专题5.3等比数列及其前n项和-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

1、第五篇数列及其应用专题5.03等比数列及其前n项和【考试要求】1 .理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2 .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3 .体会等比数列与指数函数的关系 .【知识梳理】1 .等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列数学语言表达式：-an-= q(n>2, q为非零常数). an 1(2)如果三个数a, G, b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项，其中 G= 士庭.2 .等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列an的首项

2、为a1,公比是q,则其通项公式为 an=a1qn 1；通项公式的推广：an= amqn m(2)等比数列的前n项和公式：当q= 1时，S = na1；当qw1时,a1 (1 qn)Sn=1-qa1 anq1-q3 .等比数列的性质 已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若 k+1 = m+n(k, l, m, nCN*),则有 ak ai= am an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak,ak+m, ak+ 2m,仍是等比数列，公比为 qm当qw 1,或q= 1且n为奇数时，Sn, S2nS3n-S2n,仍成等比数列，其公比为qn.【微点提醒】c 11 .若数列a

3、n为等比数列，则数列c an(cw0), |an|, a2,不 也是等比数列2 .由an+1 = qan, qw0,并不能立即断言an为等比数列，还要验证 aw0.3 .在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q= 1与qw 1分类讨论，防止因忽略 q=1这一特殊情形 而导致解题失误.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打或“X等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数a, b, c成等比数列的充要条件是b2=ac.( )门一.，、， 一一一_a(1 - an)数列an的通项公式是an=an,则其刖n项和为Sn = -.()1 a(4)数列an为等比数列，则 S4

4、, S8-S4, S12S8成等比数列.()【教材衍化】. 12.(必修5P53A1(2)改编)已知an是等比数列，a2=2, a5 = 4,则公比q等于()“11A. - 2B. 2C.2D."3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为【真题体验】4.(2019天津和平区质检)已知等比数列an满足a=1, a3 a5= 4(a41),则a7的值为()_ 9A.2B.4C.2D.65.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程

5、分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第八个单音3 _A. 2fB.3 22f12C. 25fD. V27f的频率为（）126.(2015 全国 I 卷)在数列an中，ai=2,an+i = 2an,Sn 为an的前 n 项和.若Sn=126,则n=【考点聚焦】考点一等比数列基本量的运算【例1】（1）（2017全国出卷）设等比数列an满足a + a2=1, a1-a3=-3,则a4 =（2）等比数列an的各项均为实数，其前 n项和为Sn,已知S3=7, S3 = 63,则a8=.【规律方法】1.等比数列

6、基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n, q,an, Sn, 一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.q= 1时，an的前n项和Sn=na1；当qw1时,2.等比数列的前n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当a1一 anq1-q、a1(1 q.) an的前n项和Sn=1 q【训练1】（1）等比数列an中各项均为正数，S是其前n项和，且满足 2s3=8a1+3a2, a4= 16,则S4=()A.9B.15C.18D.30(2)(2017北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足ai = bi = 1, a4=b4=8,则a=考点二等比数列的判定与证明【例2

7、】已知数列an的前n项和Sn=1+入n,其中 计0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；31(2)右 S5=32，求入32【规律方法】1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.【训练2】(2019广东省级名校联考)已知Sn是数列an的前n项和，且满足Sn-2an=n- 4.(1)证明：Snn+ 2为等比数列；(2)求数列 Sn的前n项和Tn.考点三等比数列的性质及应用【例3】 等比数列an的各项均为正数，且a5a6+

8、a4a7= 18,则log3ai+ log3a2+ log3a10 = ()A.12B.10C.8D.2 + log35(2)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若ai + a2+a3=4, a4 + a5+a6=8,则Si2=()A.40B.60C.32D.50【规律方法】1 .在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m + n=p+q,则am an= apaq",可以减少运算量，提高解题速度2 .在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】（1）（2019荷泽质检）在等比

9、数列an中，若a3, a7是方程x2 + 4x+ 2=0的两根，则a5的值是（）A. - 2B.-啦C.班D.V2（2）（ 一题多解）设等比数列an的前n项和为Sn,若S6=3,则S9=.S3S6【反思与感悟】1 .等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量ai, n, q, an, S, 一般可以“知三求二 ” ，通过列方程(组 )便可迎刃而解.2 .(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.(2)分类讨论思想：如求和时要分 q= 1和qwl两种情况讨论，判断单调性时对 ai与q分类讨论.【易错防范】1.特别注意q=1时，Sn=nai这一特殊情况.2.Sn, S2n-Sn,

10、 S3n S2n未必成等比数列(例如：当公比 q= 1且n为偶数时，Sn ,陵nSn, S3n an不成等 比数列；当 qw 1或q=- 1时且n为奇数时，Sn, S2n-Sn, S3nS2n成等比数列)，但等式(S2n-Sn)2 = Sn (S3n- S2n)总成立.【核心素养提升】【数学运算】 等差 (比 )数列性质的应用1 . 数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养. 本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2 .数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学

11、概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1等差数列两个性质的应用在等差数列 an中，Sn为 an的前n项和：(1)S2n 1 = (2n 1)an；(2)设an的项数为2n,公差为d,则S偶一S奇=门.【例1】(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知am- i + am+1am=0,S2m1=38,则m =.(2)一个等差数列的前 12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32 ： 27,则数列的公差 d类型2等比数列两个性质的应用在等比数列an中，(1)若 m+n= p+q(m, n, p, qCN

12、*),则 an am= ap aq； (2)当公比 qw1 时，Sn, S2n -Sn, S3n-S2n,成等比数列(n C N*).【例2】(1)等比数列an中，a4=2, a5=5,则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列an中，前n项和为Sn,已知S3=8, S6=7,则a7+a8+a9等于()A.8B.-8类型3等比数列前n项和Sn相关结论的活用项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶：$奇=4.(2)分段求和：Si+m = Sn+qnSm(q为公比).【例3】(1)已知等比数列an共有2n项，其和为一240,且奇数项的和

13、比偶数项的和大80,则公比q = 1 ,(2)已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3=S6,则数列 一的刖5项和为【分层训练】【基础巩固题组】（建议用时：40分钟）一、选择题1 .公比不为1的等比数列an满足a5a6+a4a7= 18,若aiam= 9,则m的值为（）A.8B.9C.10D.112 .已知各项均为正数的等比数列an中，a4与ai4的等比中项为2则2a7+aii的最小值为（）A.16B.8C.2 2D.43 .（2019上海崇明区模拟）已知公比qwl的等比数列an的前n项和为Sn, ai=1, S3=3a3,则3=（）3111A.1B.5C.48D.-4 .

14、（2017全国n卷）我国古代数学名著 算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏5.(2019深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sn=a 3n 1+b,则忘=()A.3B.1C.1D.3二、填空题,一，1,一 16.等比数列an中，各项都是正数，且 a1, 2a3, 2a2成等差数列，则a13+ a14a14+ a157.已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1(nC N*),则通项an =8.(201

15、8南京模拟)已知数列an中，ai = 2,且史上=4(an+i - an)(n N*),则其前9项的和Ss = an三、解答题9.(2018全国出卷)等比数列an中，ai = 1, a5=4a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm= 63,求m.10 .已知数列an中，点(an, an+1)在直线y=x+2上,且首项 a1=1.(1)求数列 an的通项公式；(2)数列an的前n项和为Sn,等比数列bn中，b1 = a1,b2=a2,数列bn的前n项和为Tn,请写出适合条件TnWSn的所有n的值.【能力提升题组】（建议用时：20分钟）11 .已知等比数列an的各项均为正数且公比大于1,前n项积为Tn,且a2a4=a3,则使得Ti>1的n的最小值为（）A.4B.5C.6D.712 .数列an中，已知对任意 nCN*, ai+a2+a3+ an= 3n1,则 a2+a2+a2+ an等于()1 .A.(3nT)2B.2(9nT)1C.9nTD.j3n- 1)13.（2019华大新高考联盟质检）设等比数列an的前n项和为Sn,若a3a11= 2a5,且S4+S2=入8,则1