2018-2019学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题演练(新版

1、特殊平行四边形全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法 些知识进行有关的证明和计算 【知识网络】四边形西组时边/-7為别平甘兰-尸平行四边韬 |_:一组郁边相等菱形矩形【要点梳理】要点一、平行四边形1定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2性质：(1)对边平行且相等；(2) 对角相等；邻角互补；(3) 对角线互相平分；(4) 中心对称图形3 .面积：S平行四边形二底咼正方形一牛角是直角AD4.判定：边：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2 )两组对边分别相

2、等的四边形是平行四边形；(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：(4 )两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形.边与角：(6) 组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形;对角线：(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形要点诠释：平行线的性质：(1) 平行线间的距离都相等；(2) 等底等高的平行四边形面积相等 要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2. 性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边相等；并能运用这(3)两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(4)中心对称图形，轴对称图形 .3

3、.面积:S菱形4.判定:(1)(2)(3)=底 咼=对角线对角线一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形 要点三、矩形1 .定义:2.性质:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(1)(2)(3)(4)具有平行四边形的所有性质;四个角都是直角； 对角线互相平分且相等； 中心对称图形，轴对称图形3.面积:S矩形=长宽4.判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)有三个角是直角的四边形是矩形.由矩形得直角三角形的性质：要点诠释：(1 )直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)直角三角形中，30 度角所对应的

4、直角边等于斜边的一半. 要点四、正方形1. 定义：2. 性质：3.面积:四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形(1)对边平行；(2)四个角都是直角；四条边都相等；对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;中心对称图形，轴对称图形 .1(3)(4)(5)(6)D4.判定:S正方形=边长x边长=x对角线x对角线2有一个角是直角的菱形是正方形； 一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形(1)(2)(3)(4)

5、(5)(6)【典型例题】类型一、平行四边形1、已知， ABC 中，/ BAC=45，以 AB 为腰以点 B 为直角顶点在 ABC 外部作等腰直 角三角形 ABD 以 AC 为斜边在厶 ABC 外部作等腰直角三角形 ACE 连结 BE DC 两条线段相 交于点 F,试猜想/ EFC 的度数并说明理由.【答案与解析】解法一：作 DH/BE 交 EA 延长线于 H,连接 CH易证四边形 BEHD 为平行四边形在厶CEH与厶EAB中CE=AE*NCEH=NEAB=90“HE=BD=AB.CEH -EAB（SAS）CH=BE=DH，. CHE= ABECHD=90；EFC= CDH=45；解法二：作 C

6、G/BE 交 AB 勺延长线于 G,连接 DGABC 与厶 ACE 都是等腰直角三角形，/ EAB=/CAEkCAB=90.又/ AEC=90 , AB/ CE.四边形 BECG 为平行四边形， CE=GB 又 AE=EQ GB=AE.在厶 BGD 与 AEB 中，DB=AB，/DBGkBAE=90,GB=AEBGDAAEB(SAS):丄GDBMABE BE=DG.平行四边形 BGCE,/ ABE=/ AGC BE=GC,/ GDB =/ AGC, GC= DG./ DGCWDGA：+ AGCMDGA：+ GDB=90.于是CDG是等腰直角三角形，所以.EFC二.DCG二45：【总结升华】 通

7、过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解.类型二、菱形ABCD 中, AB 丄 AC AB= 1，BC= J5 .对角线 AC BD 相交于点0,将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC, AD 于点 E, F.(1)证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF 是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF 与 EC 总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能, 说明理由并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数.【思路点拨】 (1)当旋转角为 90时，/ AOF=90，由 AB 丄 AC 可得 AB/ EF,即可证明四边

8、形 ABEF 为平行四边形；(2)证明 AOFACOE 即可；(3)当 EF 丄 BD 时，四边形 BEDF为菱形，又由 AB 丄 AC, AB=1, BC=J5,易求得 OA=AB 即可得/ AOB=45 ,求得/ AOF=45 ,则可得此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的最小度数为 45.【答案与解析】(1) 证明：当/ AOF= 90 时，AB/ EF,t；、如图，平行四边形又 AF/ BE四边形 ABEF 为平行四边形.(2)证明：丫四边形 ABCD 为平行四边形， AO= CQ/FAO=ZECQ/AOF=ZCOE.AOFACOE AF= CE(3)四边形 BEDF 可以是菱形.理由：如

9、图，连接 BF, DE由(2)知厶 AOFACOE 得 OE= OF, EF 与 BD 互相平分.当 EF 丄 BD 时，四边形 BEDF 为菱形.在 Rt ABC 中，AC定i=2 ,.OA= 1 = AB,又 AB!AC,AOB= 45,/AO= 45, AC 绕点 O 顺时针旋转 45时，四边形 BEDF 为菱形.【总结升华】 要证明四边形是菱形， 先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形 .举一反三：【变式】已知：如图所示，BDABC 的角平分线，EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于 E, 交 BC 于点 F.求证：四边形 BFDE 是菱形

10、【答案】证明： EF 是 BD 的垂直平分线， EB=EDZEBDdEDB.又/EBD=ZFBD / FBD2EDB ED/ BF.同理，DF/ BE四边形 BFDE 是平行四边形.又 EB=ED四边形 BFDE 是菱形.3、在口ABCD 中 ,对角线 AC BD 相交于点 O, BD=2AB 点 E、F 分别是 OA BC 的中点.连接 BE、EF.(2)根据矩形性质和已知求出 G 为 0D 中点,1根据三角形中位线求出 EG/ AD EGBC,求21出 EG/ BC EG= BC,求出 BF=EG BF/ EG2EG=GF 得出平行四边形，根据菱形的判定推图(1)求证：EF=BF;在上述条

11、件下，若EBFG 的形状， 并证明你的结论.(2)边形【思路点拨】(1)根据平行四边形性质推出 BD=2B0 推出 AB=B0 根据三线合一定理得出 BE! AC 在厶 BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF 即可；AC=BD G 是 BD 上一点，且 BG: GD=3 1，连接 EG FQ 试判断四出即可.【答案与解析】(1) 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD=2B0/ BD=2AB AB=BOE为 0A 中点， BE! AC/ BEC=90 ,F为 BC 中点， EF=BF=CF 即 EF=BF；(2) 四边形 EBFG 是菱形， 证明：连接 CG四边形

12、ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形， AD=BC AB=CD AD/ BC BD=2B0=20, BD=2AB=2CD 0C=CD/ BG GD=3 1, 0B=0DG为 0D 中点， CGL 0D (三线合一定理)，即/ CGB=90 ,F为 BC 中点，1 1 GF= BC= AD,2 2E为 0A 中点，G 为 0D 中点，图AC=BD1 EG/ AD EG=AD,21 EG/ BC EG=_ BC,2F 为 BC 中点，1 BF=_BC, EG=G F2即 EG/ BF, EG=BF四边形 EBFG 是平行四边形，/ EG=GF平行四边形 EBFG 是菱形(有一组邻边相等

13、的平行四边形是菱形).【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线,直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.类型三、矩形4、如图 1 ,已知 AB/ CD AB=CD / A=ZD.(1)求证：四边形 ABCD 为矩形；(2)E 是 AB 边的中点，F 为 AD 边上一点，/ DFC=ZBCE如图 2,若 F 为 AD 中点，DF=1.6 ,求 CF 的长度：如图 2,若 CE=4, CF=5,贝 U AF+BC=(1)证明： AB/ CD AB=CD四边形 ABC

14、D 为平行四边形，/A=ZD,/A+ZD=180, / A=90 ,四边形 ABCD 为矩形,(2)解：延长 DA CE 交于点 G 四边形 ABCD 是矩形,ZDABZB=90,AD/ BCZGAE=90, ZG=/ ECBAF=_1E是 AB 边的中点， AE=BErZG=Z ECB在厶 AGE 和厶 BCE 中， NG 匪二,(AE二BEAGEABCE( AAS , AG=BCDF=1.6, F 为 AD 中点， BC=3.2, AG=BC=3.2 - FG=3.2+1.6=4.8 ,/ AD/ BC/ DFCMBCF/ DFC=ZBCE/ BCEMFCE/ AD/ BC/ BCEMG,

15、 CF=FG=4.8若 CE=4 CF=5,由得：AG=BC CF=FG GE=CE=4 AG=AD CG=8 AF+BC=AF+AG=FG=CF=5故答案为：5;设 DF=x,根据勾股定理得：cD=cF -DF=CG-DG,即 52- x2=82-( 5+x)2,解得：x=,5 DG=5+ =二:，5 5AD=DG，25 AF=A- DF=5故答案为：【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的运用；本题有一定难度.举一反三：等腰三角形的判定、F、G 依次连接形成四B【变式】如图， 0ABC 内一点，把 AB OB OC AC 的中点 D E、 边形 DEFG(

16、1)四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；(2)若四边形 DEFG 是矩形，点 0 所在位置应满足什么条件？说明理由.【答案】解：(1)四边形 DEFG 是平行四边形理由如下：/ D G 分别是 AB AC 的中点，。6 是厶 ABC 的中位线；1DG/BC 且 DG= BC;21同理可证：EF/ BC 且 EF= BC;2 DG/ EF,且 DG= EF;故四边形 DEFG 是平行四边形；(2) O 在 BC 边的高上且 A 和垂足除外.理由如下：连接 0A同(1)可证：DE/ OA/ FQ四边形 DEFG 是矩形，DGLDE OAL BC；即 O 点在 BC 边的高上且 A 和垂足除

17、外. 5、在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , BC=4.过点 A 作 AE! AB 且 AB=AE 过点 E 分别作 EF 丄 ACEDL BC 分别交 AC 和 BC 的延长线与点 F, D.若 FC=5 求四边形 ABDE 的周长.【思路点拨】 首先证明厶 ABCAEAF,即可得出长，进而得出四边形 EFCD 是矩形，求出四边形【答案与解析】解：/ ACB=90 , AE!AB /1+ZB=Z1+Z2=90. /B=Z2./ EFLAC /4=Z5=90. /3=Z4.BC=AF AC=EF 再利用勾股定理得出 AB 的ABDE 的周长即可.【答案】 解：(1)当时间 t=7 秒时

18、，四边形 BPDQ 为矩形.理由如下：当 t=7 秒时，PA=QC=7/ AC=6 CP=AQ=1 PQ=BD=8 四边形 ABCD 为平行四边形，BD=8 AO=CO=3 BO=DO=4 OQ=OP=4四边形 BPDC 为平形四边形，/ PQ=BD=8在厶 ABC 和厶 EAF 中，.3二/4.I：; ._2 = . B,AB =AEABCAEAF(AAS. BC=AF AC=EF/ BC=4 AF=4/ FC=5 AC=EF=9在 Rt ABC 中， AB=CB2AC2二.4292 97. AE= .97./ EDL BC / 7=/ 6=/ 5=90.四边形 EFCD 是矩形. CD=E

19、F=9 ED=FC=5四边形 ABDE 的周长=AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+、97=18+2、,97.【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理根据已知得出 AC=EF=9 是解题关键.举一反三：【变式】如图，平行四边形 ABCD 中, AC=6 BD=8 点 P 从点 A 出发以每秒 线 AC移动，点 Q 从点 C 出发以每秒 1cm 的速度沿射线 CA 移动.(1 )经过几秒，以 P, Q, B, D 为顶点的四边形为矩形？(2 )若 BCLAC 垂足为。，求(1 )中矩形边 BQ 的长.等知识，1cm 的速度沿射四边形 BPDC 为矩形，(2

20、)由(1)得 BO=4 CQ=7/ BCL AC/ BCA=90BC+CQ=BQ BQ=Jl；二.：6、如图，D 是线段 AB 的中点，C 是线段 AB 的垂直平分线上的一点，DEIAC 于点 E, DF 丄BC 于点 F.(1) 求证：DE=DF(2)当 CD 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形CEDF 为正方形？请说明理由.【思路点拨】(1 )由CD垂直平分线 AB,可得 AC=CB得出/ ACDMBCD再由/ EDCMFDC=90， 可证 得厶ACDBCD 得出 CE=CF1 卩可；(2)先证明四边形 CEDF 是矩形，再证出因此 AB=2CD 寸，四边形 CEDF 为正方形.【答案与解析】(1)证明：TCD 垂直平分线 AB AC=CB ABC 是等腰三角形，/ CDL AB/ ACDMBCDDELAC DF 丄 BC/ DECMDFC=90/ EDCMFDC类型四、正方形fZACD=ZBCDDECA DFC( ASA ,在厶 DEC