2020-2021学年高三数学第一次模拟考试试题及答案解析

1、最新高三第一次模拟考试 数学试题注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上, 一、填空题：（本大题共 14小题，每小题（考试时间：120分钟 总分：160分） 答案写在试卷上的无效.5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.）x x2 < 1，集合 B2, 1,0,1,2 ,则 A0B女学生600人，现用分层抽样的方已知从男学生中抽取的人数为100a,b的值分别为1,3时，最后输出的a2 .如图，在复平面内，点 A对应的复数为贝 U z2.x23 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 一 2 .4 .某校共有教师200人，男学生800人, 法从所有师生中抽取一个容量为 n的样

2、本， 人，那么n .5 .执行如图所示的伪代码，当输入的值为 Z1 ,若三i （ i为虚数单位），y2 1的实轴长为一;(第2题)Read a, b i 1While i 2 aa bba bi i 1 End WhilePrint a6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为1,甲乙下成和棋的概率为5.7 .已知直线y kx(k 0)与圆C:(x 2)2 y2 1相交于A, B两点，若AB 2J5,58 .若命题“存在 x R,ax2 4x a< 0”为假命题，则实数 a的取值范围是 9 .如图，长方体 ABCD AB1CQ1中，。为BD1的中点，三棱锥O ABD的体积为V1,四棱锥O AD

3、D 1A的体积为 5,则卷V2的值为 .10.已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足a1 6 0, a2 b2 0,则a3州的取值范围是.11 .设f (x)是R上的奇函数，当 x 0时，f(x) 2x ln?,记an f(n 5),则数列an的前8项和为 A12.在平面直角坐标系,已知点A, B分别为x轴,y轴上一点，且AB 2 ,若点P(2, V5),则的取值范围是13 .若正实数x,y满足(2xy 1)2 (5y 2)( y 2),则x 2y的最大值为.14 .已知函数 f(x) Asin(x ) cosqcosd x)(其中A为常数， (区0),若实数 x1, x2,

4、*3满足： x1 x2 x3， x3 x1 2 兀， f(x1) f(x2) f(x3)，则 的值为 二、解答题：(本大题共 6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15 .(本题满分 14分)在 ABC 中，角 A, B 的对边分别为 a, b ,向量 m (cosA,sin B), n (cos B,sin A).(1)若 acosA bcosB,求证：m/n ；AB.(2)右 m n , a b,求 tan的值.16 .(本题满分 14分)如图，在三B P ABC中，PAC 的中点.(1)求证：直线DF /平面PAC ；(2)求证：PF AD .BAC 90 , PA

5、 PB ,点 D , F 分别为 BC , AB17 .(本题满分14分)一个玩具盘由一个直径为 2米的半圆。和一个矩形 ABCD构成，AB 1米，如图所示.小球方向弹射到落袋区BC内，落点记为F .设 AOE (1)试将T表示为 的函数T(),并写出定义域； (2)求时间T最短时cos的值.弧度，小球从A到F所需时间为T .从A点出发以 v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的18 .(本题满分 16分)已知数列an, bn满足2Sn 2泡，其中Sn是数列烝的前n项和.2 1(1)若数列an是首项为-,公比为 1的等比数列，求数列bn的通项公式；3 3(2)

6、若bn n, a2 3 ,求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设Cn 曳，求证：数列Cn中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之 bn积.19.(本题满分 16分)2如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O:x2 y2 4 ,椭圆C : 土 y2 1, A为椭圆4右顶点.过原点 O且异于坐标轴的直线与椭圆 C交于B,C两点，直线AB与圆O的另一交点为P, 6直线PD与圆O的另一交点为 Q ,其中D( ,0).设直线AB,AC的斜率分别为 匕，女2.5(1)求k1k2的值；(2)记直线PQ, BC的斜率分别为kpQ,kBc ,是否存在常数，使得kpQkBc ?若存在，求 值;若不存在

7、，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q .*yQ20.(本题满分 16分).412一一一已知函数 fx ax - x,x(0,),gx f x f x .2(1) 若a 0,求证：(i) f x在f (x)的单调减区间上也单调递减；(ii) g x在(0,)上恰有两个零点；(2) 若a 1 ,记g x的两个零点为x1, x2,求证：4 x1 x2 a 4.21.【选做题】请考生在A、 B、数学试题（附加题）C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分A.（几何证明选讲，本题满分如图，圆。是，、 PC于点P，求证：PAABC的外接圆BD.AC10分），点D是劣弧BC的中点，连结AD

8、并延长，与以C为切点的切线交B.（矩阵与变换，本题满分 10分）1 22,求 M2.已知矩阵M5的一个特征值为 x2C.（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系 xoy中，已知直线C1 :y 7 2t（t为参数）与椭圆c x acos ,加仝行C2 :（为参数，ay 3sin0）的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值.D.（不等式选讲，本题满分10分）127.C已知正实数a,b,c满足a,23“,1b c 1,求证：a22 .【必做题】(本题满分 10分)如图，在直三棱柱 ABCAiBiCi 中，AC = 3, BC = 4, AB = 5, AA 1 = 4.9 . 10(1)

9、设AD AB,异面直线 AC i与CD所成角的余弦值为-,求 的值;50(2)若点D是AB的中点，求二面角 D CB1 B的余弦值.23 .【必做题】(本题满分 10分)已知k,m N* ,若存在互不相等的正整数 a1，a2,，am,使得aa2, a2a3,，am 1am,ama1同时小 于k ,则记f (k)为满足条件的m的最大值.(1) 求f (6)的值；(2) 对于给定的正整数 n (n 1),(i)当 n(n 2) k (n 1)(n 2)时，求 f (k)的解析式；(ii)当n(n 1) k n(n 2)时，求f(k)的解析式.12分14分、填空题1,0,1 ;6.16;12. 7,

10、11二、解答题15.证明：(1) I所以 sin AcosA(2)因为m n因为acosA sinBcosB,因为a b ,所以A B所以 tan tan 一2416.证明(1) .点 D ,. DF /AC ,又 DF 平面PAC,高三数学参考答案3. 272;8. (2,13.3.524. 200;9.10. (,2);bcosB, 所以m/n .cosAcosB sin Asin B0,cos(AB)0,，又 A,B (0,)，所以 A B (0,),F分别为BC , AB的中点,AC 平面PAC ,直线DF /平面PAC .(2) PACAC AB , AC 又ab|ap a,BAC

11、90 , AP, AB, AP在平面PAB内, AC PF PA AC平面PAB , 平面PAB ,AC PF ,PB, F为AB的中点，.八PF PF, PF AB, AcRaBPF 平面 ABC, AD 平面 ABC, . AD PF .AB ,A, AC, AB在平面ABC内,17.解：（1）过。作 OG则OGOF股sin sin1 sinAEAE所以T（） 5v（写错定义域扣1T()EF6v分)15v16vsin16v花Z5v）A5vcos6vsin (6sin16v，i2 5cos(2cos记 cos 0故当cos18.解:所以(2)6vsin2花4230vsin3冗(4, 0)T(

12、2 ,一时，时间31）因为an21 °刹(a)n 33bn3(3)n1 2(12K1 (2Snan 21(1)n32( 1)n 23bn两式相减得 当n 2时, 两式相减得n ,2an 1贝U 2Sn nan 2n ,，2Sn 1(n 1)an 1 nan 2 ,即 nan(n 1)an 1 (n 2)an 2,(n 1)an 1 (n 1)an 1 2(n 1)an,又由 2S, a1 2, 2S2 2a2 4 得 a1(n所以数列an是首项为2,公差为 故数列an的通项公式是an n(3)由(2)得 Cn对于给定的n 1 只需n 1n若存在k,t1n,k,t9分3)(3cos2)

13、230vsin0,3T)+1)an 1 2(n 1)an 1即 an 1 an 13,1的等差数列,N ,使得 cnck ct14分2,10分1kt皿 n(k 1)则t k n12分取 k n 1 ,则 t n(n 2),，对数列cn中的任意一项都存在cn 1cn22ncncn 1 cn2 2n ,2n 2n 1-2使得n 2n16分19.解：(1)设 B(xo,y。)，则 C(Xo,y0)2X。2y。所以k1 k2y。X。yo2 Xo 22y。2X。(2)联立解得Xpy2 X2(k21k1(x2y1)k12 ,2) 得(14yp k(Xp联立y2 X4k1(x、.2)得(1 y2 1解得Xb

14、-22(4k1 1),yB2 2k1 )x2)所以kBCyBXB2K4 kl2 1所以kpQ1上x。2 224k1 x4(k；1)0,4kl2 )1 k124kl2)x2 16kl2x 4(4k121(Xb. 2)r>4kl1)。，kPQVp6Xp -51 k122(k； 1) 61 k1252，4k12 15kBC ,故存在吊数2(3)当直线PQ与x轴垂直时,5, r5 ,使得kPQ268、Q(-, 一)，5510分8则 kAQ-3756 251k2,所以直线AC必过点 2Q.当直线PQ与x轴不垂直时，直线 PQ方程为：y4 k；(x 6)，15y联立2X5k1 /6、2 (x -)4

15、k： 15 ,解得 Xq22(16k12 1)16k2 1 'yQ16k12516kl2 116k1所以kAQ16kl2 12(16k12 1)k2,故直线AC必过点Q .16分2216kl2 1(不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分)412 一 一. .一一 一320.证：(1)因为 f x ax-x x 0 ,所以 f (x) 4ax x ,2321由(4ax3 x)12ax2 1 0得f(x)的递减区间为(0,I=), 2分2.3a当 x (0,1=)时，f (x) 4ax3 x x(4ax2 1) 0,2、3a 所以f x在f (x)的递减区间上也递减.4分(2)解1： g4 a

16、x1x2 (4ax3 x) ax43124ax 一 x 2x,因为x4 ax34ax3.2x 0 得 ax 4ax令(x)3 ax24ax因为a0,且(0)1x212(x)2213ax 8ax 一, 20,所以(x)必有两个异号的零点,记正零点为x。，则 x (0, x0)时,(x)0,有两个零点，则(x)单调递减;(x0) 0,(x0,)时，(x) 0,(x)单调递增，若7分(x)在(0,)上恰2由 (x0) 3ax0 8ax0所以(x0)所以x0-3(x) ax32 ax09所以3324ax121 3X0(x0)20 得 3ax08ax0,又因为对称轴为 94,8、一,所以(一) 33(0

17、)0,32ax0 - (x0930,121 ,-ax (x 8) x(ax221)17 ,8中的较大数为a 0 g x 在(0,)上恰有两个零点.102： g x f x4 ax令(x) ax324axLI *右gx 在(0,2时，由2时，由令 1(x)4 ax34ax)上恰有两个零点,(x)(x)32x 4xx 21 2x21 2-x2(4 ax3 x)一 3x 0 得 ax4 ax24ax34axx,(x)在(0,)上恰有两个零点,321ax 4ax 一 x 1228x 2x 4 ,x 21(x)2x10得 2a1在(0,)上只有一个零点,不合题意;32x 4xx 2则 i(x)2x(x2

18、 5x 8) 2M(x 2)2 42(x 2)22(x 2)20,28当x （0,2）时，（x）单调递增，且由y x2 2x 4, y8值域知x 2（x）值域为（0,）;当x （2,）时，i（x）单调递增，且28y x 2x 4, y 值域知（x）值域为（，）；x 21 一 1 一因为a 0,所以 0,而y 与i（x）有两个交点，所以i（x）在（0,2a2ai(4) 0 ，由）上恰有两个零点.（3）解1:由（2）知，对于不妨设X x2,又因为 （0）10分.3 一 21(x) ax 4ax -x 1在(0,)上恰有两个零点x1,x2, 2111八10,(一)(6 7a) 0,所以 0 x1 -

19、,12 分282又因为 （4）所以4x1X2解2:由（2）知12a123 xg)91 9 (657 a824x210)16分,17因为 x 0,2)时，1(x)单调递增，(一) 一，1(0) 0212 ,1所以0 x1-,2981当 x (2,)时，1(x)单调递增，1(9) 81,1(4) 0220一9所以4 x2 -, 2 ,19所以 4 x1 x2 一一 5 a 4 .2 21(x1)1(x2)12a1(2)12分12a碌,16分附加题参考答案21.A.证明：连结CD,因为CP为圆。的切线，所以 PCDPAC,又 P是公共角，所以PCD PAC,PC CD所以,PA AC因为点D是劣弧B

20、C的中点，所以CDPCBD ,即PABDAC10分21. B,解:2代入(x1)(x 5) 0,得 x 3矩阵MM25 1421.C.解：直线 C1 : 2x9,10分准线：y3)，2椭圆C2 :92三1(0 a_9_,9 a210分b221.D.证明：因为正实数 a,b,c满足a 所以 1 33 ab2c3 ,即 ab2c3ACB以CA所以22.解：4,因此，工 a900、CB、CC所示的空间直角坐标系.D(x,y,z),则由 ADAG( 3,0,4),9.10根据|5010分AB1分1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建则 A (3,0,0) , Ci(0,0,4) ,B(0,4,0),AB

21、得 CD (3 3 ,4 ,0),而9 9,|解得,5.25 2 189f立如图cD5分3, CCD M 人叶心白4 T (2)(一,2,0), CB1 (0,4,4),可取平面CDBi的一个法向量为 1(4, 3,3);2 ,，7分田丁玲人，日上T*口 TT 一 M2 c 2 工3而平面CBBi的一个法向量为n2 (1,0,0),并且ni,n2 与二面角D CBiB相等，"H 2 所以二面角DCBi B的余弦值为cos cos n1,n2回.1 0分17(第(1 )题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣i分.第(2 )题如果结果相差符号扣1分.)23.解：(i)由题意，取ai i,a2 2, aa2 6,满足题意，若a3 3 ,则