第一讲勾股定理

1、勾股定理及其应用【学习目标】1. 掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理2. 能够利用勾股定理进行有关的计算或推理3. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题【知识要点】1. 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2_，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是_证法一（拼图法）：如图1所示，因为大正方形的边长为ab，所以面积为（ab）2；中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab；于是有（ab）2c24×ab，整理得a2b2c2 图1 图2 图3 图4证法二（拼图法）：如图2所示，因为大正方形的边长为ab，所以面积为（ab）

2、2又因为此正方形的边长与图（1）中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等故a2b22×abc24×ab，所以得到a2b2c2证法三（拼图法）：如图3所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形（ab）（ab）（ab）2而S梯形abc2故（ab）2abc2，整理得a2b2c2证法四（拼图法）：如图4所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的因为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为（ba）2，故c24×ab（ba）2，整理得a2b2c22. 用勾股

3、定理解决面积问题求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系如图（1）所示，分别以RtABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，可以很容易得出S1、S2、S3之间的关系因为ABC为直角三角形，所以AB2AC2BC2，而S1AB2，S2BC2，S3AC2，故S1S2S3，图（2）中S1、S2、S3之间的关系也可以用以上方法得到 3. 立体图形中的最短路径问题（1）圆柱中的最短路径如图所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径因

4、为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图（如图所示），再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度（2）正方体中的最短路径如图中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少？将正方体展开后（如图所示），因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C1、C2、C3，分别连结AC1、AC2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为注意：当图中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同4. 重点难点：重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的

5、应用【典型例题】例1. 如图所示，在RtABC中，ACB90°，B60°，a4，求b、c，ABC的面积及斜边AB上的高 例2. 一个零件的形状如图所示，已知AC3cm，AB4cm，BD12cm求CD的长 例3如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为_ 【能力提升】一. 选择题： 1. 如图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是 ( )A. 1cm2 B. 3cm2 C. 6cm2 D. 9cm22. 一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m，那么梯子的顶端距墙脚的距

6、离是 ( )A. 0.7m B. 0.9m C. 2.4m D. 2.5m3. 在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，C=90°，且c2=2b2，则这个三角形有一个锐角为 ( )A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°4. 有四个三角形，分别满足下列条件：(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角之比为345；(3) 三边之比为51213；(4) 三边长分别为7、24、25.其中直角三角形有 ( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二. 填空题： 5. 如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，若跨度 B

7、C=16米，上弦长AB=10米，则中柱AD= 米.6. 一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管 _露出杯口外. (填“能”或“不能”)7. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）8. ABC中，若AB=13，AC=20，高AD=12，则BC的长为 .三、 探究与思考9. 如图是一个长方体盒子(尺寸如图所示)，在长方体下底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？10. 在ABC中，CD是AB边上的高，AC

8、=4，BC=3，DB=.(1) 求AD的长；(2) ABC是直角三角形吗？请说明理由. 四、解决问题11. 甲、乙两轮船于上午8时同时从A码头分别向北偏东23°和北偏西67°的方向出发，甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度为32海里/时，则下午1时两轮船相距多少海里？ 12. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），想一想，此时EC有多长？用你学过的方法进行解释. FA D EBCF13. 做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米,30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？14. 如图