2022年中考数学压轴题冲刺提升专题03折叠与落点有迹性含解析20222209251

1、专题03 折叠与落点有迹性【例题】2022·河师大附中模拟如图，在rtabc中，abc=90°，ab=5，bc=8，点p是射线bc上一动点，连接ap，将abp沿ap折叠，当点b的对应点b落在线段bc的垂直平分线上时，那么bp的长等于【答案】10或.【解析】解：点b的运动轨迹是以点a为圆心以ab的长为半径的圆，圆与bc的垂直平分线的交点即为所求的落点b，如图作出图形，分两种情况计算：连接bb，过b作bebc于e，如下列图所示，由题意知，bb=bc，bp=bp，be=ec=4，bbap，bbc=bcb，bbc+apb=90°，bcb+cbe=90°，apb=

2、cbe，cbeapb，,即，设bp=x，那么bp=x，ep=4x，be=x，在rtbpe中，由勾股定理得：，解得：x=10舍或x=，即bp=；过a作ahmn于h，如下图，ab=ab=5，ah=4，gh=5,bh=3，bg=8，设bp=x，那么bp=x，pg=x4，在rtpgb中，由勾股定理得：，解得：x=10，即bp=10;综上所述，答案为：10或.【变式】2022·偃师一模如图，在边长为 3 的等边三角形abc中，点d为ac上一点，cd=1，点e为边ab 上不与a，b重合的一个动点，连接de，以de为对称轴折叠aed，点 a 的对应点为点 f，当点 f 落在等边三角形abc的边上时

3、，ae 的长为 【答案】1或5.【解析】解：第一步：确定落点，点f在以d为圆心，以线段ad的长为半径的弧上，如下列图所示，第二步，根据落点确定折痕对称轴1ad=df=2，a=60°，adf是等边三角形，de平分adf，ae=ef=1；2如下列图所示，由对称知，efd=a=60°，efb+dfc=120°，dfc+fdc=120°，efb=fdc，b=c=60°，befcfd，,设ae=x，那么be=3x，即,bf=，cf=，bf+cf=3，即+=3，解得：x=5+舍或x=5，综上所述，答案为：1或5.1.2022·洛阳二模如图，p 是

4、边长为 3 的等边abc 的边 ab 上一动点，沿过点 p 的直线折叠b，使点 b 落在 ac 上，对应点为 d，折痕交 bc 于点 e，点 d 是 ac 的一个三等分点，pb 的长为 【答案】1或5.【解析】解：第一步确定落点，ac的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作bd的垂直平分线即为折痕所在的直线；1如下列图所示，由折叠性质得：b=edp=60°，cde+adp=120°，a=c=60°，adp+apd=120°，apd=cde，cedadp，设bp=dp=x，那么ap=3x，ce=，de=，de=be，ce+de=c

5、e+be=3，即+=3，解得：x=；2如下列图所示，当cd=1时，同理可得：，设bp=dp=x，那么ap=3x，ce=，de=，+=3，解得：x=；综上所述，pb的长为或.2.如图，在矩形abcd中，ab=2，ad=6，ef分别是线段ad，bc上的点，连接ef，使四边形abfe为正方形，假设点g是ad上的动点，连接fg，将矩形沿fg折叠使得点c落在正方形abfe的对角线所在的直线上，对应点为p，那么线段ap的长为 【答案】4或42【解析】解：如图1所示：由翻折的性质可知pf=cf=4，abfe为正方形，边长为2，af=2pa=42如图2所示：由翻折的性质可知pf=fc=4abfe为正方形，be

6、为af的垂直平分线ap=pf=4故答案为：4或423.2022·信阳一模如图，在矩形abcd中，ab=8，ad=6，点e为ab上一点，ae=2，点f在ad上，将aef沿ef折叠，当折叠后点a的对应点a恰好落在bc的垂直平分线上时，折痕ef的长为 【答案】4或4【解析】解：第一步，确定落点，以e为圆心，ae的长为半径画弧，与bc的垂直平分线的交点即为a，第二步，作出折痕，求解.(1) 如下列图所示，由折叠性质知：ae=ae=2，af=af，fae=a=90°，am=ad=3，过e作ehmn于h，那么四边形aehm是矩形，mh=ae=2，由勾股定理得：ah=，am=，由mf2+

7、am2=af2，得3af2+2=af2，解得：af=2，在rtaef中，由勾股定理得：ef=4；2如下列图所示，可得：ae=ae=2，af=af，fae=a=90°，过a作hgbc交ab于g，交cd于h，那么四边形aghd是矩形，dh=ag，hg=ad=6，ah=ag=3，在rtaeg中，由勾股定理得：eg=，dh=ag=ae+eg=3，在rtahf中，由勾股定理得：af=6，在rtaef中，由勾股定理得：ef=4；故答案为：4或44.2022·三门峡二模在矩形abcd中，ab6，bc12，点e在边bc上，且be2ce，将矩形沿过点e的直线折叠，点c，d的对应点分别为c，d

8、，折痕与边ad交于点f，当点b，c，d恰好在同一直线上时，af的长为 【答案】，【解析】解：由折叠的性质得，ecdc90°，cece，点b、c、d在同一直线上，bce90°，bc12，be2ce，be8，cece4，在rtbce中，cbe30°，当点c在b、d之间时，过e作egad于g，延长ec交ad于h，那么四边形abeg是矩形，egab6，agbe8，cbe30°，bce90°，bec60°，由折叠的性质得，cefcef，cefcef60°，adbchfecef60°，efh是等边三角形，在rtefg中，eg6

9、，gf2，af8+2；当点d在b、c之间时，过f作fgad于g，df交be于h，同理可得：af82，故答案为：或5.2022·南阳模拟如图，在矩形abcd中，ab5，bc3，点e为射线bc上一动点，将abe沿ae折叠，得到abe假设b恰好落在射线cd上，那么be的长为 【答案】15或.【解析】解：第一步：确定落点，以a为圆心，ab的长为半径画弧，交射线cd于b，分两种情况讨论；第二步，根据落点作出折痕，求解；1如下列图所示，由折叠知：abab5，bebe，ce3be，ad3，db4，bc1，由勾股定理知：be2ce2+bc2，be23be2+12，be；2如下列图所示，abab5，c

10、dab，13，12，23，ae垂直平分bb，abbf5，cf4，cfab，cefabe，即，ce12，be15，故答案为：或156.2022·开封模拟如图，在等边三角形abc中，ab2cm，点m为边bc的中点，点n为边ab上的任意一点不与点a，b重合，假设点b关于直线mn的对称点b'恰好落在等边三角形abc的边上，那么bn的长为 cm【答案】或.【解析】解：n不与a重合，b落点不会在bc上，分两种情况讨论：1当b关于直线mn的对称点b'落在ab边上时，此时，mnab，即bnm=90°，abc是等边三角形，ab2，m是bc中点，b=60°，bm=,b

11、n=bm=；2当点b关于直线mn的对称点b'落在边ac上时，那么mnbb，可得：四边形bmbn是菱形，bnbmbc，故答案为：或7.2022·开封二模在矩形abcd中，ab4，bc3，点p在ab上假设将dap沿dp折叠，使点a落在矩形对角线上的a处，那么ap的长为 【答案】或.【解析】解：矩形对角线有两条，ac、bd，所以先以d为圆心以ad的长为半径作弧，与对角线ac、bd的交点即为a点；再作出aa的垂直平分线即为折痕；1点a落在矩形对角线bd上时，由ab4，bc3，得：bd5，根据折叠的性质，adad3，apap，apad90°，ba2，设apx，那么bp4x，由

12、勾股定理得：bp2ba2+pa2，4x2x2+22，解得：x，ap；点a落在矩形对角线ac上，根据折叠的性质可知：dpac，易证：acb=apd，tanacb= tanapd，ap =故答案为：或.8.2022·枫杨外国语三模如图，在abcd 中，a60°，ab8，ad6，点 e、f 分别是边 ab、cd 上的动点，将该四边形沿折痕 ef 翻折，使点 a 落在边 bc 的三等分点处，那么 ae 的长为 【答案】或.【解析】解：第一步确定落点，因为bc的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，第二步，确定落点后，画出折痕ef，求解.(1)如下列图所示过点a作ahab交ab的延长线

13、于h，那么abh=60°，ab=2，bh=1，ah=,设ae=ae=x，那么be=8x，eh=9x，在rtaeh中，由勾股定理得：，解得：x=，即ae=;2如下列图所示，过点a作ahab交ab的延长线于h，那么abh=60°，ab=4，bh=2，ah=2,设ae=ae=x，那么be=8x，eh=10x，在rtaeh中，由勾股定理得：，解得：x=5.6，即ae=5.6;综上所述，答案为：或5.6.9.2022·中原名校大联考如图，边长为1的正方形abcd，点p为边ad上一动点不与点a重合连接bp，将abp沿直线bp折叠，点a落在点a处，如果点a恰好落在正方形abcd的对角线上，那么ap的长为 【答案】.【解析】解：由题意知，a落在对角线bd上，连接a'd，那么b、a、d在同一直线上，apa'bpa'd90°，apa'p，aba'b=1，bd，da'bdba'bdab1，由正方形性质知，pda=apd=45°，ap=ap=ad=1，故答案为：110.如图，在平面直角坐标系中，将矩形aocd沿直线ae折叠点e在边dc