教师版高二直线和圆的方程

1、高二数学直线和圆的方程教案知识框架重点难点重点：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式、两点式，直线方程的一般式；两条直线平行与垂直的条件，两条直线的夹角，点到直线的距离；用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题；曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程；圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程；难点：解析几何的基本量；对称问题；直线与圆的位置关系；与圆和直线有关的轨迹问题；知识点解析 直线一、直线的方程： 1）直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量： 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜

2、角；若直线和轴平行或重合时，则倾斜角为；直线倾斜角的取值范围是； 直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，用来表示，即；倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是； 直线的方向向量：设是直线上不同的两点，则向量称为直线的方向向量；向量也是该直线的方向向量，是直线的斜率； 直线斜率的求法：（）定义法：依据直线的斜率定义求得；（）公式法：已知直线过两点，且，则斜率；（）方向向量法：若为直线的方向向量，则直线的斜率；2）直线方程的五种形式：（）斜截式：；（）点斜式：；（）两点式：；（）截距式：；（）一般式：。注意：点斜式、斜截式不能表示与x轴垂直的直线；

3、两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线与x轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？3) 例题解：直线的点斜式是化成一般式得4x+3y-12=0把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12，就得到截距式注意下面几个问题：(1)直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须进一步化简；(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程

4、同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2得斜截式：x=-6根据直线过点A(-6，0)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线例3 证明：三点A(

5、1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上证法一 直线AB的方程是：化简得 y=x+2将点C的坐标代入上面的方程，等式成立A、B、C三点共线A、B、C三点共线|AB|+|BC|=|AC|，A、C、C三点共线讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力例4 直线x+2y-10=0与过A(1，3)、 B(5，2)的直线相交于C，此题按常规解题思路可先用两点式求出AB的方程，然后解方程组得到点C的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求，则计算量要小得多代入x+2y-10=0有：解

6、之得 =-3二、点和直线、两直线之间的位置关系： 1）点和直线的位置关系：设点，直线，则若点在直线上，则满足：；点到直线的距离：； 2）两直线的位置关系：设直线，：两直线平行：，且或；两平行线，之间的距离为：；两直线相交：（）到的角满足，且；（）与的夹角满足，且；（）：当、的斜率存在时，有；一般情况有：；两直线重合：，且或。典型练习题1由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)；(6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°解：(1)x+2y-4=0； (2)y-2=0； (3)2x+1=0；(4)2x-

7、y-3=0； (5)x+y-1=0； (6)x-y+7=03一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角4求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程5设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0证明：将点P(x0，y0)的坐标代入有C=-Ax0-By0，将C代入Ax+By+C=0即有A(x-x0)+B(y-y0)=06过A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线交直线l：Ax+By+C=0于C，三、简单的线性规划： 1）二元一次不等式表示平面区域： 在平面直角坐标系中，已知直线，坐标平面内的点：时，若，则点在直线的上方

8、；若，则在下方；也就是说：时， 表示直线上方区域；表示其下方区域； 2）线性规划： 定义：求线性目标函数在线性的约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划； 满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； 线性规划问题一般用图解法，步骤如下：（）根据题意，设出自变量；（）找出线性约束性条件；（）确定线性目标函数：；（）画出可行域（几个约束条件所示区域的公共区域）；（）利用线性目标函数作平行直线系（为参数）；（）观察图形，找到直线在可行域上使取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。直线练习题1 关于直线的倾斜角和斜率，

9、下列哪些说法是正确的 （ ）。A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B、直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或； D、两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；E、两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F、直线斜率的范围是。答 DF。oxy2 如图，直线的斜率分别为，则：（ ）A、 B、 C、 D、答 B。3 填空（1） 若则 ；若则 ；（2） 若，则 ；若 ；（3） 若则的取值范围 ；若,则的取值范围 。答 （1），；（2），；（3），。4 一条直线经过点，倾斜角，求这条直线方程，并画出图象。分析 此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式。

10、解 这条直线经过点，斜率是，代入点斜式方程，得，即，这就是所求直线方程。图形如下：5 一直线过点，其倾斜角等于直线的倾斜角的2倍，求直线的方程。分析 此题已知所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可。根据已知条件，先求出直线的倾斜角，再求出所求直线的倾斜角，进而求出斜率。解 设所求直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，代入点斜式得：，即：。说明：通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用。6 已知直线的斜率为，与轴的交点是，求直线的方程。解 将点，代入直线方程的点斜式得：，即。说明 (1)上述方程是由直线的斜率和它在轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式；(2)我们称为直线在轴上的截距

11、；(3)截距可以大于0，也可以等于或小于0。7 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，求直线的方程。分析 此题条件符合两点式的适用范围，可以直接代入。解 由两点式得，即1。说明 (1)这一直线方程由直线在轴和轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；(2)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。8 三角形的顶点是，这个三角形三边所在的直线方程。解法一 (用两点式)直线经过点，由两点式得，整理得：，这就是直线的方程。直线经过点，由两点式得，整理得，这就是直线的方程。直线经过点，由两点式得，整理得，这就是直线的方程。解法二 (用斜截式求所在直线方程)，由斜截式得，整理得，这就是直线的方程

12、。解法三 (用截距式求直线的方程)直线的横、纵截距分别为5，2，由截距式得1，整理得，这就是直线的方程。9 为何值时，直线与，(1)平行；(2)垂直。解 当或1时，两直线既不平行，也不垂直；当且时，直线的斜率为，；直线的斜率为，。（1）当，即，解得或，所以当或时，两直线平行；（2）当，即·1，解得，所以当时，两直线垂直。10 直线与直线的平行，则的值为（ ）A、2 B、-3 C、2或-3 D、-2或-3解法一 ，当时，显然不平行于；当时，若，须。由式有,解得或。显然或满足。应选C。解法二 若，须,解得或。当或时，或为所求。 应选C。11 与互相垂直，则为（ ）A、-1 B、1 C、&

13、#177;1 D、-解：。两直线垂直，整理，得，应选C。12 求与直线平行且过点的直线的方程。分析 本题己知一点坐标，故可考虑用直线方程的点斜式求解，而互相平行的两直线斜率相等；或者可设出与L平行的直线系方程，再利用题设求解。解法一 设直线的斜率为，与直线平行，。又经过点可得所求直线方程为，即。解法二 设与直线 平行的直线的方程为，过点，所以有：，解得，所求直线方程为。13 已知的顶点坐标为，求边上的高所在的直线方程。分析 边上的高所在直线的斜率与直线的斜率互为负倒数，然后用点斜式求解。解 设边上的高所在直线斜率为，则，又，由点斜式得：，即：。14 求与直线平行，且在两坐标轴上截距之和为的直线

14、的方程。分析 由与直线为。平行联想，可设直线的方程为,也可由两截距之和为，设直线的方程为。解法一 设直线的方程为。令，得y轴上截距；令，得x轴上截距， -+（-）=，解得，所求直线的方程为。 解法二 设直线方程为，解得，所求直线方程为。15 求直线的夹角(用角度制表示)。解：由两条直线的斜率得，。16 等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点(2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线的方程。分析 已经已知上一点，故求出的斜率即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到，即，而分别为直线到与到的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，由此可建立关于的方程。解 设的斜率分别为3，到的角是，到的

15、角是，则，。因为所围成的三角形是等腰三角形，所以，即3，将代入得3，解得。因为经过点(2，0），斜率为2，写出其点斜式方程为，即：，这就是直线的方程。评述 此题应用了到的角的公式及等腰三角形有关知识，并结合了直线方程的点斜式，要求学生注意解答的层次。17 当为何值时，直线过直线与的交点?解法一 解方程组，得交点(4，9)。将代入得，解得。解法二 过直线与的交点的直线系方程为，整理得：y与直线比较系数，得，即。18 求点到下列直线的距离：(1) ；(2) 。解 （1）根据点到直线的距离公式得；（2）因为直线平行于轴，所以。评述 此例题（1）直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；（2）体

16、现了求点到直线距离的灵活性，并没局限于公式。19 求两平行线，的距离。解法一 令代入的方程，得，所以直线在轴上的截距为，同理可求得直线在轴上的截距为。又，所以原点在直线与同一侧；又由已知，可求出原点到直线与的距离为，。所以平行线与的距离。解法二 ，又，由两平行线间的距离公式：若，（不全为0)，则与之间的距离，于是得。20 已知直线与夹角的平分线为，如果的方程是，那么的方程是 ( ) A、 B、 C、 D、解 设直线与直线的交点为。由，解得，点的坐标为()。又的斜率为，由直线到直线的角等于直线到的角，得，根据直线的点斜式得的方程为 即。答 A。21 已知、满足约束条件，分别求、的值，使下列目标函

17、数取得最值：(1)；(2)解 (1)作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图一，可行域为凸五边形，目标函数为，作一组平行直线(为参数)，由图可知，当直线经过原点时，取得最小值；当直线通过点时，直线离原点最远，此时取得最大值，解方程组，得点的坐标为(2,3)。综上所述，当，时，取得最小值；当，时，取得最大值。 图一 图二 (2)目标函数，作一组平行线，如图二所示。由图象知，当直线经过原点时，取得最小值；当直线与边重合时，取最大值。综上所述，当，时，取得最小值；当，且时，取得最大值。 22 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72，第二种有56，假设生产每种产品都需要用两种木

18、料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示。每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元。木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位)第 一 种第 二 种圆 桌018008衣 柜009028解 设生产圆桌只,生产衣柜个,利润总额为元,那么 而。如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域。作直线,即,把直线向右上方平移至的位置时,直线经过可行域上点,且与原点距离最大,此时取最大值解方程组,得点坐标(350,100)。答 应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大。圆一、曲线和方程： 1）一般地，在直角坐标系中，如果某曲

19、线（看作是和某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线； 2）求曲线的方程一般有五个步骤：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标；写出适合条件的点的集合；用坐标表示条件，列出方程；化方程为最简式；证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。二、圆的方程： 1）圆的标准方程：圆心为，半径为的圆的标准方程为； 2）圆的一般方程：二次方程（）是圆的一般方程，可以化简为的标准方程，圆心为，半径为，具有几个特点：项系数相等且不为零，没

20、有项；当时，表示点；当时，方程不表示任何图像；根据条件列出关于的三元一次方程组，可确定圆的一般方程； 3）圆的参数方程：圆心在，半径为的圆的参数方程为（为参数）；圆心在，半径为的圆的参数方程为（为参数）； 4）二元二次方程表示圆的充要条件：。（3）直线与圆的位置关系：方程的观点，利用判别式：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离；几何的观点，利用圆心到直线的距离和半径的大小：，直线和圆相离；，直线和圆相切；，直线和圆相交。三、例题例1 已知两定点、间的距离为2,求动点到两定点、的距离之比为：的点的轨迹方程。分析 先合理建系,再对与分别进行讨论。解 先建系,设,当时,动点为、两点连线的中

21、垂线,即；当时,由,即即例2 在中,若边上的高长为2,求垂心的轨迹方程。解 顶点在上方或下方。当在上方时,设垂心,则当时,边上高的斜率,由,即,即。当时,垂心与点重合;当时, 垂心与点重合,而这两点坐标均适合轨迹方程,点在轴上方时,的轨迹方程是。当点在轴下方时,垂心的轨迹方程是。例3 过点作互相垂直的直线、,分别交轴正向于,交轴正向于,求线段中点的轨迹方程。分析 思路一:设中点为。若能把点坐标转移到、两点,再利用,问题便可解决；思路二:若设斜率为,则斜率为,再建立、方程,求得、两点坐标,继而得点坐标用表示,最后消去便可达到目的,在上述考虑中,要注意斜率存在与不存在两种情况；思路三:因为、四点共

22、圆,所以,用直接法最简捷。解 方法一:设中点为,则、()。当不垂直于轴时,由,即,化简得。当轴时,点坐标为(3,4),满足上述方程。故点轨迹方程为()。 方法二:当不垂直于轴时时,设斜率为,则斜率为,得方程为,方程为,从而得,。由,消参数,得。当轴时,点坐标为(3,4),满足上述方程,故点轨迹方程为()。例4 已知两点和,求以为直径的圆的方程。分析一 从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径。解 设圆心,则,圆的半径，所求圆的方程为。 分析二 从图形上动点的性质考虑,根据圆周角是直角可知。 解 设是圆上任意一点,即,化简并整理得例5 求过两点,且圆心在直线上的圆的标准方程。分析一 因为、是圆上的两

23、点,所以圆心在弦的垂直平分线上,又圆心在已知直线:上,故圆心是直线、的交点。解 由题可得线段的中点坐标为(2,5),直线的斜率为,线段的垂直平分线的斜率为,故线段的垂直平分线方程为,即,由解得圆心的坐标为(4,1),半径,所求的圆的方程为。分析二 确定一个圆需且只需三个条件,本题亦可用待定系数法求解。分析三 因为圆心在直线上,可设,又、在圆上,故,可求出,即(4,1),所求的圆的方程为。例6 已知直线:与圆:。(1)判断直线与圆的位置关系；(2)求直线被圆所截得的弦长。 解 (1)分析一 联立方程组,消去后整理得到,方程组有两组不同的实数解,即直线与圆相交。分析二 圆心(7,1)到直线的距离为,故直线与圆相交。(2)分析一 解方程组、的坐标求。分析二 由方程组（利用弦长公式）。分析三 解由弦心距,弦长之半,半径构成的直角三角形可得。例7 过点(2,4)作圆的切线,试求切线的方程。解 分析一 设点斜式方程利用切线性质求。点不在圆上,设方程的方程为,即。圆心(0,0)到切线