2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质教案(文)

1、第2讲 圆锥曲线的定义、方程及性质目主维卜厂做小题一一激活思维1.椭圆C：1+工=1的左、右焦点分别为 F1, F2,过F2的直线交椭圆C于A, B两点， 25 16122则4 F1AB的周长为（）A. 12 B. 16C. 20D. 24C F1AB的周长为|FiA+|F；B+|AB= |F1A|+|F2A+|F1B|+|F2B|=2a+ 2a= 4a.x2 y2» 2在椭圆25+东=1中，a = 25, a=5,.F1AB的周长为4a=20,故选C.2 .已知点F1, 0 ,直线l : x=；,点B是l上的动点.若过点 B垂直于y轴的直线 44与线段BF的垂直平分线交于点 M则点

2、M的轨迹是（）A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线D 由已知得| MF = | MB,根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.223 .设P是双曲线 今20=1上一点，Fp F2分别是双曲线左、右两个焦点，若 |PFI =9,贝U| PF2| =17 由题意知|PFJ =9va+c=10,所以P点在双曲线的左支，则有| PFJ |PFJ = 2a =8,故 |PFJ = |PF|+8=17.4 .设e是椭圆x + y=1的离心率，且e= |,则实数k的值是 4 k320一或36 当k>4时，有 = 954 2 . 一 36.1一k = 3,斛佝 k = g；当0

3、<k<4 时，有 e=1-k-20 -2,解得k = 20.故实数k的值为20或36. 39955 .双曲线x-y-= 1(ai>0)的一条渐近线方程为 y = 3x,则a= a 95225 .双曲线的标准方程为a2_y9- = i(a>。),.双曲线的渐近线方程为y= ± 3x.a3又双曲线的一条渐近线方程为y=-x,a=5.56.抛物线8x2+y = 0的焦点坐标为 .1 221。，32由 8x+y=0,得 x= - 8y.11-2p = ? p=一1，焦点为0, - 32 .扣要点一一查缺补漏1 .圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，

4、一定不要忽视定义中的隐含条件，如T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.如 T1, 丁2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.2 .圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a, b, c的方程(组)或不等式(组)，再根据a, b, c的关系消掉b得到a, c的关系式，如T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.研考题人递过*趣承零.明璃善考方向“1害邈回选考点1圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)高考串讲钱规律高考解读高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查

5、较少，多对于圆锥曲线的性 质进行综合考查.1. (2019 全国卷I )已知椭圆C的焦点为F1(-1,0) , F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若 | AFJ =2|F2B| , | AB = |BF| ,则 C的方程为（）X22A. 2- + y = 122bA+2=122d.1+4=1切入点：|AF2| =2|F；B| , |AB = |BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点 A的位置，求a, b的值.22B 设椭圆的标准方程为|AF|+|AB + |BF1|=4a.|2 +（=1（2*> 0）,由椭圆定义可得. I AB = | BF| ,I AF1| +2| AB

6、 =4a.3又 |AF；|=2|F2B|,AB=2|AF|,I AF1| +3| AF2| =4a.又AF| + | A与=2a,| AF；| = a,一.A为椭圆的短轴端点.如图，不妨设A：0 , b）,一 一 3 b又 F2（1,0） , A2F2B, . B, 5 .将B点坐标代入椭圆方程 2+9= 1 ,得号"2+ 2=1, a b 4a 4ba2= 3, b2= a2c2=2.，椭圆 C的方程为，+ = 1.32故选B.2. （2015 全国卷I ）已知 F是双曲线C: x2-y- = 1的右焦点，P是C的左支上一点,8A（0,6部）.当 APF周长最小时，该三角形的面积为

7、 .切入点： APF的周长最小.关键点：根据双曲线的定义及APF周长最小，确定 P点坐标.212-6 由双曲线方程 X2=1 可知，a=1, c=3,故 R3,0） , F1（ -3, 0）.当点 P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF|=2,所以| PF =| PF1| +2,从而 APF的周长=| AP + | PF + | AF = | AP + | PF| + 2+ | AF.因为| AF = 36小2= 15为定值，所以当（| AP+|P印）最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF与双 曲线的交点处（如图所示）.由题意可知直线 AF的方程为y=246x+&

8、amp;J6，丫=2啊+6P,由 2 y2得 y2+6/6y96=0,x 8=k解得y = 216或y=一队/6（舍去），所以 S»AAPF= JSaAFF Sx PFJ=6X6 郃 2X6X2#= 12 乖.教师备选题11 .一题多解（2 015 全国卷n ）已知双曲线过点（4 ,4）,且渐近线万程为 y=±-x, 则该双曲线的标准方程为 .x21 y2=1法一：.双曲线的渐近线方程为y=±2x, 可设双曲线的方程为x2-4y2=入（入W0）. 双曲线过点（4 ,m）,入=16 4X（班）2=4,x22 双曲线的标准方程为-y2=1.4法二：渐近线 y=1-过点

9、（4,2）,而/<2,.1 1，点（4,43）在渐近线y=2x的下方，在y= qx的上方（如图）.双曲线的焦点在 x轴上，故可设双曲线方程为2x_a2b2= 1( a>°,b>0).由已知条件可得b 1-a 2'16 3解得a2= 4b2=1 , 一 、，x22双曲线的标准方程为 -y2=1.42. (2018 天津高考)已知双曲线x? y2= 1(a>0, b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A B两点.设A, B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为di和d2,且d1 + d2 = 6,则双曲线的方程为(22B. 9-3

10、= 12 x C.42*122d±-y=1D. 12 41A 设双曲线的右焦点为F( c, 0).2 x 将x= c代入F a2 b2=1.不妨设Ac,b2B c,b2双曲线的一条渐近线方程为y = -x,即 bx- ay= 0, ab2b- c a ,一 a则 di = 2=bjb +-a|bc-b2|b= c(cb)b2b - c+a 一 ad2=b2+二 a2|bc+b2| b= c(c+b)d1+d2= - 2 c= 2b= 6,b= 3.c a=2.c2= a2+ b2,a2= 3,29 = 1.2x双曲线的方程为- 3故选A.0 a1 .圆锥曲线的定义(1)椭圆:|MF|

11、十| M目=2a(2a> FEI)；(2)双曲线：| MF|IMFII =2a(2av| 讦2|)；(3)抛物线：| MF = d(d为M点到准线的距离).易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2 .求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2, b2或p.另外，当焦点位置无法确定时， 抛 物线方程常设为 y2= 2ax或x2=2ay( aw0),椭圆方程常设为 mX+ny2=1(m>0,n>0,且mn), 双曲线方程常设为 mX

12、ny2=1(mn>0).考题变迁221.(椭圆的定义)设巳，f2为椭圆5+y5=i的两个焦点，点 P在椭圆上，若线段 PF的中点在y轴上，则|PF2|PF|的值为()A.二 145B.94C.9D.13D 如图,设线段pf的中点为因为O是FR的中点，所以一 bOM PE 可得 PFx 轴，|PF|= a| PF| =2a-| P月=*3所以需=卷故选D.2.(双曲线的标准方程)已知双曲线x2-y2= 1(a>0, b>0)的焦距为4y5,渐近线方程为a b-2x±y = 0,则双曲线的方程为(16=1B.n一C L = 1C.16 64D.x-y=164 16A 易

13、知双曲线2y= 1( a> 0bb>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为 2x± y=0,b _。得;2,因为双曲线的焦距为 4J5,所以c=2p 结合c2=a2+b2,可得a=2, b=4,所以双2 2曲线的方程为 -y6= 1.3 .（抛物线白定义）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作直线交抛物线于 A B两点，若|AF| =2| BF = 6,贝U p=.4 设直线AB的方程为x=m什P，A(x1, y1) , B(x2, y2),且x1>x2,将直线 AB的方程 代入抛物线方程得 y2-2pmy- p2=0,所以y1y2= p2,4x1x2= p

14、2.设抛物线的准线为l ,过A作 Ad l ,垂足为C(图略)，过B作BDL l ,垂足为D,因为| AF =2| BF =6,根据抛物线的定义 ,pp 知，| AF = | AC = x1 + 2 = 6, | BF = | BD =x2+2= 3,所以 x1 x2= 3, x1+x2=9 p,所以(x1 + x2)2(x1 x2)2=4x1x2=p2,即 18p-72=0,解得 p=4.考点2圆锥曲线的性质（5年17考）高考串讲找规律高考解读高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐 近线，难度适中.221. （2019 全国卷n ）若抛物线 y2=2px（p>

15、0）的焦点是椭圆3p+yp=1的一个焦点，则p=（）A. 2B. 3C. 4D. 8切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点.关键点：正确用 p表示抛物线和椭圆的焦点.D 抛物线y2= 2px（ p>0）的焦点坐标为 2, 0 ,椭圆y= 1的焦点坐标为（土。26 0）.3p p-由题意得p = 42p,，p=0（舍去）或p=8.故选D. 222. （2019 全国卷n ）设F为双曲线C：，看=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点, 以OF为直径的圆与圆x2+y2 = a2交于P, Q两点.若| PQ = | OF ,则C的离心率为（）A./B.#C . 2 D.朋切入点：以

16、OF为直径的圆与圆x2+y2=a2相交且|PQ=| OF.关键点：正确确定以 OF为直径的圆的方程.A 令双曲线C：，一$= 1(a>0, b>0)的右焦点F的坐标为(c, 0),则c=a2+b2.如图所示，由圆的对称性及条件 |PQ = |OF可知，PQ是以OF 为直径的圆的直径，且 PQL OF设垂足为 M 连接OP则|Op = a, 10M=|Mp = 2，由 |OM2+| mp2=| op2,一 c 2 c 2 c c得 2 + 2 =a，a=42，即离心率 e = J2.3.一题多解(2017 全国卷I )设A,B是椭圆2xC： 3 +2y备1长轴的两个端点.若C上存在点

17、M满足/ AMB= 120° ,则 m的取值范围是()A. (0,1 U9, +8)B. (0, WU9, +°0)C. (0,1 U4, +oo)D. (0, V3U4, +oo)切入点：C上存在点M满足/ AMB= 120° .关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m的不等式.A 法一：设焦点在 x轴上，点M(x, y). 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N,则 N(x, 0).故 tan / AMB= tan( / AMN- / BMNm + x x|y| 十 |y|2J3|y|1/3+x屹x X2+y2-31 一 , |y|y|又 tan/

18、AMB= tan 120 ° =- 02且由I十3y=1 可得 x2=3-3y mm故选A.1-3 y2 my2 ；3| y|3-3y + y2-3m J又 0<| y| & Vm!即 0V T2m<，mi,结合 0V m< 3 解得 0Vme 1.3 m对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m>9.则m的取值范围是(0,1 U9, +8).故选A.法二：当0<m<3时，焦点在x轴上，要使C上存在点 M满足/ AM屋120° ,贝Uantan 60 ° =工/3,即坐>/3,b,m解得0<m< 1.当m&g

19、t;3时，焦点在y轴上，要使C上存在点 M满足/ AM屋120° ,则 b>tan 60= <3,即 >43,解得 眸5 9.故m的取值范围为(0,1 U9, +8).故选A.教师备选题2 一x(2018 全国卷n )双曲线 a22yg= 1( a>0, b>0)的离心率为4则其渐近线方程为A.C.y=± 小xy=± 乎xB.D.y=± 第x,3y=± 2 xc2=a2+b2,所以(J3a)2 = c-因为双曲线的离心率为 辱 所以- =3,即c=43a.又 a ,a2+b2,化简得2a2=b2,所以b=。2.因为

20、双曲线的渐近线方程为 y=±bx,所以y=±42x. aa故选A.2. （2017 全国卷I ）已知F是双曲线C: x2-y-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x31B.-2轴垂直，点 A的坐标是（1,3）,则4APF的面积为（）1A. 一 3 2C.3D 因为F是双曲线C: x2-y=1的右焦点，所以 F（2,0） 3因为PFLx轴，所以可设 P的坐标为（2, yP）.2因为P是C上一点，所以4 y= 1,解得yP= ±3, 3所以 P(2 , ± 3) , | PF = 3.又因为A（1,3）,所以点A到直线PF的距离为1,113所以 $ apf=

21、 2x | PF| x 1 = 2* 3X1= q故选D.223. （2017 全国卷出）已知椭圆 C：，+卷=1（2*>0）的左、右顶点分别为 A1, A 且以线段AA2为直径的圆与直线 bx ay+2ab= 0相切，则C的离心率为（）4. B中CVD.3A 由题意知以AA为直径的圆的圆心坐标为（0，0），半径为a.又直线bxay + 2ab= 0与圆相切,圆心到直线的距离*一4T故选A.Em j 法a, b, c的等量关1 .椭圆、双曲线的离心率（或范围）的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 系或不等关系，然后把 b用a, c代换，求2的值.2 .双曲线

22、的渐近线的求法及用法（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.， b b , a ,（2）用法：可得一或的值.a b利用渐近线方程设所求双曲线的方程.-*E至提素养1 .（椭圆的离心率）一题多解直线i经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到1,、，一，的距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为（）A.3 B. 2 C. 3D.B 法一：如图，I OB为椭圆中心到I的距离，则|OA |OF =I AF| | OB,即 bc= a - & 所以 e = =-z.故选 B. 2a 2法二：设椭圆的方程为2 x -24 a2y，一一 一b2=1(a>b>0),由

23、题意可取直线方程为y= . b 2x+b,椭圆中心到l的距离为 a -bb. a2b2b a2b21）4x2b,即Va2b)21 ,一一 1-=2，故离心率 e=2.b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，M22 .(双曲线的离心率)设七，F2分别是双曲线 C： x2 12a为双曲线右支上一点，N是MF的中点，O为坐标原点，且 ONL MF，3| ON = 2| MF| ,则C的离心率为（）A. 6 B.5 C.4 D.3B 连接MF(图略)，由双曲线的定义得| MF| |MF| =2a,因为N为MF的中点，O为F1F21的中点，所以 ON/ MF，所以 |ON = 2|MF|

24、,因为 3|ON = 2|MF|,所以 | MF| = 8a, | MF| = 6a,因为 ONL MF，所以 MF，MF，在 RtMFF2中，由勾股定理得(8 a) 2+ (6a)2=(2c)2,即 5a=c,因为e=,所以e=5,故选B.a ，一一 一 13 .(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 2, E的右焦点与抛物线C： y2=8x的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，则| AB =()A. 3 B . 6 C . 9 D . 12B 抛物线C： y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x= 2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程为与+y2=

25、 1( a>b>0),因为离心率e=* = 1,所以a=4,所以b2= a2a ba 22B.-c2= 12.由题意知 | AB =-=2X ¥=6.故选 a 4考点3直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)« 高考解读直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、 直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法 的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养 角度一：直线与圆锥曲线的位置关系21. (2018 全国卷I )设抛物线 C： y=2x,点A(2,0) , B( - 2,0),过点A的直线l与C 交于M

26、N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线 BM的方程；(2)证明：/ ABIM= / ABN切入点：直线l过点A;l与C交于M N两点；l与x轴垂直.关键点：将问题转化为证明kBM与kBNM有某种关系.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x=2,可得点M的坐标为(2,2)或(2, 2).所、11以直线BM的方程为y= 2x+1或y = 2x1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN勺垂直平分线，所以/ ABIW / ABN当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y = k(x2)( kw0), Mx1, y1) , N(x2, y2),则 x1>0, x2>0.y=k x-2

27、 ,2由 y2 2x得 ky -2y-4k=0,2可知 y1+y2=k，y，2= 4.直线bm bn的斜率之和为y1y2x2y + xy2 + 2yI+ y2kBITp kBN=-+-= x1+2x2 + 2x+2 x2+ 2y1y2将、= k+2, *2=丁+2及乂 + 丫2,yH2的表达式代入式分子，可得x2y1 + x1y2+2(y1 + y2)2y1y2+4k ydy2k一 8+8k=0.所以kBM+ kBN= 0,可知 BM BN的倾斜角互补，所以/ ABM= /ABN综上，/ ABM= /ABN角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题222. (2018 全国卷出)已知斜率为 k的直线l

28、与椭圆C: x + y=1交于A, B两点，线段43AB的中点为 M(1 , m)( m>0).、r1(1)证明：k< 2;(2)设 F为 C 的右焦点，P为 C上一点，且 FP+ FA+ FB= 0.证明：2| FF| = | FA| + | FE|.|fB|的关切入点：直线l与椭圆c相交；ab的中点M(1, m.关键点：根据FFA+ FB= 0及点P在C上确定m并进一步得出| FF| , | FA ,系.证明(1)设 A(x=y) , B(x2, yj,则。卜1, "+'=1. 4 343两式相减，并由y1=k得x誉 + "要 k=0. Xi X24

29、3由题设知Xl+ X221,yi + y223. 4m31由题设得0<m<2,故k< 2.(2)由题意得F(1,0).设RX3, y3),则(X3-1, y3)+(X1-1, 乂)+ 3一1, 丫2)=(0,0).由(1)及题设得 X3=3 - (x1 + x2) = 1, y3=- (y1+ y2) =- 2m<0.33 一 3又点P在C上，所以m= 7从而P1, 2, | FP = . 口 一 )22I2X2X1于是 |FA=dX1- 1+ y1 = / X1 1+ 31 = 2 -2.一X2同理|FB =2 万.一 一 1所以 |FA + | FB =4 23 +

30、XJ = 3.故 2| FP = | FA + | FE|.教师备选题(2018 北京高考)已知椭圆 M22x ya2+b2= 1(a>b>0)的离心率为雪,焦距为272.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点 A, B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k= 1,求| AB的最大值；(3)设R2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为 C,直线PB与椭圆M的另一个交点为_ 一， 7 1D,若C D和点Q 4, 4共线，求k. a2= b2+ c2,解(1)由题意得 c=W6,解得a=3, b= 1.a 32c=2 2,X22所以椭圆M的方程为x+y2=1.3(2)设直线 l 的方程为

31、 y=x+miA(x1,y1),B(x2,y2).y = x+ rq由 x22得 4x2+6m肝 3n23=0,a- +y=1，、3m3m3所以 x1 + x2= 2，x1x2=-4.所以 | AEB = 7 x2 xi T- y2 yi 2=22x2-xi2= y/2 xi+ x22 4x1x2_ 123n2当m= 0,即直线l过原点时，|AE最大，最大值为 邓.(3)设7“，yj , B(x2, y2),由题意得 x2+3y2=3, x2+3y22=3.，八一 、一.yi直线PA的万程为y = T=(x+2).xi+ 2yi由 丫-xi+2 x+2 x2+3y2=3,得(xi + 2)2+

32、3y2 x2+ i2y2x+ i2y23(毛+2) 2=0.设 Q xc, yc),所以xc+ xi =i2y24x2i2xi+2+ 3yi 4xi + 72所以4xi i2 i27xi4x1 + 7' 4xi+7所以yC=言(xC+ 2)yi4xi + 7设 D( xd, yD),同理得xd=一 i2 一 7x24x2 + 7y2yD= 4x2+7记直线CQ DQ的斜率分别为kcq kDqyi iy2 i,4xi+7 44x2+7 4kcQ kD(3=一i2 7xi 7 12 7x2 74xi+7 +44x2 + 7 +4= 4(yi 丫2 xi + x?).因为C, D, Q三点共

33、线,所以 kcQ kDA 0.故 乂一丫2=%x2.所以直线l的斜率k=y二光=1.X1 X21 .判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x, y的方程组，消去y(或x)得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数.2 .弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为Rx1, y1), Qx2, y2).xi + x2 24x1x21 + k2则 | PQ = | X1-X2I W+ k2 = /或 |PQ = ly=丫、/!Jyi + y22_qyy 1 +. ( kw0).3 .弦的中点圆锥曲线 C： f(x, y)=0 的弦为 PQ若 Rx1, y1), Qx2, y2),中点 Mx0, y(),则 x1 + x2= 2x。，y1 + y2= 2yo.理提素养1.(直线与椭圆的综合)已知离心率为1的椭圆x2+y2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 2 a bA，A，上顶点为 B,且BABA=1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于 M N两点，且直线l与x轴不垂直，若 D