高等传热学作业

1、第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为： （1-1） 根据能量守恒： （1-2）导热速率可根据傅里叶定律计算： （1-3）将上述式子代入（1-4-3）可得到对于各向异性材料，化简整理后可得到： （1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=)的温度分别保持为和，两侧面()向温度为的周围介质散热，表面传热系数为。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图：（1） 设，根据题意写出下列方程组 （2-1）解上述方程可以把分解成两部分和两部分分别求解，然后

2、运用叠加原理得出最终温度场，一下为分解的和两部分： （2） 首先求解温度场用分离变量法假设所求的温度分布可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积，即 （2-2）将上式代入的导热微分方程中，得到，即，上式等号左边是x的函数，右边是y的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为。由此得到一个待定常数的两个常微分方程 （2-3）解得 （2-4） （2-5）把边界条件代入（2-3-4）得到A=0，所以有 （2-6）把边界条件代入（2-3-5）得到D=0，所以有 （2-7）把边界条件联立（2-3-7）得到 （2-8）设，则有，这个方程有无穷多个解，即常数有无穷多个值，即，所以对应无穷多个，

3、即，所以有 （2-9）联立（2-3-6）可得 （2-10）把边界条件代入上式可得 （2-11）解得 （2-12）其中 （2-13）（3） 求解温度场与解一样用分离变量法，假设所求温度分布可以表示成一个x的函数和一个y的函数的乘积 （2-14）将该式子代入的导热微分方程中得到，即，由此可得到两个常微分方程 （2-15） （2-16）解式（2-3-15）时根据x的边界条件可以把解的形式写为 （2-17）把边界条件代入上式，得到A=0，所以有 （2-18）其中 （2-19）把边界条件代入上式可得 （2-20） （2-21） （2-22）（4） 最终求得稳态温度场 2-5、地热换热器是管中流动的流体与

4、周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql，地表面的温度均匀，维持为t0。使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图如下： 设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为，电源强度为，设地面温度维持恒定温度。（1） 求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介

5、质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为： （3-1） 解微分方程可得 （3-2）把边界条件代入上式得到，所以有 （3-3）在球坐标系点热源单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q，即 （3-4）所以得到由此可得到球坐标系中点热源产生的温度场为 （3-5）（2） 分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场 （3-6）对称的虚拟热源产生的温度场为 （3-7）（3） 虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场 （3-8） 第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，

6、热电偶的感温节点可看作直径为1mm的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(KgK)，测温记录最高和最低温度分别为130和124，周期为20s。若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2K)，试确定气流的真实温度变化范围。解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 （4-1）式中按题目要求，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式 （4-2）把的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为 （4-3） （4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的

7、温度场由式子确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场： （5-1）其中：对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到时刻的温度变化为： （5-2）对于间歇性的脉冲，令为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为，则脉冲加热的强度为，具体见下图：由叠加原理得到： （5-3）即温度响应为 （5-4）第四章4-1、处在x>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度tm。

8、当时间时，在x=0的边界上受到一个恒定的热流q0的作用。使用积分近似解得方法确定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。解：设过余温度，边界条件为 （6-1） （6-2）热平衡方程为 （6-3）其中L是潜热，用二次多项式近似固相区中的温度分布，设 （6-4）由边界条件（6-1）可知，则 （6-5）由边界条件（6-2）变形，代入（6-3）式可得 （6-6）将（6-4）代入上式得到 （6-7）联立（6-5）和（6-7）两个式子，可解得 （6-8）将（6-4）代入（6-3）得到 （6-9）其中，所以有，代入A的值即得 （6-10）变形可得到 （6-11）积分可得到 （6-12）化简

9、整理可得界面随时间的变化方程为 （6-13）第六章6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。解：按照题意可以写出 （7-1）故连续性方程为 （7-2）可以简化为 （7-3）因流体是常物性，不可压缩，NS方程为X方向上： （7-4）简化为 （7-5）Y方向上： （7-6）可简化为 （7-7）第七章7-3、试证明：当时流体外掠平板层流动边界层换热的局部努塞尔数为 证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程为 （8-1）常壁温的边界条件为 （8-2） （8-3）引入一量纲温度 ，则上述能量方程变为 （8-4）引入相

10、似变量 ，得到 （8-5） （8-6） （8-7）将上面的三个式子代入（8-4）可得到 （8-8）当时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即，由此可得 （8-9）求解得到 则 （8-10）第八章8-2、常物性不可压缩流体在两平行平板之间作层流流动，下板静止，上板以匀速U运动，板间距为2b，证明充分发展流动的速度分布为 解：二维流体质量、动量方程为 （9-1） （9-2） （9-3）在充分发展区，截面上只有沿流动方向上的速度u在断面上变化，法向速度v可以忽略不计，因此可由（9-1）得到 （9-4）将（9-4）式代入（9-3）得到，表明压力P只是流动方向x的

11、函数，即流道断面上压力是均匀一致的进一步由（9-2）可得 （9-5）相应的边界条件为 （9-6） （9-7）对（9-5）积分可得到 （9-8） （9-9）代入边界条件得到，因此有 （9-10）第九章9-3、流体流过平壁作湍流边界层流动，试比较粘性底层、过渡区和湍流核心区的大小。解：流体流过平壁作湍流边界层流动时，一般将边界层分为3个区域： 粘性底层： 缓冲层： 湍流核心： 其中因此可以得出，湍流核心区最大，缓冲层其次，粘性底层最小。粘性底层是靠近壁面处极薄的一层，速度耗损大。过渡区处于粘性底层与湍流核心区之间，范围很小。第十章10-3、一块平板，高0.5m，宽0.5m，壁温保持在30，竖直放入

12、120的油池中，求冷却热流。解：物性取膜温 （11-1）查油的物性表得到： 瑞利数为 （11-2）平均努塞尔数为 (11-3)因此 (11-4)得到 (11-5)第十一章11-3、有一漫辐射表面，单色吸收比如下图所示。在太空中，正面受到太阳辐射，辐射力为1394w/，背面绝热。试求表面的平衡温度。解：假定太阳辐射相当于5800K的黑体辐射全波长半球向吸收率为 （12-1）利用，得到 （12-2）由 得到，因此 （12-3）由于漫射性质，因此可得到 （12-4）假定最终平板的温度在600K以下，得到 （12-5）平板背面绝热，由平板能量平衡方程得到 （12-6）代入数据后解得 （12-7）第十二章13-3、两无限大平行平板，表面1温度为1500K，单色发射率在波段为0.4，在波段为0.9，其他波段为0。表面2温度为1000K，单色发射率在波段为0.7，其他波段为0.3。试求辐射换热。解：由题可得表面1的发射率为 （13-1）其中，同理求得表面2的发射率为 （13-2）其中，由玻尔兹曼定律可求得同温下黑体的总辐射量为 （13-3） （13-4）因为表面1