中考数学试题研究与圆有关的证明与计算

1、与圆有关的证明与计算1.在ABC, / ABC45 , Z C= 60° , O O经过点 A B,与 BC交于点 D,连接 AD(I)如图，若 AB是。的直径，交 AC于点E,连接DE求/ ADE勺大小.(n)如图，若。O与AC相切，求/ ADC勺大小.解：(I)如解图，连接 BE . /ABC= 45 , / C= 60 , / BAC 75 . AB是。O的直径， ./AEB= 90 . / ABE= / AEB- / BAO 15° ABE= / ADE ./ ADE= 15 ;(n)如解图，连接 OA OD .AC是。O的切线， /OA隹 90 . ./ABC=

2、45 , /AO屈 90° . OA= OD，/OAD= 45 . / DAO / OAC- / OAD= 45°/ O 60° , /AD仔 75 .D 图(：B D图第1题解图2.如图，AB是。O的直径，且AB= 4点C在AB延长线上，且BC= 2,D是。O上一点,连接CD(I )如图，若CD。0相切，求CD勺长;(n)如图，若CD与O 0的另一个交点为点E,且E为CD的中点，连接OD AE交于点F,求CD的长.0DB0图.2)解：(I)如解图，连接.CD与O 0相切, .ODLCD 即/ ODe90°又AB是。O的直径，且AB= 4, BC= 2,

3、. OD= OB= OA= 2, OC= 4. CO珅,CD= W22 =2出;(n )如解图，连接 BE AB是。O的直径, ，/AEB= 90 . 点 E 为 CD的中点，BC= OB= OD= 2,1 .BE/ OD BE= 'Ok 1. ODL AE AF= EF.1 1又。是AB的中点，.二OF= 2BE= 21 3DF= OD- OE 2 = 2 . RtABE中，AE= -A百-BE = 15 EF小2 . .RtA DEF, DE=证卢+dF =郃. CD= 2DE= 2 6.n图图第2题解图3.如图，已知平行四边形 ABCD以AB为直径的。O与CD相切于点E,且交AD

4、于点F.(I )如图，连接 BE求/ ABE勺大小；(n)如图，连接 CF交o O于点G连接AG若/ DFO / DCF= 70。，求/ AG用勺大小.第3题图解：(I )如解图，连接 OE AE,.OO与CDf切于点E,. OEL CD 四边形ABC四平行四边形， .AB/ CD. OELAB AB是。O的直径， .OA= OB /AEB= 90 .AE= BE .Z ABE= / BAE= 45 ;(n)v四边形ABC时平行四边形， .AD/ BC / BAD= / BCD / BCF= / DFC/ DFO / DCF= 70 ,，/ BCFF / DCF= 70° .，/ B

5、CD= 70° .BAD= 70° .如解图，连接 BF AB是。的直径, ./AFB= 90° .，/ABF= 90° -70° =20° . ./ AGF= / ABF= 20 .图图第3题解图4.已知AB是。O的弦，C是劣弧AB勺中点，D是。O上一点，CD交AB于点E,点P为BA的延长线上一点，PD= PE(I )如图，求证：PD是O O的切线；(n)如图，当 AB为O O的直径时，连接 BC若tan / BCD= 2,求tan / AP面值.第4题图(I)证明：如解图，连接 OC OD点c是劣弧AB勺中点，. OCL ABOC

6、= OD ./ OCD= / ODC. PD= PE / PDE= / PED又./ PED= /CEB /CEBb /OCD= 90 ,/PD曰 / ODG 90 ,即/ PDO 90° . ODbO O的半径，.PD是。O的切线；(n)解：如解图，连接 AD OD BD.AB是。O的直径，ADB= 90° . / BAD= / BCDtan / BAD= BD= tan / BCD= 2. D.PD是。O的切线，ODP= 90° ./ PBD= / ADP 又/ P= / P, . APDo DPBPA_ PD_AD_1 peT PBT 面 2.设 PA= a

7、,贝U PD= 2a, PB= 4a,3贝UAB= 3a, . . OD= 2a.第4题解图5.已知BC是OO的直径，AD是OO的切线，切点为A, AD交CB的延长线于点 D,连接AB,AO(I)如图，求证：/ OAC= /DAB(n)如图，若 AD= AC E是。O上一点，连接 AR BE求/ E的大小.第5题图(I )证明：: AD是。的切线，切点为 A, .DAL A0 . Z DAO 90° . ./DABH / BAO= 90° . BOO 0的直径， ./BAG= 90° . /BAG / 0A仔 90° . / 0A仔 / DAB(n)解：

8、0A= OG / 0AG= / G. AD= AG. .Z D= / C .Z 0AC= / D. / 0AC= / DAB. / DA& / D. / ABC= / D+ / DAB ./ ABC= 2/ D. . Z D= / C,/ ABC= 2/ C. . / BAC= 90° ,/ABO Z C= 90° .，2/C+ / C= 90° .，/C= 30° .E= / C= 30° .6.已知？ABCD勺边A时经过 A、B、C三点的。0相切于点 A(I)如图，连接 AC若/ D= 32 ,求/ ACD勺大小；(n)如图，延长D

9、C交。0于点E,连接BE,若sin / E= 42,。0的半径为13,求BC的长.BB0图图第6题图(I )如解图，连接 OA AD与O O相切于点 . OALAD.四边形ABCD1平行四边形, .AB/ CD BC/ AD, Z B= Z D=32 . OAL BCACD= / BAC.AB= AC . . / B= / ACBBAC= 180° 2/B=116° .9 / ACD116 ;(n)如解图，作直径BF,连接CFBF为。O的直径, ./ BCF= 90 . / F= / E, BF= 26.在 RtBC叶，sinBC12/ f=BF= sin / E=石.12

10、 .BC=X26= 24.BCI)BI)图图第6题解图7.已知AB是OO的直径，AB= 10,BC= 6,点D在O O±,与点C分别在AB两侧，过点D作。O的切线PD(I )如图，DP与AB延长线交于点P,连接PC若PC与OO相切，求AD的长.(n )如图，若切线 PD/ AB,求AD的长图图第7题图解：(I )如解图，连接 OD.PC和PD为O O的切线,. PC= PD O叶分/ CPD. PA± CD. BC= BD，BD= BC= 6. AB为。O的直径， ./ADB= 90 . .AD= yjAB BD =8;第7题解图(n)如解图，连接 OD BD PD为OO的

11、切线,. . PD± OD . AB/ PD. ODL AB.AD= BD .AD= BD.AB为。O的直径, ./ADB= 90 , / ACB= 90°.ABM等腰直角三角形第7题解图8.在ABCF, AB= AC以AB为直径的。O分别交边 BC AC于点D点E,且AE= BE(I)如图，求/ EBC勺度数；(阴如图，过点D作。O的切线交AB的延长线于点 G,交AC于点F,若。O的直彳至为10, 求BG的长.第8题图解：(I ) . AB为。O的直径, ./AEB= 90 .-.AE= BE./ A= Z ABE= 45.AB= AC1 /ABC /ACB= 2>

12、< (180° -45° ) =67.5 ° , ./EBC= /ABO /ABE= 22.5 ;(n)如解图，连接 OD AQFG是。O的切线, .GF!OD，/ ODGp90 .,AB为。O的直径,，/ADB= 90 .AD± BC.AB= AC. BD= DC. OA= OB. OD/ AC / GOD： / BAC= 45 . cosZ GOB 器乎, .。0的直径为10,OB= OD= 5. . BG= 5 必5.(n)解：如解图，连接 AO并延长交。O于点F,连接DF119.正方形ABC始接于。O,过点A作。的切线交CD延长线于点P.(

13、I )如图，求/P的大小;(H)如图，过点P作。的另一条切线交。于点E,连接BU若/ CB蜃20,，求/ ABE和/ APE的大小.解：(I)如解图，连接 AQ四边形ABCO正方形, .Z ADG=90 , Z CAB=45 ,二AC是。的直径.AP是。的切线,.ZOAP=90 . ./ PAD=90 -Z CAD=45° ./ AD2/ ADG=90 , ./ P=Z PAO 45 ; ./ CAE= / CBE= 20 . PA PE。的切线，OA= OE.Z OAP= / OEP= 90 , / AEO / CAE，/AOE= 180° 2/ CAE= 140

14、6; , / PAE= Z PEA= 90° -20° =70° 1./ABE=5 / AOE=70 , / APE 180 2/ PAE=40 .A图图第9题解图10.已知。O上两个定点 A, B和两个动点 C, D, AC与B改于点E.(I)如图，若 AB= BC AD是OO的直径，求证： AD- AC= 2BD-BC(n)如图，若 ACL BQ点O到AD的距离为2,求BC的长.图图第10题图(I )证明：如解图，连接 O皎 AC于点F.AB= BC1 ./ BAC= / ADB= / ACB OBLAC 且 AF= CF= 2AC又 AD为。的直径，/ABD= 90° ,又. / CFB= 90