中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析

1、中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析、反比例函数1.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 1的图象与一次函数 y=ax+b的图象交于点A ( 2, 3)和点 B (m, - 2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)直线x=1上有一点P,反比例函数图象上有一点Q,若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标.A【答案】(1)解：二点A ( - 2, 3)在反比例函数y= 1的图形上， . k= - 2 X 3= 6 , 打 反比例函数的解析式为 y=- J , 点B在反比仞函数y二-刀的图形上， 2m= 6, m=3 , B (3, - 2),

2、 点A, B在直线y=ax+b的图象上，广为+b = 31 + b 一 ?口 = - 1 1 ?，一次函数的解析式为 y= - x+1(2)解：二以A、B、P、Q为顶点的四边形是以 AB为边的平行四边形，.AB=PQ, AB/ PQ,设直线PQ的解析式为y= - x+c,b设点Q (n,一/)，6-=-n+c, 6c=n 一直线PQ的解析式为y= - x+n -力,6p P (1, n-门-1),PQ2= ( n 1) 2+ ( n - n - 1 + n ) 2=2 ( n 1) 2 ,- A （ 2, 3） . B （3, 2）, AB2=50, .AB=PQ, 50=2 （n - 1）

3、2 ,n= - 4 或 6, J.Q （ 4.忸）或（6, 1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出 AB=PQ, AB/ PQ,设出点 Q的坐1V"2.抛物线y= /+x+m的顶点在直线M、N两点（点 M在点N的左边），MAx轴于点A,标，进而得出点 P的坐标，即可求出 PQ,最后用PQ=AB建立方程即可得出结论.y=x+3上，过点F （ - 2, 2）的直线交该抛物线于点NB± x轴于点B.m的值;（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求（2）设点N的横坐

4、标为a,试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF=NB;10G（3）若射线NM交x轴于点巳且PA?PB= §，求点M的坐标.【答案】（1）解：y=1x2+x+m=:（x+2），（ m - 1），顶点坐标为（-2, m - 1）;顶点在直线 y=x+3上， - 2+3=m - 1,得 m=2;(2)解：过点F作FC，NB于点C,j F 月 G O B X丁点N在抛物线上，点N的纵坐标为：/ a2+a+2, 7即点 N (a, 4 a2+a+2)I在 RtFCN中，FC=a+2, NC=NB CB= 1 a2+a, /NF2=NC2+FC2= ( : a2+a) 2+ (a+2)

5、 2 , /=(a2+a) 2+ (a2+4a) +4, / 一而 NB2= ( ? a2+a+2) 2 , / 1=(1a2+a) 2+ (a2+4a) +4nf2=nb2 ,NF=NB(3)解：连接 AF、BF,MF=MA,由NF=NB,得/ NFB=Z NBF,由(2)的思路知,/ MAF=Z MFA,.MAx 轴,NBx 轴, .MA / NB, . / AMF+/BNF=180 ° MAF和 NFB的内角总和为 360 ； .2/ MAF+2 Z NBF=180 , °Z MAF+Z NBF=90 ； / MAB+Z NBA=180 ,° / FBA+Z

6、 FAB=90 , °又 / FAB+Z MAF=90 ,/ FBA=Z MAF=Z MFA,又 / FPA之 BPF,.PFAPBF,PF PB小. 武=陛，PF2=PAX PB=Q ,过点F作FG± x轴于点G,在RtPFG中,14，PO=PG+GO= 314设直线 PF： y=kx+b,把点 F ( - 2, 2)、点 P (- 3,0)代入 y=kx+b,37解得k二4,b=上，J /. .直线 PF： y=7x+ E ,解方程 i x2+x+2= 4 x+ 士,得x= - 3或x=2 (不合题意，舍去)，.U当 x= - 3 时，y=一JF.M (- 3, ?).

7、【解析】【分析】(1)利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出 m的值。(2)过点F作FC± NB于点C,根据已知条件点 N在抛物线上，可得出 N点坐标，在 RtA FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2 ,用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2 ,即可得出到NF=NBo(3)要求点M的坐标，需要先求出直线 PF的解析式.首先由(2)的思路得出 MF=MA, 然后连接 AF、FB,再通过证明 PFAPBF,利用相关的比例线段将 PA?PB的值转化为 P户的值，进而求出点 F的坐标和直线 PF的解析式，由图像可知直线 PF和

8、抛物线相较于点 M,建立方程求解，即可得点 M的坐标。3.如图，RtAABO的顶点 A是双曲线 y= *与直线 y= - x - ( k+1)在第二象限的交点.ABx轴于B,且国ABC= 一 .k较易，由公式=2Saabo, AOC 为 Sa oda+Sa ODC 即(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和4AOC的面积.【答案】(1)解：设A点坐标为(x, y),且xv 0, y>0,/J |j则 S»A ABO=上？|BO|?|BA|=白？ ( - x) ?y=二 .xy= 3,又 y= X,即 xy=k, . k= - 3.Lj，所求的两个

9、函数的解析式分别为y=- 1 , y=-x+2;(2)解：由 y= - x+2,令 x=0,得 y=2.,直线y=-x+2与y轴的交点D的坐标为(0, 2), y - - x -f- 2八3 k卢一 一，士 - 3A、C两点坐标满足与，交点 A 为(1, 3) , C为(3, - 1),1 1 Saaoc=S oda+S odc=OD? (|x1|+|x2|)=二 X 2卜3+1) =4.【解析】【分析】两解析式的 k 一样，根据面积计算双曲线中的 可求出k; (2)求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割 可求出.4.平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=x (x>0)与y

10、2=- x (xv 0)的图象上，A、B的横坐标分别为 a、b.(2)(3)于3的任意实数a, CD边与函数yi=4 (x>0)的图象都有交点，请说明理由.【答案】(1)解：由题意知，点1.AB/ x 轴,A (a,日)，B (b,.AB=a b=2a,Saoab=?2a? =3(2)解：由(1)知，点A (a,(b,.OA2=a2+ (勺2 , OB2=b2+ (-OAB是以AB为底边的等腰三角形，且 a+bwo,求ab的值；作边长为2的正方形ACDE使AC/ x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等OAB是以AB为底边的等腰三角形, .OA=OB,.OA2=OB2 ,a2+ ( d

11、) 2=b2+ (-.a2- b2= ( d)2,( a+b) ( a b)=(4 +d - £j,. a>0, b<0,ab< 0, a- b wQ.1 a+b w,0. .1= f他产，ab=3 (舍)或 ab=- 3,即：ab的值为-3;13(3)解：对大于或等于 3的任意实数a, CD边与函数yi= (x>0)的图象都有交点. 理由：如图，. a必力 9-2- FC>,0 FCW2点F在线段CD上，3即：对大于或等于 3的任意实数a, CD边与函数yi = 1(x>0)的图象都有交点. AC=2,直线CD在y轴右侧且平行于y轴， 直线CD一

12、定与函数yi=上(x>0)的图象有交点， 四边形ACDE是边长为2的正方形，且点 D在点A (a,日)的左上方， .C (a-2, d), D (a- 2,臼 +2),Ia.J设直线CD与函数yi= 4(x>0)相交于点F, | 3 .F (a - 2,日 上)，3 Id 6FC=" 上 =2/ , 62 (a I) (a 3).2FC=2 &S 寸= dCt 二), . a* a - 2>0)a-3>Q"a + D S - 3)【解析】【分析】(1)先判断出a=- b,即可得出 AB=2a,再利用三角形的面积公式即可得出结论；(2)利用等腰

13、三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；(3)先判断出直线CD和函数y1=.T (x>0)必有交点，根据点 A的坐标确定出点 C, F的坐标，进而得 出FC,再判断FC与2的大小即可.5.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y (m)是面条的粗细(横截面积)s (mm2)的反比例函数，其图象如图.石|1234言(mW)(1)写出y与s的函数关系式；(2)求当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是多少 m?【答案】(1)解：设y与x的函数关系式为y=，将x=4, y=32代入上式，解得：k=4X 32=128故 y= v . 2答：y

14、与x的函数关系式y= x(2)解：当 x=3.2 时，y= 3.二=40.答：当面条粗3.2mm2时，面条的总长度是 40米【解析】【分析】(1)根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式;(2)把x=3.2代入关系式可求出 y的值，即得答案.6.在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数(d的图象经过点A (1 , 4) , B (m, n).(1)求反比例函数1；的解析式；京 一 Wat - 3 n * 1(2)若二次函数y -公 /"的图象经过点B,求代数式/urn 的值;(3)若反比例函数 '一；的图象与二次函数 r "支的图象只有一个交点，且该交点

15、在直线y=x的下方，结合函数图象，求 a的取值范围.【答案】(1)解：将A (1, 4)代入函数y=得:k=4* I 4反比例函数y=；的解析式是；(2)解：. B (m, n)在反比例函数 y=x上,mn=4,(3)解：由反比例函数的解析式为4反比例函数工的图象与直线如图,当二次函数y = a (x 1) y=x 交于点(2, 2) , ( 2, 2).的图象经过点(2, 2)时，可得a=2;2, 2)时，可得为(2, 6),点B的坐标为(n, 1)当二次函数y = a (x 1) 2的图象经过点(一二次函数y = a (x 1) 2图象的顶点为(1,0),，由图象可知，符合题意的a的取值范

16、围是0vav2或av 【解析】【分析】(1)只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。(2)根据B (m, n)在反比例函数图像上得出mn=4,将点B的坐标代入y= (x-1) 2得到n-1=m2-2m,再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。(3)可先求出直线 y=x与反比例函数y二交点的坐标，然后分 a>0和a<0两种情况讨论, 先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质(|a|越大，抛物线的开口越小)就可解决问题。点A的坐标7.如图，反比例函数 y=i的图象与一次函数 y=kx+b的图象交于 A

17、, B两点,(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)点E为y轴上一个动点，若 SAaeb=10,求点E的坐标.w12【答案】(1)解：把点A (2, 6)代入y=式，得m=12,则y=工12把点B (n, 1)代入y=工，得n=12,则点B的坐标为(12, 1).由直线y=kx+b过点A (2, 6)，点B (12, 1)得J2上+5 6112左-占二1r1K =1 2b = 7 解得,J.则所求一次函数的表达式为y=-二x+7(2)解：如图，直线AB与y轴的交点为P,设点E的坐标为(0, m),连接 AE, BE,，PE=|m - 7| .Sa aeb=Sa bep Sa aep=10,

18、 I2 X |m- 7| X（12-2） =10. . |m - 7|=2 .mi=5） m2=9.点E的坐标为（0, 5）或（0, 9）.【解析】【分析】（1）把点 A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出 n的值，得出点B的坐标，再把 A、B的坐标代入直线 y=kx+b,求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0, m）,连接 AE, BE,先求出点 P的坐标（0, 7）,得出PE=|m - 7| ,根据 SA aeb=Sabep- SaaeP=10,求出m的值，从而得出点 E的坐标.k8.如图，已知矩形

19、OABC中，OA=3, AB=4,双曲线y= 1 （ k> 0）与矩形两边 AB、BC分别交于 D、E,且 BD=2AD（1）求k的值和点E的坐标；（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P,使/APE=90?若存在，求出此时点 P的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：. AB=4, BD=2AD,AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=44.AD= J ,又OA=3, D （ J, 3）, a 点D在双曲线y=/上， k=JX 3=4 四边形OABC为矩形， .AB=OC=4,.点E的横坐标为4. 4把x=4代入y= ）中，得y=1, E （4, 1）;（2）解：（2）假

20、设存在要求的点 P坐标为（m, 0） , OP=m, CP=4- m. / APE=90 ,° / APO+/ EPC=90,°又 / APO+/ OAP=90 ,/ EPC=/ OAP,又 / AOP=/ PCE=90,.AOPPCE OA Of pc a ?-L / /强d,解得：m=1或m=3,，存在要求的点 P,坐标为（1, 0）或（3, 0）.【解析】 【分析】（1）由矩形 OABC中，AB=4, BD=2AD,可得3AD=4,即可求得 AD的 长，然后求得点 D的坐标，即可求得 k的值，继而求得点 E的坐标；（2）首先假设存在 要求的点 P坐标为（m, 0） ,

21、 OP=m, CP=4- m,由/ APE=90 ,易证得AOPPCE然 后由相似三角形的对应边成比例，求得 m的值，继而求得此时点 P的坐标.的图象分别交于两点A, C和B,9.如图，过原点的直线 y=k1x和y=k2x与反比例函数y=D,连接 AB, BC, CD, DA.(1)四边形ABCD一定是 四边形；(直接填写结果)(2)四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时ki , k2之间的关系式；若不能,明理由;(3)设 P (xi ,yi) , Q(X2,y2)(x2>xi>0)是函数y二 4,图象上的任意两点,a=两边平方得:+ +ki=心 +k2 ,b=以“试判断a,

22、 b的大小关系，并说明理由. (1)平行 (2)解：.正比例函数y=kix (ki>0)与反比例函数 y=4的图象在第一象限相交于 A,1 kix='解得x= 如(因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根)77将x= 带入y=kix得y=%回，故A点的坐标为(仃,”幻)同理则B点坐标为(，匕，), 又 OA=OB,整理后得(ki - k2) (kik2-i) =0,kiw2 ,所以 kik2 - i=0,即 kik2=i ；(3)解：. P (xi , yi) , Q (x2 , y2)(x2>xi>0)是函数y=工图象上的任意两点, a=卜i以I 2 .a - b

23、=3m 仃 + 匕= /X2>X1>0,. E 6>0, X1X2>0, (XI - X?尸kM* * M >0, a - b > 0 ). a> b.【解析】【解答】解：(1) 称， .OA=OC, OB=OD, 四边形ABCD是平行四边形;故答案为：平行；【分析】(1)由直线y=kix论.(2)联立方程求得 A、G* + x2)2 4支g6rj -之留"订 r =?)= 2xs( 十 tJ .(Xi +X2)> 0,.直线y=kix和y=k2x与反比例函数 y=、的图象关于原点对I和y=k2x与反比例函数 y=i的图象关于原点对称，

24、即可得到结B点的坐标，然后根据 OA=OB,依据勾股定理得出'1 L7心,两边平分得 心+ki=也+k2 ,整理后得(ki-k2)( kik则 kik2 -i=0,即可求得；(3)由 P(xi,yi), Q(x2,y2)1 1 口口图象上的任意两点，得到yi =4.，y2=。，求出a= ，= -111.II4与X1 # 町2+ X3) -(XI - XS)5 -_ 5 b= 5叮-打工注=比上"盯,切=二盯心匕盯r” >0,F “jr二一片/匕工-gi0.如图，抛物线-与X轴交于W、办两点,fi( - I, o) 1 ! / n(i)求抛物线的解析式和顶点必的坐标；(2

25、)判断| 由兜的形状，证明你的结论；(2 i) =0,根据 ki W2 ,/(x2>xi>0)是函数y= /心 XI=上山,得到a-即可得到结果.与下轴交于d点，且（3）点心曲 凶是J轴上的一个动点，当| 的周长最小时，求 的值.【答案】（1）解：A点在抛物线上，130 = - b 一二 b = 一 -q右刃/日抛物线解析式为I点关于a'轴的对称点为E(Or（2）解：|色.西为直角三角形，证明如下：，3.L 37 俨一 一-20 二"r3 t* = &在 22 "中，令j 6可得 22 一，解得上 1或，4 ,. 8为（公勿，且d为故 -2）,困

26、二1，第九座二,由勾股定理可求得 3 二"*优二T f /二/：优'二二也*二，又.加1二/二W，.-.* 葭一必:把E、£坐标代入可得如图，连接 处，交3 轴于点工，则历即为满足条件的点,设直线。工解析式为F h72 = b25 3直线。产解析式为24【解析】【分析】（1）把A点坐标代入可求得 b的值，可求得抛物线的解析式，再求点坐标即可；（2）由解析式可求得 A、B、C的坐标，可求得 AB、BC AC的长，由勾股定 理的逆定理可判定 4ABC为直角三角形；（3）先求得C点关于x轴的对称点E,连接DE,与/轴交于点M,则M即为所求，可求得 DE的解析式，令其 y=

27、0,可求得M点的坐标， 可求得m.11.如图，在矩形 ABCD中，AB= 6, BC= 4,动点Q在边AB上，连接 CQ , 将4BQC沿 CQ所在的直线对折得到 4CQN ,延长QN交直线CD于点M .（备用图）（备用图）（1）求证：MC=MQ（2）当BQ= 1时，求DM的长；（3）过点D作DE，CQ ,垂足为点E ,直线QN与直线DE交于点F ,且DE - 3 ,求BQ的长.【答案】（1）解：证明：二.四边形ABCD是矩形，2 .DC AB即 / MCQ=Z CQB,3 BQC沿CQ所在的直线对折得到 CQN/ CQN=Z CQB,即/ MCQ=Z MQC, .MC=MQ.(2)解：二四边

28、形ABCD是矩形，4BQC沿CQ所在的直线对折得到 ACQ、/ CNM=Z B=90 ；设 DM=x,贝U MQ=MC=6+x, MN=5+x,在 RtCNM 中，MB2=BN2+MN2 ,即(x+6) 2=42+ (x+5) 2 ,解得：x=上,J. DM=工DM 的长 2.5.（3）解：解：分两种情况:当点M在CD延长线上时，如图所示:1 .DEXCQ,3 / CDE之 F,又 /CDE之 FDM,/ FDM=Z F, .MD=MF .过 M 点作 MHXDFT H,则 DF=2DH,4 . DEXCQ MH± DF, / MHD=Z DEC=90,°5 .MHDADECMi) 1 . DM=1 , MC=MQ=7 ,mn = W 7d = / /=相,-.BQ=NQ=:当点M在CD边上时，如图所示，类似可求得 BQ=2.综上所述，BQ的长为：-保或2.【解析】【分析】(1 )由矩形的性质得出/ B=90° , AB=CD=6, CD/ AB ,得出ZMCQ=ZCQB,由折叠的性质得出CBg ACNQ ,求出 BC=NC=4, NQ=BQ=1 , /CNQ=/ B=90 ； /CQN=/ CQB,得出 / CNM=90 ； Z MCQ=Z CQNI,证出 MC=MQ. (2) 设DM=x,则 MQ=MC=6+x, MN=5+x