从向量与图像看线性方程组

1、从向量与图像看线性方程组姓名：梁宁 班级：金融学院 金融（3）班学号：200841063摘要：函数、函数图像以及与函数对应的方程之间存在相互对应的关系。线性方程组是由多个方程组成，对其性质的研究与求解也可以转化为研究函数及其图像性质的问题。利用“数形结合”，通过将方程组转化为图像，可以把抽象的问题转化为形象的问题，便于对方程组一些性质的理解。关键词：函数 函数图像 线性方程组 向量 基础解系我们知道“在定义域上，以一个方程的解为坐标的点都是某条曲线上的点，反过来，这条曲线上点掉坐标都是方程的解，这时，这个方程叫做这个曲线的方程，这条曲线叫做这个方程的曲线。”由此我们可以看出对于一个函数所确定的

2、曲线和这个函数所对应的方程同时满足上述条件，它们之间存在着一一对应的关系。而将方程的解写成坐标的形式，则表示与其对应的向量。一个N元方程能过确定N-1元的多元隐函数。因此N元方程能确定出n维空间中的图形。例如：一元一次函数y=x-1的函数图像为一条直线（如图）点P（0，1）是直线上的一个点。对应二元方程f(x,y)=x-1-y=0的一个解。显然方程的每一组解都是直线上的点，而将直线上点的坐标代入方程，也全部满足方程。而向量a=（1，0）即以原点为起点，该解对应的点为终点的向量。同样，对于多个二元方程构成的方程组来说，每一条曲线分别与它对应的方程一一对应。但是一个二元方程组的解与其对应的图像有什

3、么关系呢？假设一个方程组含有方程f1、f2，对应曲线c1、c2。如果曲线有交点，设曲线的一个交点为P（x,y）。点P既在曲线c1上，又在曲线c2上。即数对（x,y）既满足方程f1，又满足方程f2。同理，如果曲线存在其它的交点，也满足上述条件。如果曲线没有交点，显然c1上的每一个点满足方程f1，却不满足f2；c2上的点也仅满足f2。可知，方程组的解就是其包含的方程对应的曲线的交点的坐标，如果曲线没有交点，则方程组无解。同样考虑二元方程构成的方程组。当方程组包含多个方程时。设有n个方程f1、f2、f3fn，对应曲线c1、c2、c3cn。当曲线c1、c2、c3cn-1都交于同一点Q,但是Q点不在cn

4、上，Q点坐标不能满足方程fn；则Q点坐标因不满足所有的方程而不能作为方程组的解。我们可以得到结论：只有所有曲线都交于同一点时，点的坐标才能同时满足所有方程，即为方程组的解。以方程的解为坐标的平面向量就是以原点为起点曲线交点为终点的向量。至此，对于任意二元方程组的求解问题都可以转化为一元函数求交点的问题。在此，可以把这种思想推广到三元线性方程组甚至N元方线性程组。三元方线性方程对应图像为空间坐标系中的一个平面。一个方程组对应的一组平面可能出现所有平面交于同一点、交于同一直线或重合和没有公共交点三种情况，这对应了方程组有唯一解、有无穷解和无解。同理对于n元线性方程组，则对应n维空间中，n-1维空间

5、相交的有唯一公共点、有公共区域和无公共点但种情形。运用此种思想可以解决一些解题中的常见问题：一、对于求解线性方程组可以给出n元方程组解的几何意义。从对前面对这种思想的阐述中可以看出。二、可以明显地看到相互性方程组的基础解系中解向量的个数与方程组增广矩阵的秩的关系：方程组基础解系中解向量的个数等于方程组图像所有图像的公共区域的维数。即一个n元方程组图像组的公共区域是r维空间图形，则这个方程组基础解系就包含r个线性无关的解向量。证明：先看三元线性方程组。若其增广矩阵的秩为1，它基础解系中解向量的个数为2。此时矩阵中必定有两行数是另一行数的实数倍对应方程组中的两个方程f1、f2可以有f3乘以实数k1

6、、k2得到则它们的图像是三个重叠在一起的平面，方程组的解即空间坐标系中平面上的点。显然，要表示一个平面上的点需要平面上两个不共线的向量。这两个向量就是基础解系中两个线性无关的解向量。若其增广矩阵的秩为2，它基础解系中解向量的个数为1。则其中必然有一个方程f3可以用方程f1、f2线性表示f3=m f1+n f2 （a、b为任意非零实数）。因为f1、f2不能互相表示所以f1、f2所确定的平面不平行则平面一定会交于一条直线L，设L=a x + b y + c上的点（x，y）一定满足L的方程。且L既在f1面上又在f2面上。所以当f1取L上的点时，f2也取L，此时f3=m (a x + b y + c)

7、+n (a x + b y + c)=(m + n)(a x + b y + c)=(n + m)L化简后f3=L=a x + b y + c显然f3对应的面也经过L。可知三个平面的公共部分就是L。显然，表示一条直线上的点仅需一个与直线平行的向量。这个向量就是基础解系里的无关解向量。综上所述，对于三元方程符合这一推论。依照此方式分析n元方程组在n维空间中构成的图像相交构成的公共区域。可以得到，在方程组的增广矩阵的秩为 r (r<n)时，所得的公共区域为n-r维空间。显然若表示n-r为空间中的任意点，至少需要n-r个线性无关的向量。对应就是方程组基础解系中的无关解向量。由此可得，方程组基础

8、解向量中无关解向量的个数与方程组对应图像公共区域的维数相等。由以上证明过程也能够看出方程组增广矩阵的秩的几何意义：n维空间中各方程图像公共区域所不能占据到的空间的维数。在此，我做出以下猜想：猜想方程组的增广矩阵的秩与方程组解向量的空间关系。设一个n元方程组增广矩阵的秩维r。空间中存在r维空间没有被方程图像占据。也可以认为是这r维的空间限定了方程组解向量存在的空间。上述r维空间与n-r维空间之间存在一定的依存关系。（由于本人学习、研究线性方程组时间较短，知识浅薄，仅能猜想他们之间存在关系，但是无法找到他们之间具体的依存关系。）结论：这里提出的思想即数学中“数形结合”思想在线性方程组方面的具体体现。通过对这种思想的阐述和对由此得到的一些结论的简单证明。主要目的是将方程组及其性质与空间图像的性质建立对应关系，使方程组的一些性质形象化，便于对一些的深入研究和探索。也为学习线性方程组的同学提供一个辅助学习工具，加深对线性方程组