(完整)中考复习：将军饮马类题型大全,.docx

1、“将军饮马”类题型大全一.求线段和最值1 （一）两定一动型例1:如图， AM ±EF, BN± EF,垂足为 M、N , MN =12m , AM = 5m , BN =4m ,P是EF上任意一点，则PA+PB的最小值是 m.E W P X F分析：这是最基本的将军饮马问题，A, B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马 型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A，,根据两点之间，线段最短，连接A' B,此时A' P+PB即为A' B,最短.而要求A' B, 则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决.解答：作点A关于EF的对称

2、点A ',过点A'作A' C± BN的延长线于C.易知A' M = AM=NC = 5m, BC= 9m , A' C=MN=12m,在 Rt AA' BC 中，A' B=15m, 即PA+PB的最小值是15m .变式:如图，在边长为2的正三角形ABC中，E, F, G为各边中点，P为线段EF上一动点，则ABPG周长的最小值为.4B G分析：考虑到BG为定值是1,则ABPG的周长最小转化为求BP+PG的最小值，又是 两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不 出来到底是哪个点，我们不妨连接 AG,则A

3、GLBC,再连接EG,根据“直角三 角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE= EG,则点A就是点G关于EF的对 称点.最后计算周长时，别忘了加上 BG的长度.解答：连接 AG,易知 PG = PA, BP+PG = BP+PA,当 B, P, A 三点共线时，BP+PG=BA,此时最短，BA=2 , BG = 1,即ABPG周长最短为3.（二）一定两动型 例2：如图，在 ABC中，AB = AC=5, D为BC中点，AD= 5, P为AD上任意一点,E为AC上任意一点，求PC + PE的最小值.AB D C分析：这里的点C是定点，P, E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于 ABC 是等腰

4、三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点B, PC+PE=PB+PE,显然当B, P, E三点共线时，BE更短.但此时还不是 最短，根据“垂线段最短”只有当BE, AC时，BE最短.求BE时，用面积法 即可.解答：作BELAC交于点E,交AD于点P,易知ADLBC, BD = 3, BC = 6,则 AD BC=BE AC,4X6 = BE 5, BE=4.8变式：如图，BD平分NABC, E, F分别为线段BC, BD上的动点，AB = 8, ABC的周长为20,求EF+CF的最小值B E分析：这里的点C是定点，F, E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯

5、于 “定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题.因为点C的对称点C'必然在AB上，但由于BC长度未知，BC'长度也未知，则C'相对的也是不确定点, 因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点.解答：如图，作点E关于BD的对称点E',连接E' F,则EF+CF = E' F+CF,当E', F, C三点共线时，E' F+CF = E' C,此时较短.过点C作CE' '，AB于E'', 当点E'与点E''重合时，E' ' C最短，E' '

6、; C为AB边上的高，E' ' C = 5.B E（三）两定两动型例3：如图，Z AOB= 30° , OC=5, OD=12,点E, F分别是射线OA , OB上的动点，求CF+EF + DE的最小值.分析：可以用这里的点C,点D是定点，F, E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧 '定点定线作对称”来考虑.作点 C关于OB的对称点，点D关于OA 的对称点.解答：作点C关于OB的对称点C',点D关于OA的对称点D',连接C' D'.CF + EF + DE=C' F+EF+D' E,当 C' , F

7、, E, D'四点共线时，CF + EF + DE= C' D'最短.易知 ND' OC' =90 ° , OD ' =12 , OC' =5, C' D' =13, CF + EF+ DE 最小值为 13 .变式:（原创题）如图，斯诺克比赛桌面 AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m ,距CD边1.4m ,有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m ,若要使白球E经 过边AD, DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度.4?£oBFC分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知

8、，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E',作点F关于CD边的对称点,即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型.解答：作点E关于AD边的对称点E',作点F关于CD边的对称点F，,连接E' P , 交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EG+GH+HF长度之和，即E' F' 长，延长 E' E 交 BC 于 N,交 AD 于 M,易知 E' M =EM=0.22m , E' N=L78 + 0.22 = 2m, NF' = NC+CF' =1.4+0.1 =L5m,则 RtE&

9、#39; NF'中，E' F' =2.5m ,即白球运动路线的总长度为2.5m .小结:以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“ 一定两动”“两 定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点 之间线段最短” “垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的 斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解.当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称.(二)求角度例1:P为NAOB内一定点，M, N分别为射线OA, OB上一点，当PMN周长最小 时,ZMPN = 80° .(1) /AO

10、B=(2)求证：OP平分Z MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将 M, N的位置找到，再来思考NAOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P',关于OB的对称点P'',连 接P' P'',其与OA交点即为M, OB交点即为N,如下图，易知NDPC 与ZAOB互补，则求出ZDPC的度数即可.解答：(1)法 1 ：如图，Zl + Z2 = 100 ° , N1 = NP' + N3=2N3, N2 = NP' ' +N4 = 2N4, 则 N3 + /4 = 50。 , Z DPC= 130 

11、6; , N AOB= 50° .再分析:考虑到第二小问要证明OP平分NMPN,我们就连接OP,则要证N5 = N6,显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接 OP' , OP'',则N5 = N7,N6= N8,问题迎刃而解.解答：(1)法2：易知 OP' = OP' ' , N 7+ N8 = N5 + N 6= 80° , Z P' OP' ' = 100 ° ： 由对称性知，Z9 = Z 11, Z 10 = Z 12, N AOB= N 9 + N10 =50 °(2)由 OP' = OP' ' , N P' OP, ' = 100 ° 知， Z7 =N 8= 40° , Z5 =N 6 =40 ° , OP 平分 ZMPN .变式:如图，在五边形 ABCDE 中，ZBAE=136 ° , NB=NE=90。,在 BC、DE ±分别找一点M、N ,使得AAMN的周长最小时，则N AMN + NANM的度数为分析:这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作 A点关于BC、D