2019年江苏常州中考数学真题--含解析

1、2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分,考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是 正确的）1. （20191-江苏常州，1, 2） 3的相反数是（）A. 1 B1C . 3D.333【答案】C【解析】本题考查了相反数的定义，和为 0的两个数互为相反数，由于3+3=0,从而3的相 反数是3,因此本题选C.【知识点】实数的概念；相反数2. （2019 江苏常州，2, 2）若代数式上有意义，则实数x的取值范围是（）x 3A. x=1B . x=3C . xw1 D . xw3【答案】D.【解析】本题考查了分式有

2、意义的条件，只要分母不为 0,分式就有意义，由x 3*0得xw3,因 此本题选D.【知识点】分式有意义的条件3. （2019 江苏常州，3, 2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 3圆柱 B .正方体 C .圆锥 D .球第3题图【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体， 因为该几何体的主视图与左视图都是矩形， 所 以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A.【知识点】三视图4. （2019江苏常州，4, 2）如图，在线段PA PR PC PD中，长度最小的是（）A.线段PA B .线段PB C .线段PC D .线段PD【解析】本题

3、考查了垂线的性质及点到直线的距离， 根据“垂线段最短”，易知在线段PA PR PG PD中，长度最小的是PB,因此本题选B.【知识点】垂线的性质；点到直线的距离5. （2019 江苏常州，5, 2）若ABQ ABC ,相似比为1 ： 2,则ABGf ABC的周长的比为（A. 2：1 B .1：2C.4：1 D .1：4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知4ABC与 ABC 的周长的比为1：2,因此本题选B.【知识点】相似三角形的性质6. （2019 江苏常州，6, 2）下列各数中与2+布的积是有理数的是（）A.2十点 B , 2C.察D.273【答

4、案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数（2 +6）（2 73）=1,因此本题选D.【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则7. （2019 江苏常州，7, 2）判断命题“如果n<1,那么n21<0”是假命题，只需举出一个反例.反例 中的n可以为（）A. -2B1 C .0D.-22【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题， 根据反例的意义：即命题的条件成立， 但命 题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“一 2<1,而（一2）21=3>1"，从而反例中的n可 以为一2,因此本题选A.【知识点】命题与证明；反证法；举反例8

5、. （2019 江苏常州，8, 2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直彳小于等于2.5微米的颗粒）的关 注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1 （ug/m3）随着时间t （h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5% 值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A. 72B.T3C. 2D.75第8题图V2V2V2【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天 24小时分成三段：0Wt010、10<t 020、20< t <24,在0wt010, y2随t的增大而增大；在10wt020, y2随t的增大

6、而不变(何 为85 42 = 43),在200 t<24, y2随t的增大而增大，因此本题选 B.【知识点】极差的意义；函数图像的应用二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写在 答题卡相应位置上)9. (2019江苏常州，9, 2)计算：a3 + a =.【答案】a2【解析】本题考查了同底幕的除法法则：同底幕相除，底数不变，指数相减，而a3+a=a3T = a2,因此本题答案为a2.【知识点】同底幕的除法法则10. (2019 江苏常州，10, 2) 4的算术平方根是 :【答案】2【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22 = 4,所以4的算

7、术平方根为2,因此本题答案为2.【知识点】算术平方根的定义11. (2019 江苏常州，11, 2)分解因式：ax2 _4a=:【答案】a(x+2)(x+2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法， 根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行 分解，ax2 4a= a(x2 4) =a(x + 2)( x + 2),因此本题答案为 a(x + 2)(x + 2).【知识点】因式分解12. (2019 江苏常州，12, 2)如果/a= 35° ,那么/ a的余角等于 【答案】550【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，: 35° +5

8、5° =90° ,/a的余角等于55° ,因此本题答案为55° .【知识点】余角的定义13. (2019 江苏常州，13, 2)如果ab 2 = 0,那么代数式1 + 2a2b的值是.【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值. 二 ab 2 = 0, ；ab= 2. 1 + 2a 2b=1+2(ab) = 1+2X2 = 5,因此本题答案为 5.【知识点】整式的求值问题；整体思想14. (2019 江苏常州，14, 2)平面直角坐标系中，点 P(-3, 4)到原点的距离是 .【答案】5【解析】本题考查了平

9、面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P（ -3, 4）到原点的距离是J32 42 =5,因此本题答案为5.【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理x 115. （2019 江苏常州，15,2）若是关于x、y的二兀一次万程ax + y = 3的解，则a=.y 2【答案】1x 1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将x 1代入方程ax + y = 3,得a+2=3, a=1,y 2因此本题答案为1.【知识点】二元一次方程的解的定义16. （2019 江苏常州，16, 2）如图，AB是。的直径，C D是。上的两点，/ AOG= 120° ,则

10、/CD& .第16题图【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，: AB是。的直径，/ AO% 120° ,./BO% 60° .,/CDB= 30° .因此本题答案为30.【知识点】圆周角定理17. （2019 江苏常州，17, 2）如图，半径为73的。与边长为8的等边三角形ABC勺两边ARBC都相切.连接OC则tan/OC&:5【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识.设。于点D,连接OB OD由等边三角形的性质得/ AB生60° ,再由切线长定理易求/。与BC边相切OB的 30° ,而。由百，从而

11、由tan /OB也BDOD3,于是 C* BC- BD= 83=5.在 RtAOCD中，由正切函数定义，得tan/OC& OD =走.因此本题答案为 回CD 55【知识点】切线长定理;等边三角形的性质；锐角三角函数18. (2019 江苏常州,18, 2）如图，在矩形ABCW, AD= 3AB= 3师.点P是AD的中点，点E在BC上，CE= 2BE,点M N在线段BD上.若 PMN等腰三角形且底角与/ DECS等，则MN =第18题图【答案】6.【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点.首先由勾股定理，求得 BA 10,

12、然后由“AD= 3A况3J10 .点P是AD的EC中点，点E在BC上，CE= 2BE',求得PD= 短0 , C2"0 ,这样由tan / DEC= -DC步过点P作PH± B"点H,在BD上依次取点 M N,使MH= N+ 2PH于是因此 PMhfe所求符合条件的图形；第五步由 DPHbzDBA彳P BAPD ,即 PHBD ,103 W210得 PH=-,于是 MNk4PH2=6,本题答案为6.【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函 数；压轴题 三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作

13、答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. （2019 江苏常州，19, 8）计算：（1） 0 （1） 1 （百）2； （2） （x1）（ x+1） x（x1）.【思路分析】 本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则 与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可.【解题过程】解：（1）原式=1+2 3=0;（2）原式=x21x2+ x=x1.【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算.一 x 1 0 20. （2019 江苏常州，20, 6）解不等式组并把解集在数轴上表小出来.3x 8 x【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及

14、在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集， 另外，画出数轴按相关要 求将其解集表示出来.【解题过程】解：不等式的解集为x>-1；不等式的解集为：3x + x<8,4x<8, x<2.原不等式组的解集为1<x02,在数轴上表示如下：-IL14I1>JJ-4 -3 -2 -1 012 3 4第20题答图【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法21. （2019 江苏常州，21, 8）如图，把平行四边形纸片 ABCD& B附叠，点C落在C处，BC与 AD相交于点E.（1）连接A

15、C ,则AC与BD的位置关系是;（2） EB与ED相等吗？证明你的结论.RC第21题图【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点， 连接AC ,从图形上容易看出并证明四边形 ABDC是等腰梯形，故AC /BD由折叠（轴对称性质） 及平行四边形的性质、等角对等边可证明 E五ED【解题过程】 解：（1） AC / BD（2） E五ED理由如下：由折叠可知/ CB&ZEBQ 四边形ABCm平行四边形， .AD/ BC CB庄 /EDB. / EB* /EDB.-.EB= ED【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定22. （2

16、019 江苏常州，22, 8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调 查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图.（1）本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数.【思路分析】 本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想.将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数； 最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的 捐款总数.【解题过程】解：（1） 30, 10;

17、5 6 10 11 15 8 20 5360（2） x =12 （兀）；3030（3）12X600=7200 （元），估计该校学生的捐款总数为 7200元.【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体23. （2019江苏常州，23, 8）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形） 纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3个盒子装入一只不透 明的袋子中.根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子

18、，把摸 出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起， 求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不 重叠无缝隙拼接）【思路分析】 本题考查了概率的求法, 问用列表法或画树状图法可以解决.【解题过程】解：（1） 2；3（2）现画树状图如下：第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）开始第一次:第二次:结果:CZA B(A，B) (A,C) (B,A) (B,C) (C,A) (C,B)第23题答图由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P（拼成的图形是轴对称图形）= 2 = 1 .63【知识点】概率的求法24. （2019 江苏常州，24, 8）甲、乙两人每小时

19、共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与 乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本 题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.【解题过程】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30x）个零件，根据题意，得180卫，解得x=18.x 30 x经检验，x= 18是原方程的解，则30 x=12.答：甲、乙两人每小时分别做 18个和12个零件.【知识点】分式方程的应用25. （2019 江苏常州，25, 8）如图，在UABCg,。是20 / AO的45&#

20、176; ,点C在y轴上,点D是BC的中点，反比例函数y=K（x>0）的图像经过点A、D.x（1）求k的值；（2）求点D的坐标.y【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点.(1)如答图，延长BA交x轴于点F,取OA的中点E,连接DE由OA= 2及，AOO(4 45° ,利用等腰 直角三角形的边角关系易求 。三AF= 2,从而72, 2),并代入双曲线的解析式即可得 k=4. (2) 由中点公式，易求点E的坐标，从而D点的横坐标与E点相同，在y=4,将点E的横坐标代入可 x求y的值，从而求出点D的坐标.【解题过程】解：(1)如答图，延长BA

21、交x轴于点F,取OA的中点E,连接DE则AF±x轴于点F.在 RtzXAOF中，。是 2金,/AO的 45° ,可得。曰 AF= 2,从而 A(2 , 2).反比例函数y=k (x>0)的图像经过点A、D, x. * = 2X2 = 4.(2) qo, 0), A(2, 2),线段OA勺中点E的坐标为(1,1). , k ,;在 y=中，当 x=1, y = 4, x点D的坐标为(1 , 4).【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数26. (2019 江苏常州,26, 10)【阅读】数学中，常对同一.个.量.(图形的面积、点的个数、三角形内角和等

22、)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称为富比尼原理,是一种重要的数学思想.【理解】（1）如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是 c的直角三角 形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2, n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n2:* *卜*图 262【运用】（3） n边形有n个顶点，在它的内部再画 m个点，以（m+ n）点为顶点，把n边形剪成若干 个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当n = 3,3时，如图3,最多可以剪得7个这样的三角形，

23、所以y=7.当 n = 4,2 时，如图 4, y=；当 n=5,时,y=9;对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳思想，可得y =（用含m n的代数式表示）.请对同1个量用算两次的方法说明你的猜想成立.【思路分析】 本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点.（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a、b、c的数量关系：a2+b2= c2,从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.（2）根据图2中n行n列个点的 计算方式，得到n2=1 + 3+5+2n1 （n为正整数）.（3）先观察图3和图4,不难解决第问； 利用多边形的内角

24、和公式，得到在 n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为（180y）0 ,也等于n边形的内角和与m个周角的和，即可得到y与m n的数量关系式.【解题过程】解：（1） S梯形=l（a+b）（ a+ b） = 1（a2+ 2ab+bj,22又S 梯形=2 x ab+ c , 22 （a + 2ab+ b）=2x 1 ab+ - c .a2+ 2ab+ b2=2ab+ c2.a2+ b2=c2.结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.（2） 1 + 3+5+ - +2n-1 （n 为正整数）.（3）6, 3;n + 2nn- 2,理由如下：如答图，

25、在n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三 角形，这些y个三角形的内角和的总和为(180y)0 ,也等于n边形的内角和与m个 周角的和，即 180° ? (n 2)+m? 360° ,故 180y = 180(n 2) + 360 m,故 y = n + 2m- 2.【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题27. (2019 江苏常州，27, 10)如图，二次函数y = x2+bx+3的图像与x轴交于点A、B,与y 轴交于点G点A坐标为(一1, 0),点D为OC的中点，点P在抛物线上.(1) b =；(2)若点P在第一象Bg,过点P作PH,x轴，

26、垂足为H, PH与BC BD分别交于点M N.是 否存在这样的点P,使得P阵MNb NH若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由；(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PCLBD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且& pq2Saqrb求点P的坐标.【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、 一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等.(1)直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到 关于b的一元一次方程，解之即可；(2)先求直线BC. BD的解析式，然后令P(m -m2 + 2mH3),则Mm, -mH 3)、N(m, -mH -),再利用

27、P阵MN= NH得到m的一元二次方程解之即可锁定符 22合条件的点P坐标；(3)如答图2,过点P作PKaAB于点K,过点Q作QJ±AB于点J,则PK/ QJ.通 过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标 法仿照(2)得到符合条件的点P的坐标.【解题过程】解：(1)二.二次函数y= x2+ bx + 3的图像过点A(-1, 0), .0= (1)2b+3.b = 2.(2)如答图1,连接BD BC过点P作PH!x轴于点H,交BC. BD分别于点M N.yy:抛物线y= X2+ 2x + 3交x轴于点A(-1, 0)、B(3, 0),交y轴于

28、点C(0 ,3),且点D为OC的中点，一 3, D(0 ,-).2易求直线BC的解析式为y= x + 3,直线BD的解析式为y=-x+| .213假设存在符合条件点 P(m, m+2mH 3),则 M(m mH 3)、N(m - - mH 士).22.PM= MN= NH1 3.2-m - =(m +2mH 3) - ( - nn 3).2 22整理，得2m7m 3=0,解得m= , m=3 (不合题息，舍去).2P( 1 , )即为所求的符合条件的点.(3)如答图2,过点P作PK,AB于点K,过点Q作QJ,AB于点J,则PK/ QJ.过点P作PQL BD垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且Sapq- 2Saqrb, P岸 2QR 从而 PR= 3QRv PK/ QJ, .RQS zRPK,QJRQ 1 一.PK RP 3 . PK= 3QJ.设P(n, n2+2n + 3),由BD的解析式为y=- -x+-,且直线PQLBD可令直线 22PQ的解析式为 y = 2x + t,则一n2+2n+3=2n + t ,解得 t=3n2,于是，PQ y =22x + 3 n .13x由y 2x 2 ,解得2y 2x 3 ny2 23n -55 ,从而 Q 2 n2 3 ,1 2 955-n551 29,一-n2 -).由 PK