2012年高考真题分类汇编(全析全解)03：导数与积分

1、2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分一、选择题 （2012年高考（新课标理）已知函数;则的图像大致为 （2012年高考（浙江理）设a>0,b>0.（）A若,则a>bB若,则a<b C若,则a>bD若,则a<b （2012年高考（重庆理）设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值 （2012年高考（陕西理）设函数,则（）A为的极大值点B为的极小值点 C为的极大值点D为的极小值点 （2012年高考（山东理）设且,则

2、“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件yxO第3题图 （2012年高考（湖北理）已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为（）ABCD （2012年高考（福建理）如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）ABCD （2012年高考（大纲理）已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则（）A或2B或3C或1D或1二、填空题 （2012年高考（上海理）已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为_ .（201

3、2年高考（山东理）设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则_.（2012年高考（江西理）计算定积分_.（2012年高考（广东理）曲线在点处的切线方程为_.三、解答题（2012年高考（天津理）已知函数的最小值为,其中.()求的值;()若对任意的,有成立,求实数的最小值;()证明.（2012年高考（新课标理）已知函数满足满足;(1)求的解析式及单调区间;(2)若,求的最大值.（2012年高考（浙江理）已知a>0,bR,函数.()证明:当0x1时,()函数的最大值为|2a-b|a;() +|2a-b|a0;() 若11对x0,1恒成立,求a+b的取值范围.（2012年高考（重庆理）(本小题满

4、分13分,()小问6分,()小问7分.)设其中,曲线在点处的切线垂直于轴.() 求的值;() 求函数的极值.（2012年高考（陕西理）设函数(1)设,证明:在区间内存在唯一的零点;(2)设,若对任意,有,求的取值范围;(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.（2012年高考（山东理）已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.（2012年高考（辽宁理）设,曲线与直线在(0,0)点相切.()求的值.()证明:当时,.（2012年高考（江苏）若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.已

5、知是实数,1和是函数的两个极值点.(1)求和的值;(2)设函数的导函数,求的极值点;(3)设,其中,求函数的零点个数.（2012年高考（湖南理）已知函数=,其中a0.(1)若对一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数的图像上取定两点,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.（2012年高考（湖北理）()已知函数,其中为有理数,且. 求的最小值;()试用()的结果证明如下命题:设,为正有理数. 若,则;()请将()中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.注:当为正有理数时,有求导公式.（2012年高考（广

6、东理）(不等式、导数)设,集合,.()求集合(用区间表示);()求函数在内的极值点.（2012年高考（福建理）已知函数. ()若曲线在点处的切线平行于轴,求函数的单调区间;()试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.（2012年高考（大纲理）(注意:在试题卷上作答无效)设函数.(1)讨论的单调性;(2)设,求的取值范围.（2012年高考（北京理）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.（2012年高考（安徽理）(本小题满分13分)设(I)求在上的最小值;(II)

7、设曲线在点的切线方程为;求的值.2012年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题 【解析】选 得:或均有 排除 【答案】A 【解析】若,必有.构造函数:,则恒成立,故有函数在x>0上单调递增,即a>b成立.其余选项用同样方法排除. 【答案】D 【解析】,由,函数为增; ,由,函数为减; ,由,函数为减; ,由,函数为增. 【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减. 解析:,令得,时,为减函数;时,为增函数,所以为的极小值点,选D. 【解析】若函数在R上为减函数,则有.函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为

8、减函数”是“函数为增函数”的充分不必要条件,选A. 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解析:根据图像可得: ,再由定积分的几何意义,可求得面积为. 【答案】C 【解析】,故,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而,当时取得极值 由或可得或,即. 二、填空题 NxyODM15P图2xyABC15图1解析如图1

9、, 所以, 易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO与OMP全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP的面积S=. 评注对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 【解析】由已知得,所以,所以. 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. . 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 解析:.,所以切线方程为,即. 三、解答

10、题 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1)的定义域为得：时，（2）设则在上恒成立（*）当时，与（*）矛盾当时，符合（*）得：实数的最小值为(lfxlby)（3）由（2）得：对任意的值恒成立取：当时， 得：（lb ylfx）当时，得：【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 【解析】(1) 令得: 得:

11、在上单调递增 得:的解析式为 且单调递增区间为,单调递减区间为 (2)得 当时,在上单调递增 时,与矛盾 当时, 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力. () (). 当b0时,>0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b>0时,在0x1上的正负性不能判断, 此时的最大值为: =|2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a; () 要证+|2a-b|a0,即证=|2a-b|a. 亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a, ,令. 当b0时,<

12、0在0x1上恒成立, 此时的最大值为:=|2a-b|a; 当b<0时,在0x1上的正负性不能判断, |2a-b|a; 综上所述:函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2a-b|a. 即+|2a-b|a0在0x1上恒成立. ()由()知:函数在0x1上的最大值为|2a-b|a, 且函数在0x1上的最小值比(|2a-b|a)要大. 11对x0,1恒成立, |2a-b|a1. 取b为纵轴,a为横轴. 则可行域为:和,目标函数为z=a+b. 作图如下: 由图易得:当目标函数为z=a+b过P(1,2)时,有,. 所求a+b的取值范围为:. 【答案】() 见解析;() . 【考点定位】本小题主要考查

13、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因,故 由于曲线在点处的切线垂直于轴,故该切线斜率为0,即, 从而,解得 (2)由(1)知, 令,解得(因不在定义域内,舍去), 当时,故在上为减函数; 当时,故在上为增函数; 故在处取得极小值. 解析:(1),时, ,在内存在零点. 又当时, 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点. (2)当时, 对任意都有等价于在上最大值与最小值之差,据此分类讨论如下:()当,即时, ,与题设矛盾 ()当,即时, 恒成立 ()当,即时, 恒成立. 综上可知, 注:()()也可合并证明如下:

14、用表示中的较大者.当,即时, 恒成立 (3)证法一 设是在内的唯一零点 , 于是有 又由(1)知在上是递增的,故, 所以,数列是递增数列. 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故, 所以,数列是递增数列. 解析:由f(x) = 可得,而,即,解得; (),令可得, 当时,;当时,. 于是在区间内为增函数;在内为减函数. (), (1)当时, ,. (2)当时,要证. 只需证即可 设函数. 则, 则当时, 令解得, 当时;当时, 则当时,且, 则,于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证1:设函数,则, 则当时, 于是当时,要证, 只需证即可, 设, 令解得

15、, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,恒成立. 另证2:根据重要不等式当时,即, 于是不等式, 设, 令解得, 当时;当时, 则当时, 于是可知当时成立. 【答案及解析】 【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数的定义域,根据条件曲线与直线在(0,0)点相切,求出的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题. 【答案】解:(1)由,得. 1和是函数的两个极值点, ,解得. (2) 由(1)得,

16、, ,解得. 当时,;当时, 是的极值点. 当或时, 不是的极值点. 的极值点是-2. (3)令,则. 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,的两个不同的根为一和2. 当时, , 一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 当时, ,于是是单调增函数,从而. 此时在无实根. 当时.,于是是单调增函数. 又,的图象不间断, 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. 当时,于是是单调减两数. 又, ,的图象不间断, 在(一1,1 )内有唯一实根. 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个

17、不同的根,满足. 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足. 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ( 11 )当时,有三个不同的根,满足. 而有三个不同的根,故有9 个零点. 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可. (2)由(1)得,求出,令,求解讨论即可. (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点. 【解析】()若,则对一切,这与题设矛盾,又, 故. 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值

18、于是对一切恒成立,当且仅当 . 令则 当时,单调递增;当时,单调递减. 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,式成立. 综上所述,的取值集合为. ()由题意知, 令则 令,则. 当时,单调递减;当时,单调递增. 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, . 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 . 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xR,f(x) 1恒成立转化为,

19、从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(),令,解得. 当时,所以在内是减函数; 当 时,所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. ()由()知,当时,有,即 若,中有一个为0,则成立; 若,均不为0,又,可得,于是 在中令,可得, 即,亦即. 综上,对,为正有理数且,总有. ()()中命题的推广形式为: 设为非负实数,为正有理数. 若,则. 用数学归纳法证明如下: (1)当时,有,成立. (2)假设当时,

20、成立,即若为非负实数,为正有理数, 且,则. 当时,已知为非负实数,为正有理数, 且,此时,即,于是 =. 因,由归纳假设可得 , 从而. 又因,由得 , 从而. 故当时,成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数,所推广的命题成立. 说明:()中如果推广形式中指出式对成立,则后续证明中不需讨论的情况. 解析:()考虑不等式的解. 因为,且,所以可分以下三种情况: 当时,此时,. 当时,此时,. 当时,此时有两根,设为、,且,则,于是 . 当时,所以,此时;当时,所以,此时. 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,. (),令可得.因为,所以有两根和,且. 当时,此时在内有两根和,列表

21、可得1+0-0+递增极小值递减极大值递增所以在内有极大值点1,极小值点. 当时,此时在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得+0-+递增极小值递减递增所以在内只有极小值点,没有极大值点. 当时,此时,于是在内恒大于0,在内没有极值点. 综上所述,当时,在内有极大值点1,极小值点;当时,在内只有极小值点,没有极大值点.当时,在内没有极值点. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想. 解:(1),故 时,时,所以函数的增区间为,减区间为 (2)设切点,则切线 令,因为只有一个切点,所以函数就只有一个零点,因为 ,若 ,因此有唯一零点,由的任意性知不合题意 若,令,则 ,存在一个零点,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故的取值范围为. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第