2020届高考数学一轮复习第三篇导数及其应用专题3.5导数与函数的零点练习(含解析)

1、专题3.5导数与函数的零点【考点聚焦突破】考点一判断零点的个数【例1】(2019 青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为一4,且关于x的不等式f(x)wo的解集为x| K x<3, x C R.(1)求函数f(x)的解析式；.f (x).(2)求函数g(x) = -4ln x的零点个数. x【答案】见解析【解析】(1)f(x)是二次函数，且关于 x的不等式f (x) <0的解集为x| 1W xw3, xCR,，设 f (x) = a( x+ 1)( x 3) = ax2 2ax 3a,且 a>0. f ( x) min= f (1) =4a=4, a= 1.故函数f(x)的

2、解析式为f (x) =x2-2x-3.2(2)由(1)知 g(x)=-4ln x = x-4ln x-2, xx.3 4 (x-1)( x- 3).,一g(x)的te乂域为(0 , +8), g ( x) = 1 + f x=x2，令 g ( x) =0,得 x1= 1, x2= 3.当x变化时，g' (x), g(x)的取值变化情况如下表:X(0,1)1(1， 3)3(3 , +0°)g' (x)十0一0十g(x)极大值极小值当 0<xW3 时，g(x)<g(1) =- 4<0,当 x>3 时，g(e5) =e5 202>25 1 22

3、= 9>0.又因为g(x)在(3 , +°°)上单调递增，因而g(x)在(3 , 十00)上只有1个零点，故g( x)仅有1个零点.【规律方法】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g' (x)易求，g' (x)=0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结 合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极 值(最值)及区间端点值符号，进而判断函

4、数在该区间上零点的个数.【训练1】 已知函数f(x)=ex1, g(x)=，X+x,其中e是自然对数的底数，e = 2.718 28.(1)证明：函数h(x) = f(x) -g(x)在区间(1 , 2)上有零点；(2)求方程f(x) = g(x)的根的个数，并说明理由.【答案】见解析【解析】(1)证明 由题意可得h(x) = f(x) -g(x) = ex-1 -jx-x,所以 h(1) =e-3<0, h(2) =e23也>0,所以 h(1) h(2)<0 ,所以函数h(x)在区间(1 , 2)上有零点.(2)解 由(1)可知 h(x)=f(x) -g(x) = ex-1

5、-x.由 g(x) = yx+x 知 x e 0 , 十00),而h(0) =0,则x = 0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1 , 2)内有零点，因此h(x)在0 , +8)上至少有两个零点.1 11 1h' (x) =ex-2x 2- 1,记 6 (x) = e、一2x 2 1,则 6 ' ( x) = ex+4x 2.当xC(0, +8)时，6' (x)>0,因此(J)(x)在(0, +8)上单调递增，易知6(x)在(0, +8)内至多有一个零点，即h(x)在0 , +8)内至多有两个零点，则h(x)在0 , +8)上有且只有两个零点，所以方程f(x)=

6、g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】 函数f(x) = ax+xln x在x=1处取得极值.求f (x)的单调区间；(2)若y=f (x) mn 1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)函数f (x) = ax+ xln x的定义域为(0,十8).f ' ( x) = a+ ln x+1,因为 f' (1) = a+ 1 = 0,解得 a= - 1,当 a= 1 时，f(x) = x + xln x,即 f' ( x) = In x,令 f ' (x)>0 ,解得 x>1;令 f

7、' ( x)<0 ,解得 0<x<1.所以f(x)在x=1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1 , +8),单调递减区间为(0,1).(2)y=f(x)mr 1在(0 ,十8)内有两个不同的零点，可转化为y=f(x)与y= m 1图象有两个不同的交11f ( x) min= f (1) = 1 ,由(1)知，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1 , +8)上单调递增,由题意得，mH 1>1,即m>-2,当 0<x<e 时，f(x)=x( 1 + ln x)<0 ;当 x>e 时，f (x)>0.当 x>0 且

8、x-O 时，f (x) -0;当x 一十8时，显然 f(x) 一十 oo.由图象可知，1<0,即m<- 1,由可得一2<m< 1.所以m的取值范围是(2, 1).【规律方法】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方 程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.【训练2已知函数f (x) =ex+axa(aC R且aw。).(1)若f(0) =2,求实数a的值，并求此时f(x)在2, 1上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数 a的取值

9、范围.【答案】见解析【解析】(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R,又 f(0) =1-a=2,得 a= 1,所以 f(x)= exx+1,求导得(x)=ex1.易知f (x)在2, 0上单调递减，在0,1上单调递增，所以当x = 0时，f(x)在2, 1上取得最小值2.(2)由知 f ' (x) = ex+a,由于 ex>0,当a>0时，f' (x)>0, f(x)在R上是增函数，当 x>1 时，f (x) = ex+a( x1)>0 ;1当x<0时，取x=-则 f 一一 <1 + a 一 1 = a<0. aa所以函数f(x

10、)存在零点，不满足题意.当 a<0 时，令 f' (x)=0,得 x=ln( -a).在(00, in( a)上，f ' (x)<0 , f (x)单调递减，在(In ( a), +8)上，f' (x)>0 , f(x)单调递增，所以当x = ln( a)时，f(x)取最小值.函数 f (x)不存在零点，等价于 f(ln( - a) = eln( a)+ aln( a) a= 2a+aln( - a)>0 ,解得一e2<a<0.综上所述，所求实数 a的取值范围是(e2, 0).考点三函数零点的综合问题【例3】 设函数f(x) = e2

11、x aln x.(1)讨论f(x)的导函数f' (x)零点的个数；2(2)证明：当 a>0 时，f (x) >2 a+ aln - a【答案】见解析【解析】(1)解 f(x)的定义域为(0, +8) fz ( x) =2e2x-a(x>0). x当a<0时，f' (x)>0, f ' (x)没有零点；当a>0时，因为y=e2x单调递增，y = 5单调递增， x所以f ' (x)在(0, +8)上单调递增., , “一 a , 一 1,又f (a)>0,假设存在b满足0Vb<4时，且b<4，f (b)<0

12、,故当a>0时，f' (x)存在唯一零点.(2)证明 由(1),可设f ' (x)在(0 , +8)上的唯一零点为X0,当 xC(0, X。)时，f' (x)<0；当 xC(x。，+8)时，f' (x)>0.故f(x)在(0 , x0)上单调递减，在(x°, + 00)上单调递增， 所以当x = xo时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).a -由于 2e2x0 = 0, x0所以 f (x0)=真+2ax°+aln ->2 a+ aln -. 2x0aa,2故当 a>0 时，f(x)>2a+aln

13、-. a【规律方法】 1.在(1)中，当a>0时，f' (x)在(0 , +8)上单调递增，从而 f' (x)在(0 , +8)上至多有一个零点，问题的关键是找到b,使f' (b)<0.2.由 知，函数f' (x)存在唯一零点xc,则f (x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x°)>2a+2 aln -.a【训练3】(2019 天津和平区调研)已知函数f(x) = ln x-x- mjn<- 2, m为常数).1(1)求函数f (x)在一，e的最小值； e(2)设x1, x2是函数f(x)的两个零点，且 x1<x

14、2,证明：x1 - x2<1.【答案】见解析一人，一一人，,、，、，一，1 x【解析】(1)解 f (x) = In x xm n<2)的te义域为(0 , 十°°)且 f (x) = 0,x. . x = 1.当 xC(0, 1)时，f' (x)>0,所以 y= f (x)在(0, 1)递增；当 xC (1 , +8)时，f ' (x)<0 ,所以 y=f (x)在(1 , +8)上递减.且 f e =1em f (e) = 1 - e- m,因为 f 函数f (x)在e, e的最小值为1 e m (2)证明 由(1)知 x1, x

15、2满足 In x-x- m= 0,且 0<x1<1, x2>1,In x1 x1 m= In x2x2 m= 0, 由题意可知 In x2x2=m<2<ln 2 -2.又由(1)可知 f (x) =ln x-x在(1 , +8)递减，故 x2>2, -f(e) =-2-1+e>0, ee所以 0<Xi, 1<1. X2则 f (Xi) f u = In xi xi In 7 一 X2X2X2=In X2 X2 InX2 X2=- X2 + + 2ln X2.X21令 g(X)= XHF 21n x(x>2), X_2_,、212 -x

16、 +2x 1 ( x 1)则 g，(x)= 1x2+ -=x = x wo,XX XX当x>2时，g(x)是减函数，所以 g(x)<g(2) = I+ In 4. 3333e22.56 2(1.6 2) ,1.6 34.096因2 In 4 = In ->ln -4- = In4= In -= In -4->ln 1 =0,g(x)<0 ,所以当 x>2 时，f (X1) f 1 <0,X2即 f(X1)<f1X2因为0<X1, 1<1, f(x)在(0 , +8)上单调递增.1所以 X1',故 X1X2<1.【反思与感

17、悟】x轴的1 .解决函数y=f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等.2 .通过等价变形，可将“函数 F(x) = f(x) g(x)的零点”与“方程f(x) = g(x)的解”问题相互转化.【易错防范】函数y=f(x)在某一区间(a, b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：30分钟)一、选择题1.已知函数f (x)的定义域为1, 4,部分对应值如下表：X-10234f(x)12020f(x)的导函数y= f' (x)的图象如图所示

18、.当1<a<2时，函数y= f (x) a的零点的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】根据导函数图象，知 2是函数的极小值点，函数 y = f(x)的大致图象如图所示/i,54'/爪.一3 T t 7-叫 I 2 S 4*-a-3-由于f (0) =f (3) =2, 1<a<2,所以y=f(x) a的零点个数为4.二、填空题2 .直线x=t分别与函数f(x)=ex+1的图象及g(x) = 2x1的图象相交于点 A和点B,则| AB的最小值为【答案】 4-2ln 2【解析】由题意得，lABRe, + l (2t 1)|= |et 2t+ 2 ,令 h

19、(t) = et-2t+2,则h' (t) = et 2,所以h(t)在(一8, in 2)上单调递减,在(in 2 , +8)上单调递增,所以h(t)min = h(ln 2) =42ln 2>0 , 即| AB的最小值是4-2ln 2.axa3 .若函数f(x) = T- + 1( a<0)没有零点，则实数 a的取值范围为 e【答案】(e2, 0)ae _ ( ax_ a) e(x) =2x=ea (x 2)xe(a<0).当 x<2 时，f' (x)<0;当 x>2 时，f' (x)>0,，当x=2时，f(x)有极小值f

20、(2) =4+1. e若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2) =1+1>0,解之得a> e2,因此一e2<a<0.三、解答题4.(2019 保定调研)已知函数f(x)a 3 a 2106x4xax 2的图象过点A4,可. 求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x) =f(x) -2m 3有3个零点，求 m的取值范围.【答案】见解析a°a10【解析】(1)因为函数f(x) =ax3-ax2-ax- 2的图象过点A 4,至，a=2,- 32a10 -所以-3 4a 4a 2 =后，解得即 f (x) =；x3 ；x22x2, 32所以 f '

21、(x) = x2x 2.由 f ' ( x)>0 ,得 x<- 1 或 x>2.所以函数f(x)的单调递增区间是(-00, 1), (2 , +°°).115一一一+ 2 2= 一 3 26'16由数形结合，可知要使函数g(x) =f (x) -2m 3有三个零点,165 f.则一§<2A 3< 6,解得一713_<m<.612所以m的取值范围为一6,1312 .(2)由(1)知 f (x) 极大值= f( -1)=f (x)极小值=f(2) =-2-4-2 = -, 335.设函数f(x)=ln x +

22、m(m>0),讨论函数 g(x) = f ' (x) x零点的个数. x3【答案】见解析一.，一 . x 1 m x【解析】函数g(x) = f -3=x f 3(x>0),令 g(x) =0,得 mi= -1x3 + x(x>0). 351 3设 h( x) = - -x +x(x>0),3所以 h' (x) = x2+1 = (x1)( x+1).当 xC(0, 1)时，h' (x)>0,此时 h(x)在(0, 1)内单调递增；当 xC(1, +8)时，h，(x)<0,此时 h(x)在(1 , +°°)内单调递

23、减.所以当x=1时，h(x)取得极大值h(1)= 1+1 = 2. 33令 h(x) =0,即1x3 + x=0,解得 x=0(舍去)或 x = J3.作出函数h(x)的大致图象(如图)，结合图象知：当2 m>3时，函数y= m和函数y=h(x)的图象无交点当m3时，函数y=m和函数y= h(x)的图象有且仅有一个交点，.2_,当0<m<时，函数y=m和函数y= h(x)的图象有两个交点.30<m<3时，函数 g(x)22综上所述，当m>三时，函数g(x)无手点；当m=q时，函数g(x)有且仅有一个手点；当 33有两个零点【能力提升题组】(建议用时：25分钟

24、)6.(2018 江苏卷改编)若函数f(x) = 2x3 ax2+1(aC R)在区间(0 , 十国)内有且只有一个零点，求f (x)在1, 1上的最大值与最小值的和.【答案】见解析【解析】f' ( x) = 6x22ax=2x(3xa)( aC R),当awo时，f' (x)>0在(0 , +8)上恒成立，则f(x)在(0, +8)上单调递增，又 f(0) =1,所以此时f(x)在(0, +8)内无零点，不满足题意.当 a>0 时，由 f' (x)>0 得 x>a,由 f ' (x)<0 得 0<x<a,33则f(x)在0, a上单调递减，在 a, +8 上单调递增，又f(x)在(0, +8)内有且只有一个零点，所以33f a =-a + 1 = 0,得 a=3, 32 7所以 f (x) = 2x3-3x2+ 1,则 f ' (x) = 6x(x1),当 xC( 1, 0)时，f' (x)>0, f(x)单调递增，当 xC(0, 1)时，f' (x)<0, f(x)单调递减.则 f(X)max= f (0) =1, f (- 1) =-4, f =0,则f(X)min= 4,所以