier 级数的形式，利用问题的边界条件求解方程中的未知系数，得到相应问题的应力及位移解。通过对不同各向异性参数对应的应力进行分析，发现轴向应力受弹性模量变化影响显著，环向应力对泊松比变化较敏感。关键词：横观各向同性 圆柱体 变形分析 Fourier 级数文献从横观各向同性材料的基本解出发，用积分的方法得到了轴对称问题的基本解。文献采用复变函数解法横观各向同性弹性力学空间轴对称问题应力分量、

2、位移分量以及边界条件的复变函数表达式。以上研究成果均能较好的反映位移随各向异性参数的变化规律，但不能较好的反映应力的变化情况。本文用幂级数法，将应力函数和法向荷载展成Fourier 级数的形式，根据相应的边界条件建立方程组，利用Matlab符号功能对公式进行了推导，并得到了应力解及位移解；并对其中的应力随材料性质的变化进行分析。2 横观各向同性圆柱体基本方程及边界条件横观各向同性体的各向同性面上所有方向都是等效方向，因此，不仅可以采用直角坐标系，也可以采用圆柱坐标系。从几何及载荷的特点考虑，采用圆柱坐标系（），其中轴为对称轴，正向铅直向下，三个坐标轴都与材料主向重合。圆柱体半径为,长度为。假定

3、圆柱体只受到轴对称的法向荷载作用，如图1所示。图1 荷载示意图Fig1. the load diagram由于一切影响力学表现的因素（几何、荷载及物性）都具有轴对称性质，所以，应力、应变及位移都与无关，实际上成为二维问题。该问题通过求解应力函数来确定应力分量，即相容方程：式中：算子（i=1,2） （1）应力分量与应力函数的的关系为： （2） 其中，s1，s2的含义可参见文献1。为径向正应力，为环向正应力，为轴向正应力，为剪切应力；边界条件为：时， 时， （3）3问题的求解在只有轴对法向称荷载作用下，将此荷载按傅立叶余弦级数展开，按下方法求解：用分离变量法，根据应力分量与应力函数的关系式，应力函

4、数的通项形式为：，代入相容方程（1）得： （4）其中，是第一类零阶修正Bessel函数。将任意法向荷载展开为傅立叶余弦级数，即 式中：，。将（4）代入（2）得： （5）参数、的表达形式见附录。其中将（5）代入（3）得： 、 、 、将 、 、 、代入式（5）可求得应力分量、。4实例分析有限长的横观各向同性实心圆柱体在轴对称的法向荷载作用下的问题进行了分析。圆柱体半径r=0.5m，l=40m，取圆柱体受到抛物线型的法向分布荷载p(z),有 （），展开为傅立叶余弦级： 问题的边界条件为：时， 时， （6） 根据表1、表2中所取的横观各向同性材料参数，确定出每组参数对应的，s1，s2值；取m=20，确

5、定出参数、的值；代入（5），与（6）联立求解出参数 、 、 、（m=1,220）；求解出应力分量、；此过程由matlab 程序来完成。表1 弹性模量取值（MPa）Table 1 Values of Youngs modulus参数水平方向弹模z轴方向弹模水平方向泊松比z轴方向泊松比z轴方向弹模变 化2002000.30.32001500.30.32001000.30.3水平方向弹模变 化2002000.30.31502000.30.31002000.30.3表2 泊松比取值Table2 Values of Poissons ratio参数水平方向弹模z轴方向弹模水平方向泊松比z轴方向泊松比z轴

6、方向泊松比变 化2002000.30.22001500.30.32001000.30.35水平方向泊松比变 化2002000.20.32002000.30.32002000.350.3 4.1计算验证以下运用Matlab的数据化和图像处理两大功能块，将所得的数据根据不同的情况转化成相应的图形。取表1，表2中的参数作径向应力沿在半径r=0.5m处沿z方向的变化曲线（见图1）可知：径向应力不随参数的变化而变化，这是与轴对称荷载下横观各向同性体的性质相符合的。图1 径向应力分布 Fig.1 Distribution of radial stress4.2 弹性模量变化对应力的影响取表1中参数作环向应

7、力、轴向应力在半径r=0.3m处沿z变化的曲线（见图2、图3）。可知：环向应力和轴向应力随弹性模量的变化较大，轴向应力对水平方向弹性模量比对轴向弹性模量敏感。环向应力对轴向弹性模量比对水平方向弹性模量敏感。4.3泊松比的变化对应力的影响取表2中参数作环向应力、轴向应力在半径r=0.3m处沿z变化的曲线（图4、图5）。可知：泊松比的变化对轴向应力的影响不大；对环向应力影响显著，环向应力对轴向泊松比相对于对水平方向泊松比来说比较敏感. 图2环向应力分布 图3轴向应力分布 Fig.2 Distribution of circumference stress Fig.3 Distribution of

8、 circumference stress 图4环向应力分布 图5 轴向应力分布 Fig.4 Distribution of circumference stress Fig.5 Distribution of circumference stress5.结论（1）用分离变量法，把应力函数和法向轴对称荷载展成傅立叶级数求解横向各向同性圆柱体应力和位移是一种可行的方法。（2）径向应力不随材料的变化而变化；环向应力和轴向应力随弹性模量的变化较大，轴向应力对水平方向弹性模量比轴向弹性模量敏感。环向应力对轴向弹性模量水方向弹性模量敏感。（3）泊松比的变化对轴向应力的影响不大；对环向应力影响显著，环向应力对轴向泊松比比对水平方向泊松比敏感。参考文献1、陈子荫围岩力学分析中的解析方法，煤炭工业出版社。2、丁皓江 横观各向同性