(word完整版)相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

1、相似三角形6大证明技巧模块相似三角形证明方法之 反A型与反X型22回顾相似三角形的判定方法总结:1 .平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似2 .三边成比例的两个三角形相似.(SSS3 .两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4 .两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5 .斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)模型一：反A型：如图，已知 ABC, /ADE = /C,若连 CD、BE,进而能证明 ACDA ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO=/CDO,若连 AD, BC,进而能证明 AODA BOC

2、. 试一试写出具体证明过程应用练习：1.已知 4ABC 中，/AEF=/ACB,求证：(1) AE AB AF AC (2) / BEO= / CFO, /EBO=/FCO (3) /OEF=/OBC, / OFE= / OCB2.已知在 ABC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.当点P在线段AB上时，求证： AAPQ s 丛BC ;（2）当APQB为等腰三角形时，求 AP的长。模块一 相似三角形证明方法之 射影定理与类射影模型三：射影定理如图已知 ABC, /ACB=90。，

3、CH LAB 于 H,求证：AC2 AH AB, BC2 BH BA ,HC2 HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB 如图，已知 AB2 AC AD ,求证： ，试一试写出具体证明过程 BC AC应用练习：1 .如图，在 4ABC 中，AD± BC于 D, DE，AB 于 E, DF，AC于 F。求、丁 AE AC证： 一AF AB2 .如图，在 4ABC中，AD BC于D, DE AB于E , DF AC于F ,连EF,求证: / AEF=/ C模块一 相似三角形证明方法之一线三等角模型五： 一线三等角如图，已知/ B=/C=/EDF,则BDEsCFD (A

4、A),试一试写出具体证明过程应用练习：1.如图， ABC和4DEF两个全等的等腰直角三角形， /BAC4 EDF=90, ADEF 的顶点E与4ABC的斜边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中， 线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1) 如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：ABPEACQE(2) (2)如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPaCEQ并求当BP=a, CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离(用含a的代数式表示)2 .AABC中，AB=AC , D为BC的中点，以 D为顶点作/ MDN= / B（1）如图（1）当射线DN经过点

5、A时，DM交AC边于点E,不添加辅 助线，写出图中所有与 丛DE相似的三角形.（2）如图（2）,将/ MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM , DN分别交 线段AC , AB于E, F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.（3）在图（2）中，若 AB=AC=10 , BC=12 ,当ADEF的面积等于丛BC 1的面积的司时，求线段EF的长.3 .如图，点m在线段以上，点D、百在AC同侧，= = BD1BE4D = KC。（1）求证："（2）若=八3,点P为线段打上的动点，连接DP作PQLDP交直线®'于点Q。当点产与久后两点

6、不重合时，求d/"Q的值。当点户从其点运动到TC的中点时，求线段以2的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答过程）模块二比例式的证明方法之三点定型通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型" （A型，X型，线束型）， 也离不开上述的6种“相似*II型”.但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具， 怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃， 让 复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等

7、量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三 个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。1.如图，在RHABC中，AD是斜边BC上的高,ABC的平分线BE交AC于E ,交AD于BF ABBE BCC2 .如图，平行四边形 ABCD中，E是AB延长线上的一点, DE交BC于F ,求证：DC CF -AE ADABE3 .如图， ABC中， BAC 90 , M为BC的中点，DM于 E .求证：AM2 MD MEBC交CA的延长线于 D ,交ABM模块二比例式的证明方法之等线段代换若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考

8、虑用等量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相似，常用的方法有：等线段代换，等比代换，等积代换【例1】 如图，在ABC, AD平分/ BAC, AD的垂直平分线交 AD于E,交BC的延长线于F,求证：FD2 FB FC证明：连接AF,二40是/石AC的平分线,.21 = /2,FE是AD的垂直平分线, .FA = FD （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）,/FAD = NFDA （等边对等角）,:反3/） I,ZACF= /FDA + /2, ：/BAF ZACF又丁/6E4 = /AFB, ：ABAFAACF.【例2】如图，四边形 ABCD是平行四边形，点 E在边BA

9、的延长线上,CE交AD于F ,ECA D -求证： AC BE CE AD -【例3】如图，4ACB为等腰直角三角形，AB=AC, / BAC=90 , / DAE=45 ,求证:_ 2AB BE CD【例4】 如图， ABC中，AB AC, AD是中线，P是AD上一点，过C作CF / AB , 延长BP交AC于E ,交CF于F .求证：BP2 PE PF .AB模块二 比例式的证明方法之等比代换【例5】 如图，平行四边形 ABCD中，过B作直线AC、AD于O , E、交CD的延长线 于 F ,求证：OB2 oe of .【解题方法提示】OB OF要证OB2=OF-OE,即证OE =013 ,

10、接下来你有思路了吗？OA OB因为AB/CE,由平行线分线段成比例定理，可得 OC =<?£；OA OF同理因为AF / BC,可得 OC=OB ,由等式的传递性，问题即可得证证明：V AB / CE, OA OB, AF / BC , OA OF,OC=OBOB OF =OE=OD，ob2=oe- of.BC于D , E为直角边AC的中点,【例6】 如图，在 4ABC中，已知 A 90时，AD过D、E作直线交 AB的延长线于 F .求证：AB AF AC DF .【例7】 如图，在4ABC中(AB>AC)的边AB上取一点D ,在边AC上取一点E ,使AD AE ,直线D

11、E和BC的延长线交于点 P .求证：BP CE CP BDP例8. (1)如图1,在丛BC中，点D、E、Q分别在 AB、AC、BC上，且DE / BC, AQ交DE于点P,求证：空=生；BQ PC(2)如图，9BC中，/ BAC=90 ,正方形 DEFG的四个顶点在 小BC 的边上，连接 AG , AF分别交DE于M , N两点.如图2,若AB=AC=1 ,直接写出MN的长；如图3,求证：MN2=DM?EN.模块二比例式的证明方法之等积代换【例8】 如图， ABC中，BD、CE是高，EH BC于H、交BD于G、交CA的延长 线于M .求证：HE2 HG MH .BC23【例9】如图，在 ABC

12、中， BAC 90 , D为AC中点，AE BD , E为垂足，求证:CBD ECD .【例 10 在 RtABC 中，AD± BC, P 为 AD 中点，MNLBC,求证 MN2 AN NC11.如图，已知 AABC中，AD, BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E, 交BF于G,交AC延长线于 Ho求证： DE=EG?EH【例11】 已知，平行四边形 ABCD中，E、F分别在直线 AD、CD上，EF/AC, BE、BF 分别交AC于M、N.,求证：AM = CN.DBC26ECB【例12 已知如图 AB=AC, BD/AC, AB/CE,过A点的直线分别交

13、 BD、CE于D、E.求 证：AM = NC, MN/DE.E【例13 如图， ABC为等腰直角三角形，点 P为AB上任意一点，PFXBC, PEXAC,AF 交 PE 于 N, BE 交 PF 于 M.,求证：PM=PN, MN/AB.【例14】【例15 日 设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点,P 在 BF 上，DPCF,Q在CE上，DQ/BE, PQ交BE于R,交CF于S,求证:1RS PQ3【例16 (X)如图，梯形 ABCD的底边AB上任取一点M, 分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线 AC、过 M 作 MK/BD, MN/AC, BD 于 P、Q,求证：KP=Q

14、N.如图，正方形 BFDE内接于 ABC, CE与DF交于点N, AF交ED于点M, CE 与 AF 交于点 P.求证：(1) MN/AC; (2) EM = DN.模块二 比例式的证明方法之几何计算【例17】(2016年四月调考)如图，在 ABC中，AC>AB, AD是角平分线，AE是中线， BFLAD于G,交AC于点M, EG的延长线交 AB于点H.(1)求证：AH=BH,(2) 若/ BAC=60 ° ,求 理的值.DG【例18】(2016七一华源)如图：正方形 ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD 上，/ 1 = /2 = / 3= a 求证：(1) E

15、F + EG = AE(2)求证：CE+CG = AF27模块二 比例式的证明方法之 动点问题运动问题中经常涉及没有明确对应关系的相似三角形，此时分类讨论思想在动态问题中尤其重要， 应充分考虑所有可能出现的情况避免遗漏。利用相似三角形对应边成比列为等量关系，建立方程求解，进而解决问题。1 .如图，在 RtA ABC 中，/ACB=90°, AC=3, BC=4,过点 B 作射线 BB1/AC.动点 D 从点 A 出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHLAB于H,过点E作EF，AC交射线BB1于F, G是EF中点

16、，连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度；(2)当4DEG与4ACB相似时，求t的值.2 .如图，在 4ABC中，Z ABC= 90°, AB=6m, BC=8m,动点 P以2m/s的速度从 A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有t秒.t (秒)的函数解析一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为(1) 当t=2.5s时，求4CPQ的面积；求4CPQ的面积S (平方米)关于时间5A；(2)在P, Q移动的过程中，当4CPQ为等腰三角形时，求出t的值.3 .如图 1,在 RtABC中，Z ACB= 90°, AC= 6, BC= 8,点 D 在边 AB上运动，DE平分/ CDB 交边BC于点E, EMXBD,垂足为 M, ENI± CD,垂足为 N.(1)当 AD= CD时，求证：DE/ AC;(2)探究：AD为何值时， 4BME与ACNE相似？4 .如图所示，在 4ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A点出发，沿着 AB以每秒 4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm