分段线性插值与三次样条插值法

1、实验报告实验项目插值法实验日期2016/9/30理论内容分段线性插值与三次样条插值授课日期2016/9/0实验室名称文理管203微机编号E1实验目的及要求：1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。实验内容：编写分段线性插值法及三次样条插值法通用子程序，依据数据表Xi2.02.12.22.32.41.414211.44911.483341.51651.549143807593构造相应的插值多项式，并计算函数f(x) x在x 2.15的近似值实验步骤及程序：

2、1、分段线性插值法流程图2、分段线性插值法源程序:function f = fenduan(x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;y_1=0.5*y.A(-0.5);x0=2.15;f = 0.0;if(len gth(x) = len gth(y)if(le ngth(y) = len gth(y_1)n = len gth(x);elsedisp(y 和 y 的导数的维数不相等！);return;endelsedisp(x 和 y 的维数不相等！);return;endfor i=1: ni

3、f(x(i)=xO)in dex = i;break;endendh = x(i ndex+1) - x(i ndex);fl = y(i ndex)*(1+2*(x0-x(i ndex)/h)*(xO-x(i ndex+1)A2/h/h + .y(i ndex+1)*(1-2*(x0-x(i ndex+1)/h)*(x0-x(i ndex)A2/h/h;f = fl;3、三次样条插值法流程图4、三次样条插值法源程序fun cti onyy, b, c, d=spli ne3(,，)%三次样条插值函数(x,y)为插值节点，xx 为插值点;%flag 表端点边界条件类型：%flag=O:自然样条

4、(端点二阶导数为 0)；%flag=1:第一类边界条件(端点一阶导数给定)；%flag=2:第二类边界条件(端点二阶导数给定)；%vl,vr 表左右端点处的在边界条件值。% 样条函数为：Si(x)=yi+bi*(x-xi)+ci*(x-xi)A2+di*(x-xi)A3%b,c,d 分别为各子区间上的系数值%yy 表插值点处的函数值.x=2.0 2.1 2.2 2.3 2.4;y=1.414214 1.449138 1.483340 1.516575 1.549193;xx=2.15;flag=0;vl=2.0;vr=2.4;if len gth(x)=le ngth(y)n=len gth(

5、x);a=zeros (n-1,1);b=a;d=a;dx=a;dy=a;A=zeros (n);B=zeros (n ,1);endfor i=1: n-1a(i)=y(i)；dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+i)-y(i);endfor i=2: n-1A(i,i-1)=dx(i-1);A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i);A(i,i+1)=dx(i);B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1);end%自然样条端点条件(端点二阶导数为零)if flag=O;A(1,1)=1;A(n,n )=1;end%- %端点一阶导数条件

6、%if flag=1A(1,1)=2*dx(1);A(1,2)=dx(1);A( n,n-1)=dx (n-1);A( n,n )=2*dx (n-1);B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl);B(n ,1)=3*(vr-dy( n-1)/dx( n-1);end%- %端点二阶导数条件%if flag=2A(1,1)=2;A(n,n )=2;B(1,1)=vl;B(n ,1)=vr;end%- %c=AB;for i=1: n-1d(i)=(c(i+1)-c(i)/(3*dx(i);b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1)/3; endmm, n

7、n =size(xx);yy=zeros(m m,nn);for i=1:mm* nnfor ii=1: n-1if xx(i)=x(ii) & xx(i)x(ii+1)j=ii;break;elseif xx(i)=x (n)j=n-1;endendyy(i)=a(j)+b(j)*(xx(i)-x(j)+c(j)*(xx(i)-x(j)A2+d(endendj)*(xx(i)-x( j)A3;结果分析与讨论:运用 MATLAB 分别对分段线性插值和三次样条插值进行编程的到数值均为1.4664说明实验结果准确无误，通过实验可以得出，在低阶方程的求解中，两种方法均能精确的 得到近似解，但是在高阶方程的求解中三次样